线性代数第一章15课件

§1二阶与三阶行列式一、二阶行列式二、三阶行列式用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入方程组的解为由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行(row)、竖排称列(column))的数表1.定义即主对角线副对角线对角线法则2.二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式二元线性方程组的解为注意

分母都为原方程组的系数行列式.3.则当系数行列式例1解二、三阶行列式1.定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.对角线法则2.三阶行列式的计算注意

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．例2解(1)方程左端§2全排列及其逆序数一、概念的引入二、全排列三、排列逆序数一、全排列问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.同理如：12345，54321，43512均为5级排列1.由1,2,…,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称为一个n级排列。如：12345，54321，43512均为5级排列2.123…(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。二、排列的逆序数在一个排列中,若数则称这两个数组成一个逆序.1.定义n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.(即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序）2.定义

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514中，3.排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.4.计算排列逆序数的方法设排列为为构成的逆序数则其逆序数为例1求排列32514的逆序数.例2

计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.§3n阶行列式的定义一、三阶行列式的结构二、n阶行列式的定义一、三阶行列式的结构三阶行列式说明（1）三阶行列式共有6项，即3!项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列二、n阶行列式的定义1.定义解:例计算行列式例4

证明(2)(1)对角行列式例5

计算上三角行列式解例6同理可得下三角行列式注意

上三角行列式和下三角行列式统称为三角行列式思考题已知思考题解答解含的项有两项,即对应于§5行列式的性质一、定义二、行列式的性质三、应用举例一、定义行列式称为行列式的转置行列式.记二、行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等.说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

互换行列式的两行,行列式变号.（列）性质2推论

如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有.82582532-===

cc性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数

k

，等于用数

k

乘此行列式.推论

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４

行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零．性质5

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如性质６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行