2.5 应用MATLAB控制系统仿真-计算机-

第五节应用MATLAB控制系统仿真提纲一、弹簧-重物-阻尼器系统二、传递函数三、结构图模型引言MATLAB是一套高性能的数值计算和可视化软件，它集数值分析、矩阵运算和图形显示于一体，构成了一个方便的界面友好的用户环境。控制系统的分析与设计方法，都是以数学模型为基础进行的。MATLAB可以用于以传递函数形式描述的

控制系统。在本节中，首先举例说明如何使用MATLAB进行辅助分析。然后讨论传递函数和结构图。一、弹簧-重物-阻尼器系统弹簧—重物—阻尼器动力学系统如图2-1所示。重物M的位移由y(t)表示，用微分方程描述如下：该系统在初始位移作用下的瞬态响应为：其中q

=cos-1z

，初始位移是y(0)。系统的瞬态响应当z＜1时为欠阻尼，当z＞１时为过阻尼，当z＝1时为临界阻尼。过阻尼情况：y(0)=0.15

m

wn=(弧度/秒)（）欠阻尼情况：y(0)=0.15

m

wn=(弧度/秒)（）利用MATLAB程序—unforced.m，可以显示初始位移为y(0)的物体自由运动曲线，如图2-63所示。在unforced.m程序中，变量y(0)，wn，t，z

1和z

2的值由指令直接输入工作区，然后运行unforced.m程序就可以产生响应曲线。>>y0=0.15;wn=sqrt(2);>>zeta1=3/(2*sqrt(2));

zeta2=1/(2*sqrt(2));>>t=[0:0.1:10];>>unforced（a）MATLAB指令窗口*计算系统在给定初始条件下的自由运动t1=acos(zeta1)*ones(1,length(t));t2=acos(zeta2)*ones(1,length(t));c1=(y0/sqrt(1-zeta1^2));

c2=(y0/sqrt(1-zeta2^2));y1=c1*exp(-zeta1*wn*t)sin(wn*sqrt(1-zeta1^2)*t+t1);y2=c2*exp(-zeta2*wn*t)sin(wn*sqrt(1-zeta2^2)*t+t2);)计算运动曲线的包络线bu=c2*exp(-zeta2*wn*t);bl=-bu;画图plot(t,y1,

‘-’,t,y2,‘-’,t,bu,

‘--’,bl,

‘--’),gxlabel(‘Time[sec]’),

ylabel(‘y(t)Displacement[m]’)text(0.2,0.85,[‘oeverdamped

zeta1=’,num2str(zeta1),)text（(0b.）2分,0析.弹80簧,[—‘重u物n—de阻r尼da器mp的eMdATzLeAtBa程2序=’unf,onrucmed2.smtr(zeta2),图2-63分析弹簧—重物—阻尼器的MATLAB指令在欠阻尼和过阻尼情况下的响应曲线如图2-64所示：图2-64弹簧—重物—阻尼器的自由运动曲线MATLAB可分析以传递函数形式描述的系统。分子多项式和分母多项式都必须在MATLAB指令中指定。在MATLAB中多项式由行向量组成，这些行向量包含了降次排列的多项式系数。例如多项式p(s)=1s3+3s2+0s1+4s0，按图2-65的格式输入p=[1

3

0

4]，>>p=[1

3

0

4];>>r=roots(p)r=-3.3553e+001.7765e-01+1.0773e+00j1.7765e-01-1.0773e+00j>>p=poly(r)p=1.000

3.000

0.000-0.000j

4.000+0.000j图2-65输入多项式并求根矩阵乘法由MATLAB的conv()函数完成。把两个多项式相乘合并成一个多项式n(s)，即：n(s)=

(3s2

+2s

+1)

(s

+4)

=

3s3

+14s2

+9s

+4与此运算相关的MATLAB函数就是conv()。函数polyval()用来计算多项式的值。多项式n(s)在s

=-5处值为n

(-5)=-66，见图2-66>>p=[3

2

1];q=[1

4];>>n=conv(p,q)n=3

14

9

4>>value=polyval(n,-5)value=-66图2-66

MATLAB的conv()函数和polyval()函数二、传递函数设传递函数为G(s)=num/den，其中num和den均为多项式。利用函数：[P

,

Z]=pzmap(num

,

den)可得G(s)的零极点位置，即P为极点位置列向量，Z为零点位置列向量。该指令执行后自动生成零极点分布图。考虑传递函数：和图2-67零极点图传递函数G(s)/H(s)的零极点图如图2-67所示，相应的MATLAB指令如图2-68所示。>>numg=[6

0

1];deng=[1

3

3

1];>>z=roots(numg)z=0+0.4082j0-0.4082j>>

p=roots1(deng)p=-1-1-1>>n1=[1

1];

n2=[1

2];

d1=[1

2*j];

d2=[1

–2*j];

d3=[1

3];>>numh=conv(n1,n2);

denh=conv(d1,conv(d2,d3));>>num=conv(numg,denh);

den=conv(deng,numh);>>printsys(num,den)num/den=6s^5+18s^4+25s^3+图2-68绘制零极点图指令三、结构图模型一个开环控制系统可以通过G1

(s)与G2

(s)两个环节的串联而得到，利用series()函数可以求串联连接的传递函数，函数的具体形式为：[num,den]=

series(num1,den1,

num2,den2)例如G1

(s)和G2

(s)的传递函数分别为：则串联函数的用法示于图2-69：>>num1=[1];den1=[500

0

0];>>num2=[1

1];den2=[1

2];>>[num,den]=series(num1,den1,num2,den2);>>printsys(num,den)num/den=

s+1

500s^3+1000s^2图2-69

series函数的用法当系统是以并联的形式连接时，利用parallel()函数可得到系统的传递函数。指令的具体形式为：[num,den]=

parallel

(num1,den1,

num2,den2)系统以反馈方式构成闭环，则系统的闭环传递函数为：求闭环传递函数的MATLAB函数有两个：cloop()和feedback()其中cloop()函数只能用于H

(s)=1（即单位反馈）的情况。cloop()函数的具体用法为：[num,den]=

cloop

(numg,deng,

sign)其中numg和deng分别为G(s)的分子和分母多项式，sign=1为正反馈，sign=-1为负反馈（默认值）。feedback()函数的用法为：[num,den]=feedback

(numg,deng,numh,denh,sign)其中numh为H

(s)的分子多项式，denh为分母多项式。闭环反馈系统的结构图如图2-70所示，被控对象G(s)和控制部分Gc

(s)以及测量环节H

(s)的传递函数分别为：，，图2-70闭环反馈系统的结构图应用series()函数和feedback()函数求闭环传递函数的MATLA指令如图2-71所示：>>numg=[1];deng=[5

0

0];>>numc=[1

1];denc=[1

2];>>numh=[1];denh=[1

10];>>[num1,den1]=series(numc,denc,numg,deng);>>[num,den]=feedback(num1,den1,numh,denh,-1);>>printsys(num,den)num/den=

s^2+11s+105s^4+60s^3+100s^2+s+1图2-71feedback()函数的应用例2.12一个多环的反馈系统如图2-49所示，给定各环节的传递函数为：试求闭环传递函数GB(s)=C(s)/R(s)。解求解步骤如下：步骤1：输入系统各环节的传递函数；步骤2：将H2的综合点移至G2后；步骤3：消去G3，G2，H2环；步骤4：消去包含H3的环；步骤5：消去其余的环，计算GB

(s)。根据上述步骤的MATLAB指令以及计算结果在图2-72中。>>ng1=[1];dg1=[1

10];>>ng2=[1];dg2=[1

1];>>ng3=[1

0

1];dg3=[1

4

4];>>ng4=[1

1];dg4=[1

6];>>nh1=[1];dh1=[1];>>nh2=[2];dh2=[1];>>nh3=[1

1];dh3=[1

2];>>[n1,d1]=series(ng2,dg2,nh2,dh2);>>[n2,d2]=feedback(ng3,dg3,n1,d1,-1);>>[n3,d3]=series(n2,d2,ng4,dg4);>>[n4,d4]=feedback(n3,d3,nh3,dh3,-1);>>[n5,d5]=series(ng1,dg1,ng2,dg2);>>[n6,d6]=series(n5,d5,n4,d4);>>[n7,d7]=cloop(n6,d6,-1);>>printsys(n7,d7)num/den=s^4+

3s^3+

3s^2+3s+22s^6+38s^5+261s^4+1001s^3+1730s^2+1546s+732图2-72多环结构图简化通过pzmap()或roots()函数可查看传递函数是否有相同的零极点，还可使用minreal()函数除去传递函数共同的零极点因子。如图2-73所示。>>numg=[1

6

11

6];deng=[1

7

12

11

5];>>printsys(numg,deng)numg/deng=

s^3+6s^2+11s+6s^4+7s^3+12s^2+11s+5>>[num,den]=minreal(numg,deng);>>printsys(num,den)

1

pole-zeros

cancellednum/den=s^2+4s+3s^3+6s^2+6s+5图2-73

minreal()函数的应用例2.2所示的位置随动系统，在给定各元件参数并忽略La和令ML

=0的情况下，其结构图如图2-74所示：图2-74位置随动系统的结构图第一步求闭环传递函数GB

(s)=q

c(s)/q

r(s)，求解过程及结果如图2-75所示。第二步利用step()函数计算参考输入q

r(t)为单阶跃信号时输出q

c

(t)的响应。>>num1=[200];

den1=[20];num2=[1];

den2=[2

0.5

0];>>num3=[0.2

0];

den3=[1];

num4=[540];