控制理论教程

2.1

控制系统的数学模型在自然科学、社会科学及日常社会生活中，人们广泛地使用各种模型来表示现实事物。模型反映了实物某一方面的属性和特征，是对现实事物的一种表示形式。例如，地球仪是地球的一种模型，军事演习是实战的一种模型，实验室的某些装置是工厂大型设备的模型等。以上这些模型是以实物来表示实物，可以称为具体模型或物理模型。如果对现实事物进行简化、抽象,用方程、公式、图表、曲线等是现实事物的数学模型.数学模型舍弃了现实事物的具体特点而抽象出了它们的共同变化规律.因此,这类模型称为抽象模型.为了对控制系统进行定性和定量的分析研究,深刻地揭示控制科学的内在规律,建立控制系统的数学模型成为一项必不可少的工作.

控制系统的数学模型主要是指描述控制系统及其各组成部分特性的微分方程、状态空间表达式、差分方程、传递函数、频率特性以及基于神经网络、模糊理论而建立的模型等.

建立控制系统的数学模型有两种基本方法:一种是根据控制系统内部的运动规律,分析各种变量间的因果关系而建立起来的系统的数学模型.这种方法称为机理建模或理论分析法；另一种方法则是根据实际测试的数据或计算数据,按一定的数学方法,归纳出系统的数学模型,这种方法称为系统辨识法或试验分析法.在对控制系统的运动机理、内部规律比较了解的情况下,适合应用机理建模法.用这种方法建立的数学模型,能科学地揭示系统内部及外部的客观规律,因而代表性强,适应面广.在系统运动机理复杂很难掌握其内在规律的情况下,往往需要按系统辨识的方法得到系统的数学模型.这种模型是根据具体对象而得出的,因而适应面较窄,通用性差.

建立控制系统的数学模型,是分析研究控制系统的基础.描述各种客观事物内在规律最基本的数学工具就是微分方程.下面,我们通过一些实例,来讨论建立控制系统微分方程的一般过程.

建立控制系统微分方程的主要步骤有:

(1)明确要解决问题的目的和要求,确定系统的输入变量和输出变量.

(2)全面深入细致地分析系统的工作原理、系统内部各变量间的关系.在多数情况下,所研究的系统比较复杂,涉及到的因素很多,不可能把所有复杂的因素都考虑到.因此,必须抓住能代表系统运动规律的主要特征,舍去一些次要因素,对问题进行适当的简化,必要时还必须进行一些合理的假设.

(3)如果把整个控制系统作为一个整体，组成控制系统的各元器件及装置则可以成为子系统。从输入端开始，依照各子系统所遵循的物理定律或其他规律，写出子系统的数学表达式.

(4)消去中间变量，最后得到描述输入变量与输出变量关系的微分方程式。

(5)写出微分方程的规范形式，即所有与输出变量有关的项应在方程左边，所有与输入变量有关的项应在方程右边，所有变量均按降阶排列。

系统微分方程的一般形式是

(2.1)式中：y为输出变量；

x为输入变量；

和为方程的系数。

本书只讨论线性定常系统，因此，这些系数均为常数。

由于控制系统的被控对象和控制元件都具有惯性，当输入量发生变化时，输出量不可能在瞬时完成对输入量的响应，而必须经历一个过渡过程即动态过程，所以我们把描述控制系统的微分方程又称为动态方程。例1

机械运动系统的数学模型。图2.1是一个由弹簧、质量块和阻尼器构成的机械运动系统。

弹簧的劲度系数为k(N/m)

质量块的质量为m(Kg)

阻尼器的阻尼系数为f(N·S/m)

阻尼器是吸收系统能量的一种装置，其产生的阻力与活塞运动的速度和阻尼系数成正比。我们现在来建立质量块在外力F(t)作用下位移变化的方程。很显然，这个系统的输入变量为，输出变量为。为了使问题简化，我们忽略质量块重力的影响。

作用于质量块的合力P

(2.2)根据牛顿定律

消去中间变量P,写成规范形式

(2.3)这个二阶常微分方程就是我们要建立的机械运动系统的数学模型。

图２．１机械运动系统例2

直流电动机的数学模型。直流电动机可以在较宽的速度范围和负载范围内得到连续和准确地控制，因此在控制工程中应用非常广泛。直流电动机产生的力矩与磁通和电枢电流成正比，通过改变电枢电流或改变激磁电流都可以对电流电机的力矩和转速进行控制。图2.2是一个电枢控制式直流电动机的原理图。在这种控制方式中，激磁电流恒定，控制电压加在电枢上，这是一种普遍采用的控制方式。

设为输入的控制电压

电枢电流

为电机产生的主动力矩

为电机轴的角速度

为电机的电感

为电枢导数的电阻

为电枢转动中产生的反电势

为电机和负载的转动惯量

根据电路的克希霍夫定理电机的主动转矩

其中为电机的力矩常数。

反电势式中为电机反电势比例系数

力矩平衡方程消去中间变量,,后得到整理后

(2.4)式中：称为直流电动机的电气时间常数；

称为直流电动机的机电时间常数；

,为比例系数。

直流电动机电枢绕组的电感比较小，一般情况下可以忽略不计，式（2.4）可简化为

(2.5)

图2.2直流电动机例3

液位系统的数学模型。图2.3是一个液位系统。

设液箱的横截面积为.在稳定状态下，流入液箱的水和流出液箱的水流量相同，均为,此时液箱的水位为.当流入液箱的流入量有一增量时，我们来建立水位增量的微分方程。液箱水位的变化为流出液箱的水的增量与出口阀的阻力和液箱水位有关。一般情况下，和

是非线性关系。假设

较小，可以近似认为

和

满足线性关系

式中

为流出阀的液阻，是常量。

消去中间变量

后可得到

(2.6)若要研究流入量

变化对流出量

的影响，描述二者关系的微分方程为

(2.7)这说明，对同一个物理系统，当研究的目的不同时，所得到的数学模型是不一样的。另外，微分方程中的输入变量和输出变量是指系统中具有因果关系的变量，必须和实际系统中具体物质的流入量与输出量区别开来。

图2.3液位系统例4

热力系统的数学模型。图2.4是一个电加热热水器的示意图。我们现在来建立热水器出口水温受加热器加热量影响的微分方程，为了使问题简化，假设没有热量向周围环境散失，加热器容器中的温度是均匀的，都具有和出口温度相同的温度。设加热器出口水温相对于稳定状态下的增量为

，为热水器中水的质量

，为水的比热容，为电加热器传输给水的热流量的增量，为水的流量，根据热量平衡关系整理后为

(2.8)若要考虑水入口温度的影响，设入口水温的变化量为

，则有

(2.9)若要考虑更多的因素，微分方程将变得更加复杂。

图２．４电热水器

由此可以看出合理假设和简化在建立系统的数学模型中是很重要的。不同的简化和假设会得到不同的模型。假设的条件太多，过分简化，虽然数学模型简单，数学处理容易，但可能无法反映出事物的主要特征或达不到应有的准确性。若考虑的因素太多，数学模型将变得很复杂，数学处理困难，增加了解决问题的难度，有时甚至会出现次要因素掩盖了事物主要特征的现象，得不出正确的结果。假设、简化到什么程度，并无统一的规定，主要根据具体问题和实际经验来决定。

系统的微分方程建立以后，还必须对其进行验证。要把根据数学模型进行理论分析的结果和实际结果或实验结果相比较，证明数学模型的合理性。若不符合要求，则必须进行修改。一个成熟的数学模型往往要经过多次修改和验证才能确定下来。

建立数学模型是一个培养综合应用各种知识，不断创造新的过程。建立数学模型需要有综合分析和抓住问题本质的能力，需要有较高的抽象概括能力和较高的数学素养，也需要有科学的思维方法。数学模型不仅仅用来解释已发生的现象，更重要的是要预测事物的发展，为未来的决策提供指南。因此，建立数学模型的过程也是新观点、新方法产生的过程，是一种不断创新的过程。培养创新的意识、创新的能力，和掌握科学知识是同等重要的。2.2传递函数2.2

传递函数描述线性函数常系统特性的微分方程为

(2.10)方程的系数均为常数，设该系统的初始条件为零，即对式（2.10）两边进行拉普拉斯变换，可以得到令

(2.11)式（2.11）即为线性定常系统传递函数的定义表达式。

传递函数的定义为：线性定常系统的传递函数是零初始条件下输出的拉普拉斯变换与输出的拉普拉斯变换之比。

在控制系统的微分方程中，输入变量、输出变量都是时间t的函数。所以，微分方程是对系统特性时间域的描述方法。传递函数是以复变量为自变量的。复变量s为

式中和都是实数，成为角频率。所以，复变量又称为复频率。传递函数是复变函数，因而具有复变函数的各种性质。

控制系统的输出为

(2.12)

图２．５传递函数从图2.5和式（2.12）可以看出，输入信号

是经过

”传递”到输出端的，所以称

为传递函数。

传递函数实现了时间域的微分方程到复频率域的转换，把复杂的微分方程问题转化为较简单的关于的代数问题，因而，在经典控制理论中许多研究分析方法和重要结论都是以传递函数为基础的。这是一个十分重要的概念。

传递函数规范的表示方法一般有3种：

（1）标准定义形式

(2.13)在实际的物理系统中，由于能源有限、系统存在惯性等原因，总存在

(2.14)所以，（2.13）式是一个关于

的真有理分式。

（2）典型环节形式

(2.15)（3）零极点形式

把（2.13）式的分母多项式和分子多项式进行因式分解后可得到：

(2.16)式中是分子多项式等于零所组成的方程的根,称为系统的零点多传递函数的零点。是分母多项式等于零时所组成的方程（称为系统的特征方程或传递函数的特征方程）的根，也称为系统的极点或传递函数的极点。传递函数的零极点对系统的性能有很大影响。K称为放大系数或根轨迹增益。

传递函数包含了与微分方程相同的信息，它也是控制系统的一种数学模型，是控制系统复频率域的一种数学描述。传递函数表示的是系统本身的动态特性，与输入信号及相应的输出信号的形式无关。

传递函数的概念只适用于线性定常系统。二个变量间具有线性关系且在零初始条件下，才能求取其传递函数，对于非零初始条件，传递函数并不能完全描述系统的特性。

求取控制系统或系统部件的传递函数的方法有两种。一种是解析法，即通过建立系统的微分方程，按定义求取传递函数。另一种方法是实验法，即通过被研究的对象对输入信号的输出响应，求取其传递函数。

下面是用解析法求传递函数的例子。

例5

图2.6是一个机械转动系统，求其在外力矩M的作用下，轴的角位移。

解根据机械运动的力矩方程和牛顿定律

(2.17)在零初始条件下对式（2.17）两边求取拉普拉斯变换根据传递函数的定义写成典型环节形式

(2.18)式中T=J/f,K=1/f。

图2.6机械转动系统例6

求热电偶温度计的传递函数。

解

图2.7是用热电偶测量流体温度的示意图。设被测介质温度为，热电偶输出电势为E，热电偶温度为,R为被测介质与热电偶间的放热热阻,C为热电偶的热容量，为热电偶的比例系数。

热电偶的热电势为被测介质流向热电偶的热流量热电偶接点温度可以得到微分方程

(2.19)按传递函数的定义写成规范形式

(2.20)式中，T=RC，称为热电偶的时间常数，为热电偶的放大系数。

图2.7热电偶例7

求图2.8所示的RLC电路电流与输入电压u之间的传递函数。

解

根据电路元件的特性及电路定理得上式可变为整理后得到以电流i为输出量以u为输入量的微分方程

(2.21)对（2.21）式按定义求取传递函数写成规范形式

(2.22)式中：

,为电路的时间常数;

K=C,为放大系数。

在求取线性电路得传递函数时，应用“复阻抗”法，有时会更简便一些。若线性电路的电压与电流都用拉普拉斯变换式表示，则它们之间的关系为

(2.23)式中Z(s）称为电路的复阻抗。对不同的电路元件，有不同的复阻抗。电阻的复阻抗为电感的复阻抗为式中L为电路的电感。电容的复阻抗为式中C为电容量。在应用了复阻抗概念后，可以把电路按线性电阻电路的方法求解，直接得到点路的传递函数。

图2.8RLC电路例8

对例7的RLC电路应用复阻抗法，求传递函数。

解

例9

电路如图2.9所示，求在作用下的传递函数。

电路的复阻抗为电路电流为电路的输出电压电路的传递函数

图2.9RC电路式中，是电路的时间常数。

从以上两个例子可以看出，应用复阻抗法，避免可电感、电容电路中的微分积分运算，使解决问题的方法变得简便多了。2.3控制系统的典型环节2.3控制系统的典型环节

自动控制系统是由不同功能的元件构成的。从物理结构上看，控制系统的类型很多，相互之间差别很大，似乎没有共同之处。在对控制系统进行分析研究时，我们更强调系统的动态特性。具有相同动态特性或者说具有相同传递函数的所有不同物理结构，不同工作原理的元器件，我们都认为是同一环节。所以，环节是按动态特性对控制系统各部分进行分类的。应用环节的概念，从物理结构上千差万别的控制系统中，我们就发现，他们都是有为数不多的某些环节组成的。这些环节成为典型环节或基本环节。经典控制理论中，常见的典型环节有以下六种。

2.3.1

比例环节

比例环节是最常见、最简单的一种环节。

比例环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)之间满足下列关系

(2.24)比例环节的传递函数为

(2.25)式中K为放大系数或增益。杠杆、齿轮变速器、电子放大器等在一定条件下都可以看作比例环节。

例10图2.10是一个集成运算放大电路，输入电压为，输出电压为，为输入电阻，为反馈电阻。我们现在求取这个电路的传递函数。解

从电子线路的知识我们知道这是一个比例环节，其输入电压与输出电压的关系是

(2.26)按传递函数的定义，可以得到

(2.27)式中，可见这是一个比例环节。如果我们给比例环节输入一个阶跃信号，他的输出同样也是一个阶跃信号。阶跃信号是这样一种函数

(2.28)

式中为常量。当时，称阶跃信号为单位阶跃信号。阶跃输入下比例环节的输出如图2.11所示。比例环节将原信号放大了K倍。

图2.10

比例器

图2.11比例环节的阶跃响应

（a）阶跃输入；（b）阶跃输出2.3.2

惯性环节

惯性环节的输入变量X(t)与输出变量Y(t)之间的关系用下面的一阶微分方程描述

(2.29)惯性环节的传递函数为

(2.30)式中，T称为惯性环节的时间常数，K称为惯性环节的放大系数。

惯性环节是具有代表性的一类环节。许多实际的被控对象或控制元件，都可以表示成或近似表示成惯性环节。如我们前面举过的液位系统、热力系统、热电偶等例子，它们的传递函数都具有（2.30）式的形式。都属惯性环节。

当惯性环节的输入为单位阶跃函数是，其输出y(t)如图2.12所示。

图2.12惯性环节的单位阶跃响应

(a)输入函数；(b)惯性环节的输出从图2.12中可以看出，惯性环节的输出一开始并不与输入同步按比例变化，直到过渡过程结束,y(t)才能与x(t)保持比例。这就是惯性地反映。惯性环节的时间常数就是惯性大小的量度。凡是具有惯性环节特性的实际系统，都具有一个存储元件或称容量元件，进行物质或能量的存储。如电容、热容等。由于系统的阻力，流入或流出存储元件的物质或能量不可能为无穷大，存储量的变化必须经过一段时间才能完成，这就是惯性存在的原因。

2.3.3

微分环节

理想的微分环节，输入变量x(t)与输出变量y(t)只见满足下面的关系

(2.31）理想微分环节的传递函数为

(2.32)式中为微分时间常数。

微分环节反映了输入的微分，既反映了输入x(t)的变化趋势。它具有“超前”感知输入变量变化的作用，所以常用来改善控制系统的特性。

例11

图2.13式是由运算放大器构成的微分电路原理图，我们现在来推导它的传递函数。

解本节例1中的比例放大器，如把输入电阻和反馈电阻用复阻抗代替，可以得到该类型运算放大电路的传递函数

(2.33)式中为反馈电路复阻抗，为输入电路复阻抗。将各元件复阻抗代入（2.33）式令，则有

(2.34)这是一个微分环节，所以图2.13所示的电路称为微分器。

由于电路元器件都具有一定的惯性，实际的微分环节是带有惯性环节的微分环节，其传递函数为

(2.35)式中、为时间常数。

图2.13微分器

2.3.4

积分环节

积分环节的输出变量y(t)是输入变量x(t)的积分，即

(2.36)积分环节的传递函数为

(2.37)式中K为放大系数。

例12

图2.14是一个气体贮罐。我们现在来分析一下流入贮罐的气体流量与贮罐内气体压力的关系。

解

设气体流量为Q，贮罐内气体压力为P，气罐容积为V,R为气体常数，T为气体的绝对温度，则有

(2.38)其传递函数为

(2.39)式中。

图2.14

气体贮罐2.3.5振荡环节

振荡环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)的关系由下列二阶微分方程描述。

(2.40)按传递函数的定义可以求出式2.40所表示的系统的传递函数为：

（2.41）上两式中，称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，称为阻尼系数或阻尼比。式（2.40）是振荡环节的标准形式，许多用二阶微分方程描述的系统，都可以化为这种标准形式。

本章中2.1节中的例1是机械运动系统，例2是直流电动机。2.2节中的例7RLC电路都是振荡环节的例子。

例13

把2.2节的例7RLC电路的传递函数化为标准形式。

解

已知上式可以写为

(2.42)式中,，K为放大系数。

振荡环节在阻尼比的值处于区间时，对单位阶跃输入函数的输出曲线如图2.15所示。这是一条振幅衰减的振荡过程曲线。

振荡环节和惯性环节一样，是一种具有代表性的环节。很多被控对象或控制装置都具有这种环节所表示的特性。

图2.15振荡环节的单位阶跃响应2.3.6

延时环节（滞后环节）

延时环节的输出变量y(t）与输入变量x(t)之间的关系为

(2.43)延时环节的传递函数为

(2.44)式中为延迟时间。

图2.16表示了延时环节输入与输出的关系：

图2.16

延时环节的输入与输出信号通过延时环节，不改变其性质，仅仅在发生时间上延迟了时间。在热工过程、化工过程和能源动力设备中，工质、燃料、物料从传输管道进口到出口之间，就可以用延时环节表示。

延时环节的传递函数是关于s的无理函数，在分析计算中非常不便。所以常用有理函数对其进行近似。一种近似方法是将其表示为

(2.45)式中n1,n越大，精度越高，但计算也越复杂，一般取n>4即可得到较满意的结果。另一种方法是把指数函数展开成泰勒级数略去高次项后可得到

(2.46)或

(2.47)这种方法在输入变量变化较缓时比较适用，如果输入中含有变化迅速的成分（如阶跃函数），精度就比较差。

以上我们介绍了6种典型环节。控制系统的大多数环节，都可以用这6种典型环节表示。实际上的控制系统，就是典型环节按一定的方法组合而成的。我们将在下一节讨论环节的组合方法。5.2被控对象的动态特性过程控制中应用最多的，也是最基本的控制系统如图5.1所示。

图5.1过程控制系统结构图图中，是控制器的传递函数，是执行机构的传递函数，是测量变送器的传递函数，是被控对象的传递函数。图5.1中，控制器，执行机构、测量变送器都属于自动化仪表，他们都是围绕被控对象工作的。也就是说，一个过程控制的控制系统，是围绕被控现象而组成的，被控对象是控制系统的主体。因此，对被控对象的动态特性进行深入了解是过程控制的一个重要任务。只有深入了解被控对象的动态特性，了解他的内在规律，了解被控辩量在各种扰动下变化的情况，才能根据生产工艺的要求，为控制系统制定一个合理的动态性能指标，为控制系统的设计提供一个标准。性能指标顶的偏低，可能会对产品的质量、产量造成影响。性能指标顶的过高，可能会成不必要的投资和运行费用，甚至会影响到设备的寿命。性能指标确定后，设计出合理的控制方案，也离不开对被控动态特性的了解。不顾被控对象的特点，盲目进行设计，往往会导致设计的失败。尤其是一些复杂控制方案的设计，不清楚被控对象的特点根本就无法进行设计。有了正确的控制方案，控制系统中控制器，测量变送器、执行器等仪表的选择，必须已被控对象的特性为依据。在控制系统组成后，合适的控制参数的确定及控制系统的调整，也完全依赖与对被控对象动态特性的了解。由此可见，在控制工程中，了解被控制的对象是必须首先做好的一项工作。过程控制的被控对象设计的范围很广。被控对象不一定是指一个具体的设备，不少情况下被控对象是指一个过程。有些过程可能涉及好几种设备，而在有些设备内部可能包括了几个过程。过程控制被控对象的内在机理较为复杂，由简单过程，又存在严重非线性的过程，有多变量过程，有些被控对象的特性随时间或工作条件而变化。对被控对象动态特性的了解，一种方法是通过分析被控对象的工作机理，建立被控对象的数学模型。但由于连续生产过程的复杂性，完全从机理上揭示其内在规律，获得精确的数学模型还有较大的困难。另一种方法是工程上经常使用的方法，它采用实验法来获得被控对象的数学模型。这种方法通过测量被控对象的阶跃相应曲线（称为飞升曲线），近似确定被控对象的数学模型，研究被控对象的动态特性。过程控制中大多数被控对象都具有较大的惯性和时间延迟，一般不具有振荡特性，其飞升曲线是单调变化的。按照被控对象所含存贮元件的多少，被控对象可分为单容对象、双容对象和多容对象。按照被控变量受扰动后的变化规律，被控对象可分为有自平衡能力的对象和无自平衡能力的对象。5.2.2单容对象

单容对象是指只含有一个存贮元件的被控对象。

1.

有自平衡能力的单容元件

如果被控对象在扰动作用下偏离了原来的平衡状态，在没有外部干预的情况下（指没有自动控制或人工控制参与），被控变量依靠被控对象内部的反馈机理，能自发达到新的平衡状态，我们称这类对象是有自平衡能力的被控对象。

具有自平衡能力的单容对象的传递函数为

(5.1)这是个一阶惯性环节。描述这类对象的参数是时间常数T和放大系数K。

图5.2单容水箱图5.2是单容水箱的示意图。我们已经推导过水箱的传递函数为

其中T=RC，C为水箱的横截面积，R为输出管道阀门的阻力。T称为水箱的时间常数。K称为水箱的放大系数。一阶系统的特性我们已经在时域分析中进行了详细的讨论，所有结论都适用于单容对象。作为过程控制的被控对象，单容对象的时间常数比较大。

2.

无自平衡能力的单容对象

图5.3单容积分水箱图5-3也是一个单容水箱。不同的是水箱的出口侧安装了一台水泵，这样一来，水箱的流出水量就与水位无关，而是保持不变，即流出量的变化量。在静态下，流入水箱的流量与水泵的排水量相同都为Q，水箱的水位H保持不变。在流入量有一个增量时，静态平衡被破坏，但流出量并不变化，水箱的水位变化规律为式中C为水箱的横截面积。对上式两端求取拉普拉斯变换，可得水箱的传递函数：

(5.2)这是一个积分环节。它的单位阶跃响应为

图5.4两种水箱变化的比较

（a）单容积分水箱（b）有自平衡能力的单容水箱图5—4（a）是水位变化的曲线。为了比较，我们把具有惯性环节特性的水箱在单位阶跃输入下的水位响应曲线也画出来，如图5—4（b）所示。很明显，具有惯性环节特性的单容水箱，在输入作用下，水位经过一个动态过程后，可以重新达到一个新的稳定状态。而具有积分环节的水箱在受到同样的扰动之后，水位则无限地上升，永远不会达到一个新的稳定状态。我们称这种水箱为单容水箱。具有积分环节特性的单容对象的传递函数可以表示为

(5.3)式中称为飞升速度。其单位阶跃响应为

(5.4)这是一条直线方程，如图5—4（a）所示。是直线的斜率。式（5-4）说明，当被控对象原来的平衡状态被扰动作用破坏后，如果不依靠自动控制或人工控制的外来作用，被控变量将一直变化下去，不可能达到新的平衡状态。我们称这类对象为无自平衡能力的对象。3单容对象的特性参数被控对象有无自平衡能力，是被控对象本身固有的特性。图5—5给出了两类水箱的方框图。图5-5（a）是有自平衡能力的单容水箱，从方框图中可以看出，水箱的水位既与流入量有关，也受流出量的制约，在被控对象内部形成了一个负反馈机制。当流入量增大时，将引起水位的上升。水位上升的结果，流出量就会增加。流出量的增大又限制了水位的进一步上升。经过一个动态过程后，总能重新找到一个平衡点，使流入量与流出量相等，水位不再变化。图5-5（b）是无自平衡能力的单容水箱，在其内部不存在负反馈机制，水位只与流量有关。具有自平衡能力的被控对象，本身对扰动有一定的克服能力，控制性能较好。而无自平衡能力的被控对象，其传递函数的极点位于虚轴上，是不稳定的。被控变量若要按要求的规律变化，必须完全依赖于对象外部的控制系统。

图5.5两种类型的单容水箱

（a）有自平衡能力（b）无自平衡能力我们曾经提到，一阶系统是含有一个存贮元件的系统。本节中我们看到，有自平衡能力无自平衡能力的对象都含有存贮元件，为什么表现出不同的特性呢？上面，我们就其内部机理进行分析。现在我们来看表征其特性的参数的异同描述存贮元件存贮能力的参数称为对象的容量系数。容量系数可定义为

C=被控对象储存的物质或能量的变化量/输出的变化量容量系数对不同的被控对象有不同的物理意义，如水箱的横截面积，电容器的电容量。热力系统得热容量等。在我们推导系统或环节的传递函数时，经常遇到T称为系统或环节的时间常数，它是系统或环节惯性大小的量度。式中的R称为阻力系数。如电路的电阻，流体流动的液阻，传热过程的热阻等。被控对象的容量系数，表示了被控对象抵抗扰动的能力，如水箱的横截面积大，同样流入量下，水位上升得就慢。电路的电容量大，在同样充电电流下，电压上升得就慢。惯性环节的惯性，其根本原因就是因为它具有存贮能力。但这并不是决定惯性大小的唯一因素。还有另一个因素就是阻力系数。阻力系数是对流入存贮元件净流入量的制约。在R-C充电电路里，它限制了流入电容器的电流，在单容水箱中，它限制了水箱的净进水量。惯性环节因为其具备了自平衡能力，在其动态参数上，用时间常数来表示，而单容积分环节则不存在阻力系数，只用容量系数就可以表征其特性。描述有自平衡能力单容被控对象的参数有两个：放大系数K和时间常数T，称为被控对象的特性参数。放大系数K表示输入信号通过被控对象后稳态输出是输入的K倍。对于同样的输入信号，放大系数大，对应的输出信号就大。K表示了被控对象的稳态放大能力，是被控对象的稳态参数。T是描述被控对象惯性大小的参数，时间常数T越大，被控对象在输入作用下的输出变化得越慢。T是单容被控对象的动态参数。无自平衡能力的被控对象在输入作用下不会达到新的稳定状态，描述其性能的参数只有一个动态参数：飞升速度。5.2.3

双容对象和多容对象

双容对象是指含有两个存贮元件的被控对象。有自平衡能力的双容对象，若两个存贮元件之间无负载效应，则可以认为是两个单容对象的串联，其传递函数为

(5.5)式中是被控对象两个部分的时间常数，K为被控对象的放大系数。若两个存贮元件之间有关联，则传递函数为

(5.6)式中是表示存贮元件关联关系的时间常数。

含有两个以上存贮元件的被控对象称为多容对象。有自平衡能力的多容对象的传递函数一般有以下几种

(5.7)

(5.8)

图5.6多容对象的阶跃响应图5.6是多容对象的阶跃响应曲线。其中，n=1是单容对象的阶跃响应曲线。从图中可以看出，从开始的阶跃响应曲线与n=1的曲线有明显不同的特点。当t=0时，单容对象阶跃响应曲线的切线斜率最大，以后随时间增大逐渐减小到零。曲线在动态的初始阶段变化最快，以后逐渐变慢。双容对象和多容对象在t=0时，阶跃响应曲线的斜率则是零，随时间变化，斜率逐渐变大，达到某一个最大值时，又开始逐渐减小，直到减小到零。曲线在斜率最大处有一个拐点。双容对象和多容对象在动态过程的初始阶段变化非常缓慢，在动态过程的中间阶段变化较快，但其变化速度仍不及单容对象，且容量元件越多，变化速度越慢。所以，多容对象表现出的特点就是惯性大，响应慢。无自平衡能力的多容对象的传递函数一般具有如下几种形式

(5.9)

(5.10)式中称为被控对象的积分时间常数。5.2.4

多容对象传递函数的近似

建立过程控制被控对象的数学模型是一件困难的工作。控制工程中常根据被控对象的实验曲线来近似拟合被控对象的传递函数。

过程控制中阶跃输入下被控对象典型的响应曲线如图5.7所示。

图5.7多容对象的阶跃响应

（a）有自平衡能力的多容对象（b）无自平衡能力的多容对象图5.7（a)所显示的多容对象的传递函数，常常被近似为一阶惯性环节与延时环节的形式

(5.11)式（5.11）表示的被控对象是3个参数，时间常数T,放大系数K和容量延迟,可以通过做图法在实验曲线上求得。图5.8是求取被控对象特性参数作图方法的示意图。被控对象阶跃响应曲线的拐点D处，曲线斜率最大。在D点做曲线的切线，交时间轴于B点，与表示阶跃响应的稳态值得水平线交于A点。原点到B点的距离即为容量延迟时间，直线段BA在时间轴上的投影BC即为一阶惯性环节的时间常数T。放大系数K则可以通过输出的稳态值与输入阶跃函数之比求得。式中的并不代表真正的时间延迟，它是对多容对象在动态初始阶段缓慢变化的一种近似，称为容量延迟时间。如果多容对象的阶跃响应曲线本身就具有纯时间延迟，如图5.9所示，总的延迟时间为

(5.12)式（5.11）就变为

(5.13)

图5.8多容对象的近似

图5.9具有纯时间延迟的阶跃响应

图5.10无自平衡能力多容对象的近似对于图5.7（b）所示的无自平衡能力的多容对象，也可以采用类似的方法求取。图5.10是求取被控对象特性参数的示意图。做阶跃响应曲线的渐近线，于时间轴交于A点。渐近线与时间轴的交角为。从原点到A点的距离即为被控对象的容量延迟时间，而，被控对象的传递函数可以表示为

(5.14)在过程控制中，得到被控对象的数学模型，准确了解被控对象的动态特性，与其他类型的工业控制相比，始终是一个难点：一方面研究动态特性需要精确的数学模型；另一方面连续生产过程被控对象的复杂性又难以完全从机理上揭示其内在规律。近年来适应这种情况的一些新的控制方法逐渐在过程控制中获得了应用，如模糊逻辑控制、神经网络控制等。

例1

某加热炉燃料量从2.5t/h阶跃增加到2.89t/h，炉出口烟气温度的变化曲线如图5.11所示。试求加热炉的传递函数（设加热炉是一阶环节与延迟环节串联）。

解

在曲线开始变化处作实验曲线的切线。根据曲线可以确定加热炉的稳态值为

阶跃函数幅值

从图上测得纯延迟时间为

因为对象为单容对象，从切线与稳态值交点对应的时间可计算出时间常数T

对象的放大系数为

由以上可得加热炉的传递函数为

图5.11加热炉的试验曲线

5.3过程控制的基本控制规律与控制器在反馈控制系统中控制器的作用就是接受由给定值和反馈信号之间形成的偏差信号,按一定的控制规律产生控制信号。图5.12表明了控制器的作用。

当控制方案确定后，控制器的作用起着决定作用。控制系统的动态品质和稳态精度能否满足要求，取决于能否正确地选择控制器的控制规律及确定控制器的控制参数。

图5.12控制器的作用5.3.1

基本控制规律过程控制的基本规律有4种：位式控制、比例控制、积分控制和微分控制。

1.位式控制

位式控制又称为开关控制，是最简单的一种控制方式。图5.13是位式控制的特性。位式控制的输出只有2个值，不是最大，就是最小。对应的控制机构不是开就是关。按图5.13所示的特性，位式控制器是不能工作的。当偏差e(t)在零附近波动时，会引起执行机构的频繁动作，容易造成运动部件的损坏，而执行机构的输出（称之为操作量）反复高频率地变化也无必要。实际应用的位式控制器特性如图5.14所示。控制器在偏差较小时有一个中间不灵敏区，使开和关的转换不在偏差的同一值上，避免了执行机构开关的频繁程度。位式控制易于实现，控制器结构简单，在控制过程中，主要用于设备的启或停，不重要的设备控制等。位式控制不是连续控制，在控制品质要求较高的连续信号控制的场合不使用这种控制方式。从这个意义上讲，位式控制和下面介绍的3种基本控制规律是有区别的。

图5.13位式控制特性

图5.14改进的位式控制特性2.比例控制

比例控制作用为

(5.15)传递函数为

(5.16)式中称为比例放大系数。比例控制简称P控制(Proportional).

比例控制的单位阶跃响应如图5.15所示。

图5.15比例控制的阶跃反映比例控制的输出与输入是同步变化的，没有惯性和时间上的延迟。响应快，与输入成比例的变化，只是比例控制最突出的优点，正是由于这一特点，使比例控制成为一种最重要的基本控制规律。所有的工业控制器都包含有比例控制，比例控制也可以单独构成控制器。式（5.15）中的,都是指控制量，偏差的变化量，即在原有稳态基础上的增量，当=0时，控制器的输出实际上是，即工作点的值，而不是没有输出。比例放大系数是比例控制唯一的特性参数，他表示了比例作用的强弱。实际上工业控制器比不使用，而是采用另一个代表比例作用强弱的参数：比例带（或称比例度）

。对于标准化的控制器

(5.17)比例控制规律为

(5.18)比例带的意义是，若要变化是执行机构如流量调节开度改变100%，被空变量变化的范围。实际中常用被控变量仪表的量程的百分数来表示比例带。例如，温度测量仪表的量程为。若要使被控变量有的控制范围，则比例带。也就是说，若被控变量偏离工作点的范围在之间，流量调节阀则可以从全关到全开按比例对温度进行控制，被控变量一旦超出的范围，控制器的输入与输出就不再保持比例关系。

比例控制规律还有另外一个显著规律就是有差控制。这是因为控制器的输出与输入之间是一一对应的关系。要是控制器有输出，偏差就不能为零。比例控制的余差大小与比例代的大小有关。比例带大（即比例放大系数小）。根据关系式

若获得相同的控制作用，就必须大，因而余差也大。比例带小（即大），余差就小。可以通过增大比例放大系数的办法（即减小比例带）减小余差。但若一味的增大，就意味着加大执行机构的动作幅度，引起被控变量的较大波动。当比例放大系数增大到某一个值时，系统就会出现等幅震荡，我们这个值为临界比例放大系数或临界比例带。此时系统临界稳定。若继续加大(减小），系统就不稳定了。如果比例放大系数太小（比例带太大），比例控制的作用就弱，被控变量较缓，且会造成较大的余差。图5.16给出了比例带对动态过程的影响情况。从图中看出，只有选择适中的比例带（即比例放大系数），才能获得较满意的动态过程和稳态精度。

图5.16比例度对动态过程的影响3.积分控制

积分控制作用为

(5.19)式中为积分时间常数。积分控制简称I控制（Integral）.

积分控制的传递函数为

(5.20)在单位阶跃输入下，积分控制的输出为

(5.21)

图5.17积分控制的阶跃响应图5.17是积分控制的阶跃响应曲

积分控制与比例控制不同，积分控制作用的输出不仅与输入的偏差信号的大小有关，而且还与偏差作用的时间长短有关。即使偏差信号很小，只要作用的时间长，输出仍可能较大。

对式（5.19）求导，可得到

(5.22)可以看出，积分控制输出的变化率与偏差成比例。只要偏差不为零，积分控制的输出就不会停止变化。只有当偏差为零时，积分控制的输出才会停止变化，所以，在控制系统达到稳定状态后，积分控制作用下的稳态误差总是等于零。积分控制有消除稳态误差的能力，这是积分控制最显著的优点。在控制系统中采用积分控制目的，就是为了消除稳态误差，提高系统的稳态精度。

式（5.19）表明,积分控制的输出是偏差累积的结果。某一时刻积分控制的

值,不仅与该时刻的偏差有关，还与该时刻前所有的偏差有关。这就是说,积分控制的输出不可能快速跟随当前的瞬时偏差变化,信号总是落后于偏差信号。由于这一原因,在使用积分控制时经常会遇到这种情况,偏差已经在减小，但积分控制的输出还很大，仍然按偏差变化的相反方向向执行机构发出控制信号,造成控制过头，引起被控变量波动大，不易稳定，控制过程厂。加入积分控制，会使系统动态过程变慢,稳定性变差，只是积分控制的一个特点。鉴于此种现象，一般不单独应用积分控制规律构成控制器。

积分控制的强弱可以通过积分时间常数

来调整。

越小,积分控制作用就越强。太小，会破坏系统的稳定,出现发散振荡。越大,积分控制作用就越弱。图5.18是同一被控对象分别应用比例控制和积分控制，按相同的衰减率调整的动态过程曲线。从图中可以看出，比例控制超调小,变化平稳,调节时间短，但有稳态误差。积分控制振荡强烈，超调大,调节时间长,但最终稳态误差为零。

图5.18积分控制与比例控制的比较4.

微分控制微分控制规律的输出与输入的关系为

(5.23)微分控制作用的传递函数为

(5.24)式中称为微分时间常数，简称微分时间。微分时间又称为D控制（Derivative)。

微分控制的输出，反映了偏差变化的速度。这可以使偏差只有变化倾向而未产生实际的变化时就产生控制作用，阻止被控变量进一步的变化，加快控制系统的响应。微分控制的这种特性可以称为“超前控制”。这种控制作用特别适合于惯性较大的被控对象。

微分控制作用的强弱，可以通过微分时间常数来调整。

微分控制对于恒定不变的偏差没有控制作用。对于变化缓慢的偏差，也不会产生有效的控制作用。所以，微分控制作用不单独作用。

式（5.23)所表示的微分控制规律在物理上是不能实现的，称为理想的微分控制。实际的微分控制作用是带有惯性环节的微分控制，其传递函数为

(5.25)式中称为微分放大系数。5.3.2

控制器的控制规律

控制器的控制规律是比例规律、积分规律、微分规律3种基本控制作用组合而成的。按照这3种基本控制规律进行控制，在过程控制中习惯称为PID控制。

1.

比例微分（PD)控制器

比例微分（PD)控制器的控制规律是

(5.26)比例微分控制器的传递函数为

(5.27)式中为PD控制器的放大系数，为微分时间常数。式（5.26）说明，PD控制器的输出是比例控制作用的输出与微分控制作用的输出之和。

PD控制器有2个特性参数：放大系数（或比例带）和微分时间常数，改变和，可以调整比例作用和微分作用的强弱。比例作用的强弱是由（或）决定的，而微分作用的强弱则由和共同决定。

实际的PD控制器的传递函数为

(5.28)这是带有惯性环节的比例微分控制。它的单位阶跃响应为

(5.29)式中。图5.19是PD控制器的单位阶跃响应曲线。

PD控制器和比例控制器一样，控制都属于有差控制。PD控制响应快，能增加系统的稳定性，有超前控制作用，适用于被控对象惯性较大，允许有稳态误差的场合。

图5.19PD控制器的单位阶跃响应

图5.20PI控制器的阶跃响应3.

比例积分（PI）控制器

PI控制器的控制规律是

(5.30)PI控制器的传递函数为

(5.31)式中为PI控制器的放大系数。为积分时间常数，简称积分时间。

PI控制器的单位阶跃响应如图5.20所示。

比例作用相应快，但是有稳态误差。积分作用响应慢，但可以消除稳态误差。两种基本控制规律的结合，发挥了各自的长处，抑制了双方的缺点。比例控制在控制过程的初期起比较重要的作用。由于PI控制响应较快，又具有消除稳态误差的能力，因而是应用最广泛的一种控制器。过程控制中遇到的大多数控制器都是PI控制器。

当PI控制器的输入由于某种原因长时间存在且方向无改变时，积分器的输出就会达到最大并进入深度饱和。这时，若偏差发生反方向的变化，必须要经过一段时间，使积分器逐渐从饱和状态中退出，才能产生控制作用。这将使控制质量变差。这种现象称为积分饱和现象。凡具有积分控制作用的控制器，在特定条件下都可能产生积分饱和的现象。防止积分饱和的措施也不止一种，读者可以参阅有关书籍，做更深入的了解。

在PI控制器中，有两个特性参数：（）和。这两个参数都是可以调整的。积分时间常数越小，积分作用越强，积分时间常数越大，积分作用越弱。当为无穷大时，PI控制器没有积分作用，成为比例控制器。积分时间常数对动态过程的影响是两方面的。积分作用强，消除余差的能力也强，但同时会使动态过程振荡加剧，稳定性降低。积分作用弱，则余差消除得慢，调节时间长。提高稳态精度和改善动态品质之间是有矛盾的。当选择合适时，才能兼顾两方面的要求。对动态过程的影响见图5.21。

图5.21积分时间对动态过程的影响4.

比例积分微分PID控制器

比例积分微分PID控制器是结合了3种基本控制规律的控制器。它的控制规律为

（5.32）PID控制器的传递函数为式中为PID控制器的放大系数（为比例带），为积分时间，为微分时间。

在PID控制的输入为单位阶跃信号时，其输出如图5.22所示。图中同时给出了比例、积分、微分3个单独作用的响应曲线。

图5.22PID控制器的阶跃响应

从图中可以看出，在阶跃输入下，动态过程的初始阶段，微分作用的输出很大，产生了一个大幅度的超前控制作用，加快系统的响应速度。微分作用随后逐渐减小，而积分控制作用则逐步加强，直到稳态误差完全消失。比例控制作用则始终存在。在PID控制中，比例控制是基本控制作用，而微分和积分则是叠加在比例控制上，在动态过程进行的不同阶段，发挥不同的作用。动态过程初期，要求响应要快，这时，发挥比例控制无时间延迟和微分控制有较大超前控制作用的特点。在动态过程后期，要求响应精度要高，这时，发挥比例控制与偏差成比例和积分控制能消除偏差的特点。

由于PID控制器吸收了3种基本控制作用的特点，在被控对象惯性大，容量延迟大，控制精度要求较高的情况下，采用PID控制器往往能收到较好的控制效果。但PID控制器有3个特性参数，和，合理选择这3个参数也并非易事。选择得不适当，控制效果会受到影响。所以，若采用PI控制或其它控制规律可以满足要求，就不必采用PID控制器。

选择控制器是否合理，对控制品质影响较大。若控制器选择不当，再精心调整控制器的参数也不会达到满意的控制效果。选择控制器需要考虑被控对象的动态特性，被控对象负荷的变化大小，主要扰动的影响及对控制品质的要求等。以工业上常见的被控对象传递函数为例。若传递函数为

可按照延迟时间和常数T的比值来选择。这个比值称为被控对象的可控比。

当时，选比例控制或比例积分控制。

当时，选比例积分或比例积分微分控制。

当时，则必须考虑使用复杂控制系统。

若不能得到被控对象的传递函数，也可根据被控对象的大致的特性来选择：

当被控对象惯性大，容量延迟大时，可采用微分控制作用，如PD,PID。

当被控对象惯性不大或不太大，负荷变化也不大时，可采用P或PI控制。

当被控对象惯性很大或容量延迟很大时，应设计复杂控制系统。5.3.3

工业控制器

工业控制器是指成为系列化、标准化产品的控制器。它是自动化仪表的一个品种类型。当前过程控制的主要任务是维持生产的稳定，所以很多控制系统都是为保持某些参数的恒定而设计的。这种控制系统称为恒值系统，而在过程控制中常称为调节系统。因此，调节系统中使用的控制器也习惯上称为调节器。以比例、积分、微分3种基本控制作用组合而成的控制器，都称为调节器。

控制器按使用的能源来分，可分为自力式控制器和间接作用控制器。自力式控制器不需要外加能源，而是利用被控介质的能源，而是利用被控介质的能源，其结构简单、适用于要求不太高的控制。例如常见的浮子杠杆式水位控制器就属于这一类。间接作用控制器需要外加能源。根据所加能源的不同，分为电动式、气动式、液动式等。控制器按使用的能源来分，可分为自力式控制器和间接作用控制器。自力式控制器不需要外加能源，而是利用被控介质的能源，其结构简单、适用于要求不太高的控制。例如常见的浮子杠杆式水位控制就属于这一类。间接作用控制器需要外加能源。根据所加能源的不同，分为电动式、气动式、液动式等。自动化仪表在其发展过程中，逐步标准化、系列化，出现了单元组合仪表。电动式单元组合仪表是应用最广泛的自动化仪表。所谓单元式，就是把自动化仪表按功能分成若干独立单元，独立构成仪表，各单元之间使用统一的标准信号形式，应用时按要求将不同的单元组合在一起，构成一个完整的控制系统。调节器、运算器、变送器、执行器、记录仪、显示器等都是单元组合仪表的一个单元。电动式单元组合仪表的调节器是电子式调节器。我国电动单元仪表从20世纪50年代以来，经历了采用电子管的DDZ-I型，采用晶体管分立元件的DDZ-Ⅱ型，采用集成电路的DDZ-Ⅲ型等发展阶段。特别是DDZ-Ⅱ型自动化仪表，在过程控制中得到了广泛的应用。随着控制技术，微电子技术、计算机技术、通讯技术的发展，新型自动化仪表不断涌现，在结构原理上发生了根本的变化。新型自动化仪表最显著的特点是数字化、智能化。DDZ系列仪表的功能是靠硬件来实现的，因而功能单一，组成控制系统后仪表多、体积大、结构复杂。新型自动化仪表的大多数功能是由软件实现的。一台数字化、智能化仪表可以具有几十种功能，一次可以取代几种，甚至十几种单元仪表，而其外部尺寸仅相当于一台单元仪表。数字化、智能化仪表使控制系统结构简单，功能多样，其优点是显而易见的。随着我国对外开放，先进技术、先进产品不断引入，自动化仪表的产品技术含量高、产品种类多，而且更新换代速度进一步加快。这里我们仅选常见的可编程调节器等做一简单介绍。1.

可编程调节器

可编程调节器是以微处理器为核心，通过编程实现控制功能的新型控制仪表。

可编程调节器也有人称为单回路调节器。因为相当多的可编程调节器只能控制一个回路。这个概念现在早已被突破。新型可编程调节器可以同时控制若干个回路。国内常见的可编程调节器品种很多。我们以KMM为例，介绍一下可编程调节器的原理。KMM可编程调节器是一个系列化产品。KMM可编程调节器的硬件构成原理见图5.23。

图5.23KMM可编程调节器的硬件构成原理KMM可编程调节器的核心部件是CPU，通过内部总线与其它部分相连。中央处理器（CPU）由运算器、时钟发生器、内部控制其组成。由制造厂编制的系统程序固化在只读存贮器系统ROM中。可擦可编存贮器用户ROM用来存放用户编写的程序。随机存贮器RAM用来存放运行中的中间数据及可修改参数等。输入输出接口（I/O接口）及A/D，D/A转换用来完成模拟量、数字量的输入与输出。另外，可编程调节器还可配置通信接口，与上位机进行通信。KMM可编程调节器的工作特点是:测量变送器送来的模拟信号进入输入缓冲器，经过滤波、多路转换开关和A/D转换后变为数字信号，该信号存贮于输入寄存器中。数字量输入信号，则静输入缓冲器滤波，整型后直接送入输入寄存器。CPU按照用户程序，从系统ROM中读出各种运算子程序，从用户ROM和RAM中读出各种控制数据，对输入信号进行运算。运算结果存入输出寄存器，再经D/A转换和输出保持电路，电压电流转换，以