13.4课题学习最短路径问题（第1课时）课件人教版八年级数学上册

13.4课题学习最短路径问题（第1课时）八年级数学上册1.轴对称性质：对应角______

对应线段________对应点连成的线段被对称轴_________2.轴对称变换特点：轴对称变换不改变图形的_______和_______，只改变图形的___________。请填空：相等相等垂直平分形状大小位置温故知新两点之间线段最短如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？

例一：某开发区新建了两片住宅区:A区、B区.现在要从煤气主管道的一个地方建立一个接口,同时向这两个小区供气.请问：（1）如图1，这个接口应建在哪,才能使得所用管道最短?（画图写作法和证明）（2）情形如图2呢？

l·B·A图1l·A·B图2探究新知

选的点距离之和·A·Bl1.在l上任选4个点，量量、算算每个点到点A和B的距离之和分别是多少（厘米），完成下表。2.发现什么规律3.演示试验探究.gsp4.猜想此题的作法5.证明你的猜想。

探究上面第3个问题·B·

Al·A′·

C

作法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交l于C点。AC+BC最小，点C就是所求。第2问参考答案·B·Al·A′·C·D图3第2问参考答案证明：在直线l上任取一点D，连接AD，BD，A′D。∵点A与A′关于l对称，∴直线l______线段AA′∴AC=_____，AD=______∴AC+BC=_____+BC=A′B,AD+BD=_____+BD又∵A′D+BD﹥A′B()∴AC+BC最小。·A图3·B·Al·A′·C·D另证明：在直线l上任取一点D，连接AD，BD，A′D∵点A与A′关于l对称，

点C与点C关于L对称∴线段AC与A′C关于直线l对称，∴AC=A′C，同理AD=A′D∴AC+BC=A′C+BC=A′B,AD+BD=A′D+BD又∵A′D+BD﹥A′B，∴AC+BC最小。

1.作对称点的作用是什么？2.本题有不同作法吗，符合要求的点唯一吗？3.本题运用了哪些数学思想方法？答:1.把点、线段“转移”到直线的另一侧,使两条线段“接”成一条线段.2.不同方法是作点B关于直线l的对称点B′，连结AB′,交l于点E．点C与点E重合.3.转化、数形结合、变换思想。

·B·Al·A′（E）·B′··C解题后总结反思巩固练习．P．Q．P．Q．P．Q．P．QllllMMMM∟∟∟∟A.B.C.D.1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）

2.如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．ABCPQ山河岸大桥ABA′

3.如图，EFGH是矩形的台球桌面，有两球分别位于A、B两点的位置，试问怎样撞击A球，才能使A球先碰撞台边EF反弹后再击中B球？EFGH解：1．作点A关于EF的对称点A′

2．连结A′B交EF于点C则沿AC撞击黑球A，必沿CB反弹击中白球B。CA．B．mnAOBPMNFE5．如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN分别交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是_____cm.5.如图,某公路(x轴)的同一侧有A、B、C三个村庄,要在公路边建一货栈,向三个村庄运送农用物资,路线是D-A-B-C-D或D-C-B-A-D.

y1B

．C．x1234012345-1-2A．在公路边是否存在一点D,使送货路程之和最短?若存在,请画出点D的位置并写出点D的坐标,若不存在说明你的理由.河ABML例二：如图Ａ为马厩，Ｂ为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷．请你帮他确定这一天的最短路线．拓展探究N草地

解：分别作点A、B关于直线MN和NL的对称点A′、B′,连接A′B′,与直线MN和NL分别相交于点C、D,则路线ACDB就是所求。河ABMLN草地A′··B′·CD·

例二参考答案总结与反思：例一与例二解法的相同和不同分别是什么？

河流中有一三角形的小岛,岸与小岛有桥相连.准备在小岛的三边上各选一个水质取样点.观测站每天派专人步行去取样,然后带回去化验.点D是一个取样点。请问,另外两个取样点应分别设在什么位置,才能使每天取样所用时间最短(假设速度一定)?ACD观测站·B能力提升

现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.解：连接AB,与直线l相交于一点C.探究新知问题1：AlBC如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？【思考】对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.探究新知问题2：作法：（1）作点B

关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探究新知ABlB′C你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C

不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC

最短．探究新知问题3：ABlB′CC′例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4

D．不能确定解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.而CE=AD.B最短路径问题的应用探究新知素养考点1探究新知方法点拨此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，再根据已知条件求解.1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）D巩固练习PQlAMPQlBMPQlCMPQlDM2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.解：如图，P点即为该点.巩固练习例2如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．B′C′EA探究新知探究新知方法点拨求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.3.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.巩固练习

如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM利用平移知识解决造桥选址问题探究新知知识点2BA●●

?NMNNM

如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定桥的位置，才能使A到B的路径最短呢？探究新知M【思考】我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.BAＭＮ探究新知BAＭＮA'B'1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了.2.把B平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了.探究新知BAＭＮ3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AM+MN+BN长度有没有改变呢？探究新知BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1+M1N1+BN1转化为AA1＋A1N1+BN1.在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.因此AM1+M1N1+BN1＞AM+MN+BN.探究新知A·BMNECD证明：由平移的性质，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路径长为

AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.探究新知解决最短路径问题的方法

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.探究新知方法点拨4.牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.A´B´PQ....巩固练习连接中考

如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF解析：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE，∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，可得△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∴AP+EP最小值等于线段AF的长．D巩固练习1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）A．P是m上到A、B距离之和最短的点，

Q是m上到A、B距离相等的点.

B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，

P是m上到A、B距离相等的点.

C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.

D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点.A基础巩固题课堂检测.2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．15C．20D．30A基础巩固题课堂检测3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是

米.ACBD河1000基础巩固题课堂检测4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．xyOBAB'P解析：作出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，点P就是所求的点.课堂检测如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南