第5章-曲线与曲面1课件

自然界中的事物形态总是以曲线、曲面的形式出现的。要建立三维物体的模型，曲线和曲面是必不可少的研究内容。曲线是曲面的基础，当生成了一条曲线后，即可运用平移、旋转等变换来生成复杂曲面（如一条平面直线沿某个方向的平移轨迹是一个平面；绕另一中心轴直线旋转会生成一个曲面；一个半圆绕其一中心轴旋转会生成一个球面），进而构造出三维物体。因而曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之一。本章从一些规则的曲线和曲面出发，主要介绍自由曲线和自由曲面的基础知识和其常见的表示形式。12/5/20231常用的曲线曲面的类型：Bézier曲线（面）0P1P2P3PB样条曲线（面）孔斯曲面

这些曲线曲面都可以用参数方程表示，并具有以下的优点：曲线曲面的形状不依赖于坐标系的选择人机交互直观易于计算易于拼接造型灵活

12/5/202325.1曲线、曲面的参数表示的基础知识其一是规则的曲线和曲面，如直线（平面）、圆锥曲线（面），这些曲线（面）都可以用函数方程（显示和隐式）或参数方程（一般都为一个一次或二次方程）给出；工程中经常遇到的曲线和曲面有两种：其二是形状比较复杂，不能用二次方程描述的曲线和曲面，称为自由曲线和曲面，如船体、水波面（见演示）、车身和机翼的曲线和曲面，如何表示这些自由的曲线和曲面成了工程设计与制造中遇到的首要问题。同时这些自由曲线和曲面构型日益艺术化也不断地成就和壮大了今天的汽车、船舶和飞机工业。12/5/20233构造曲面模拟帆船用曲面模拟海水5.1曲线、曲面的参数表示的基础知识链接链接12/5/20234一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数。平面曲线显式表示的一般形式是：一条直线方程：一个三维空间直线的显示表示：在平面直线的表示中，每一个x值只对应一个y值用显式方程不能表示封闭或多值曲线。如不能表示一个完整的圆弧

5.1.1曲线的三种表示方法显式表示12/5/20235平面曲线隐式表示的—般形式为：三维空间曲线的隐式表示式为交面式（用两个曲面相交的方式）:

5.1.1曲线的三种表示方法隐式表示曲线的显示和隐式表示统称为非参数表示，非参数表示曲线存在下列问题：与坐标系相关会出现斜率为无穷大的情况(如垂线)非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示不利于计算和编程

12/5/20236其中，和分别是参数的显式、单值函数：参数表示形式将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数的函数形式5.1.1曲线的三种表示方法12/5/20237参数表示中，通常将参数区间规范化为[0,1]；参数方程中的参数可以代表任何量，如时间、角度等；连接和两点的直线段的参数方程可写为：5.1.1曲线的三种表示方法参数表示说明12/5/202385.1.1曲线的三种表示方法参数表示说明一条参数曲线的表示形式并不是惟一的例如：在第一象限内的单位圆弧既可表示成（右图(a)）：又可表示成：（令t为半角的正切)（右图(b)）(a)y01x取角度θ为参数时，x和y的关系如图(a)所示y(b)

01x取t为参数时，x和y的关系如图(b)所示图中θ和t为等距取值

0≤t≤112/5/202395.1.1曲线的三种表示方法参数表示优点曲线的边界容易确定。规格化的参数区间[0,1]可以很容易地指定任意一段曲线，而不必用另外的参数去定义边界；点动成线。当参数t从0变到1时，曲线段从起点变到终点；具有几何不变性。参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，当坐标系改变时，参数方程的形式不变；易于处理斜率为无穷大的情形。在参数表示中，变化率以切矢量表示，不会出现无穷大的情况；易于变换。对参数表示的曲线、曲面进行平移、比例、旋转等几何变换比较容易；交互能力强。参数表示具有直观、明确的几何意义，并提高了自由度，容易自由地控制整个曲线、曲面的形状。12/5/2023105.1.2

参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率，曲线上任一点的位置矢量可表示为：

设曲线的参数方程为,

参数曲线的位置矢量P′(t)P(t+△t)yxz△PP(t))△S1．位置矢量12/5/202311设和是曲线上的两点，记参数曲线的切矢P′(t)P(t))P(t+△t)yxz△P△S当时，导数矢量的方向趋近于P点处的切线方向，记为=亦称为P点的切矢量5.1.2

参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率2．切矢量12/5/202312在极限情况下，弦长和弧长相等，即：

T

称为处切线方向的单位矢量。上式说明：如果以弧长为参数，曲线在任意点的切线为单位矢量参数曲线的单位切矢xP′(t)P(t))P(t+△t)yz△P△S5.1.2

参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率2．切矢量12/5/202313从微积分的意义讲，上式是曲线从到的折线长度的极限，令：当时对于正则曲线，从点到点的弧长定义为5.1.2

参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率3．弧长12/5/202314设以弧长s为参数，曲线上的点和点处的单位切矢量分别为和。P(s)T(s)P(s+△s)T(s+△s)5.1.2

参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率4．曲率记两单位切矢的夹角为，其改变量

而是弧长的改变量，所以通常用与比的绝对值来度量弧的弯曲程度。

T(s+△s)T(s)

△T12/5/202315当时,

曲线在点处的曲率为：当时，称为曲线在点的曲率半径由于和都是单位长度

，因此：5.1.2

参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率4．曲率12/5/202316对于一条空间三维曲线，任何垂直于切矢量T的矢量都称为法矢量。T是单位切矢量且|T|=1，两边对s求导得矢量dT/ds，且dT/ds垂直于单位T，与T垂直的矢量很多，但我们：称与矢量dT/ds同方向的单位矢量N为单位主法矢量，有以下式子（其中K为曲率(曲率非矢量）)：5.1.2

参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率5．主法矢量和副法矢量称KN称为曲线的曲率矢量矢量垂直于T和NB称为单位副法线矢量12/5/202317过曲线上任一点有三个两两垂直的单位矢量T、N、B，即满足、、。密切平面：通过给定点且包含切矢量T和主法矢量N的平面5.1.2

参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率6．密切平面、法平面、化直平面和密切圆法平面密切平面N：参数曲线的密切平面TB化直平面：RMQR密切圆12/5/202318法平面：通过给定点且包含主法矢量N和副法矢量B的平面化直平面：通过给定点且包含副法矢量B和切矢量T的平面5.1.2

参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率6．密切平面、法平面、化直平面和密切圆法平面密切平面N：参数曲线的密切平面TB化直平面：RMQR密切圆12/5/2023195.1.2

参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率6．密切平面、法平面、化直平面和密切圆密切圆：设曲线上三点R、M、Q分别对应参数：、和，则R点的密切圆是指当时，经过三点M、R、Q的圆法平面密切平面N：参数曲线的密切平面TB化直平面：RMQR密切圆12/5/202320密切圆所在的平面包含了直线段和

，又和副法矢量B同向5.1.2

参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率6．密切平面、法平面、化直平面和密切圆12/5/202321过M、R、Q的圆一定在密切平面上，并且其法线方向与的方向相同密切圆表示曲线在点R处的弯曲程度在曲线上点R的密切圆的半径等于该点的曲率半径，密切圆心是曲率中心

密切平面的几何意义是：在所有和曲线上的点R相切的平面中，密切平面是在R附近和曲线贴的最紧的平面。

5.1.2

参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率6．密切平面、法平面、化直平面和密切圆12/5/2023225.1.3样条表示1．插值、拟合、逼近和特征多边形给定一组称为控制点的有序坐标点，这些点描绘了曲线的大致形状；连接这组有序控制点的直线序列（折线）称为控制多边形或特征多边形。通过这些控制点，可以构造出一条样条曲线，构造的两种方法如下：

插值：如果样条曲线顺序通过每一个控制点，称为对这些控制点进行插值，所构造的曲线称为插值样条曲线；拟合：如果样条曲线在某种意义下最接近这些控制点（不一定通过每个控制点），称为对这些控制点进行逼近，所构造的曲线为逼近样条曲线；逼近：插值和逼近的统称。

样条原指通过一组指定点集而生成平滑曲线的柔性带，使用这种方式绘制的曲线、曲面称为样条曲线、样条曲面。在计算机图形学中，样条曲线指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件；样条曲面则是利用两组正交的样条曲线进行描述的。12/5/202323

线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用一个线形函数：y=ax+b，近似代替，称为f(x)的线性插值函数。(见下图（a))

抛物线插值：已知在三个互异点的函数值为，要求构造一个函数：

使抛物线在结点处与在处的值相等(见下图（b）)5.1.3样条表示1．插值、拟合、逼近和特征多边形（a）（b）12/5/2023245.1.3样条表示如果两条相邻参数曲线段在连接点处具有n阶连续导矢，即n阶连续可微：2．曲线的连续性

样条曲线是由各个多项曲线段连接而成，为了保证各个曲线段在连接点处是光滑的，需要满足各种连续性条件。这里讨论两种意义下的连续性：参数连续性和几何连续性。并基于以下的假设：样条曲线由m段如下所示的参数多项式曲线连接而成：Pi=Pi(t),t∈[0,1]，i=1…m参数连续性则将这类连续性称为n阶参数连续性，记为CndkPi(t)dtkt=1dkPi+1(t)dtkt=0k=0,1,2…n，i=1,2,…m-112/5/202325特例：0阶参数连续性(记为C0，又称为几何位置连续)

：Pi(1)=Pi+1(0),i=1,2,…m-11阶参数连续性(记为C1)：Pi(1)=Pi+1(0)且Pi’(1)=Pi+1’(0),i=1,2,…m-12阶参数连续性(记为C2)：Pi(1)=Pi+1(0)且Pi’(1)=Pi+1’(0)且Pi”(1)=Pi+1”(0),i=1,2,…m-15.1.3样条表示参数连续性(a)C0(c)C2(b)C12．曲线的连续性12/5/202326特例：0阶几何连续性(记为G0)

：与C0一样Pi(1)=Pi+1(0),i=1,2,…m-11阶几何连续性(记为G1)：Pi(1)=Pi+1(0)且Pi+1’(0)=kiPi’(1),i=1,2,…m-1,ki>02阶几何连续性(记为G2)：Pi(1)=Pi+1(0)且Pi+1’(0)=kiPi’(1)且Pi+1”(0)=miPi”(1),i=1,2,…m-1,ki>0且mi>05.1.3样条表示几何连续性如果只要求两条相邻参数曲线段在连接点处的n阶导矢成比例，而不要求必须相等，则将这类连续性称为n阶几何连续性，记为Gn

：2．曲线的连续性12/5/2023275.1.4参数曲线的代数形式和几何形式

参数曲线的形式多种多样，其中最简单实用的就是参数样条（多项式）曲线。样条曲线的次数可能有高有低，次数太高会导致计算复杂，存储量大。而次数太低则会导致控制曲线的灵活性降低，曲线不连续。三次参数样条曲线在计算速度和灵活性之间提供了一个合理的折中方案，通常用于建立物体的运动路径或设计物体的外观形状。三次Hermite插值曲线是三次参数样条曲线的基础。

12/5/2023285.1.4参数曲线的代数形式和几何形式

三次参数多项式曲线的代数表示形式是

改写成矢量的形式

其中，是多项式的i次系数矢量。

代数形式12/5/202329对于三次多项式曲线，常用四个几何条件进行描述。两端点的位置和两端点的切矢量和5.1.4参数曲线的代数形式和几何形式

几何形式这样描述的三次多项式曲线，称为Hermite曲线，它是以法国数学家CharlesHermite命名的12/5/202330又由得:5.1.4参数曲线的代数形式和几何形式

几何形式代入式则有为[0,1]区间上的三次Hermite基函数，也称调和函数。其中式(＊)是参数曲线的几何形式，，，为其几何系数（＊）12/5/202331Hermite基函数H(t)t10.20.40.60.80.20.4