2023届江苏省苏州市高新区实验初级中学数学九年级上册期末复习检测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列关于三角形的内心说法正确的是（）

A.内心是三角形三条角平分线的交点

B.内心是三角形三边中垂线的交点

C.内心到三角形三个顶点的距离相等

D.钝角三角形的内心在三角形外

2.已知二次函数y=o?+法+。的），与x的部分对应值如表:

X-10234

y50-4-30

下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线龙=2；③当0<%<4时，y>0；④抛物线与x轴的两

个交点间的距离是4；⑤若4（%,2）,3（%,3）是抛物线上两点，则玉《马，其中正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

3.抛物线y=3/向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）

A.y=3(x-l)2-2B.y=3(x+l>—2C.y=3(x+l)?+2D.y=3(x-l/+2

4.一元二次方程2x+5=0的根的情况为（）

A.没有实数根

B.只有一个实数根

C.有两个不相等的实数根

D.有两个相等的实数根

5.圆的面积公式S=TTR2中，S与R之间的关系是（）

A.S是R的正比例函数B.S是R的一次函数

C.S是R的二次函数D.以上答案都不对

6.将函数y=V的图象向右平移1个单位，再向下平移3个单位，可得到的抛物线是（）

A.^=(%-iy-3B.y=(x-l)2+3

C.y=(x+l1+3D.y=(x+l)2-3

7.sin45。的值等于（)

j_D.受

A.—]B.百C.

322

8.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（）

d

A七乩白C.Q“口

9.已知点（xi,y。、（X2,y2）、（X3,y3）在反比例函数y=--的图象上，当xiVx2VoVx3时，y”yi,y3的大小关系

x

是（）

A.yi<yj<y2B.yz<yi<y3C.y3<yi<yzD.yt<yi<y\

10.点P（-2,4）关于坐标原点对称的点的坐标为（）

A.（4,-2）B.（-4,2）C.（2,4）D.（2,-4）

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.某校九年1班共有45位学生，其中男生有25人，现从中任选一位学生，选中女生的概率是一.

12.如图，乙408=45。，点P、。都在射线。4上，OP=2,。。=6,M是射线OB上的一个动点，过P、。、

/三点作圆，当该圆与OB相切时，其半径的长为.

13.如图示，半圆的直径A3=40,C,。是半圆上的三等分点，点E是Q4的中点，则阴影部分面积等于.

14.若整数“使关于x的二次函数y=(。一1)/一(2a+3)x+a+2的图象在x轴的下方，且使关于x的分式方程

in1-uO/yr

2+—1=—勺有负整数解，则所有满足条件的整数。的和为•

x+33+x

15.已知点尸(Xi,ji)和。(2,J2)在二次函数y=(x+k)(x-k-2)的图象上，其中AW0,若yi>)2,则xi的取

值范围为.

16.如图，利用我们现在已经学过的圆和锐角三角函数的知识可知，半径r和圆心角。及其所对的弦长1之间的关系

nnini

为/=2rsin—,从而sin—=综合上述材料当sin—=—时，sin6=______.

222r23

17.如图，已知矩形A8C。的顶点A、。分别落在x轴、y轴，OD=2OA=6,AD:AB=3：1.则点8的坐标是

42

18.如图，过y轴上任意一点P,作x轴的平行线，分别与反比例函数和y=—(x>0)的图象交于点A

xx

和点B,若C为x轴上任意一点，连接AC,BC,则AABC的面积是.

V

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，AB.C。为。。的直径，弦AE〃CD,连接8E交CQ于点凡过点E作直线EP与。的延长线

交于点尸，使/PE£>=NC.

(1)求证：PE是。。的切线；

(2)求证：OE平分N8EP；

(3)若。。的半径为10,CF=2EF,求8E的长.

20.(6分)如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且NBEF=90。，延长EF交BC的延长

线于点G；

(1)求证：AABE^AEGB；

(2)若AB=4,求CG的长.

21.(6分)已知：如图(1),射线AM〃射线BN,AB是它们的公垂线，点C分别在AM、BN上运动(点。与

点A不重合、点C与点B不重合)，E是A8边上的动点(点E与A、8不重合)，在运动过程中始终保持DEJLEC.

(1)求证：AADE^ABEC；

(2)如图(2),当点E为48边的中点时，求证：AD+BC=CD;

(3)当AD+DE=AB="时.设AE=m,请探究：△BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表

示aBEC的周长；若无关，请说明理由.

22.(8分)如图1是小区常见的漫步机，从侧面看如图2,踏板静止时，踏板连杆与立柱OE上的线段AB重合，BE

长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得NCAB=37,此时点C距离地面的高度。尸为0.44米.求:

(1)踏板连杆的长.

(2)此时点C到立柱/)£的距离.(参考数据：sin37°»0.60»cos370®0.80.tan37°«0.75)

23.(8分)某学校打算用篱笆围成矩形的生物园饲养小兔

(1)若篱笆的长为16m,怎样围可使小兔的活动范围最大；

(2)求证：当矩形的周长确定时，则一边长为周长的-时，矩形的面积最大.

4

24.(8分)如图，A为反比例函数y="(其中x>0)图象上的一点，在x轴正半轴上有一点8,OB=1.连接04、

X

AB,且。4=48=2丽.

(1)求〃的值；

(2)过点8作8cL08,交反比例函数y=上(x>0)的图象于点C.

X

①连接AG求△A5C的面积；

AD

②在图上连接OC交AB于点O,求U的值.

BD

⑴小明围出了一个面积为600cm2的矩形，请你算一算，她围成的矩形的长和宽各是多少？

(2)小颖想用这根细绳围成一个面积尽可能大的矩形，请你用所学过的知识帮他分析应该怎么围，并求出最大面积.

26.(10分)操作：在AABC中,AC=BC=4,NC=90。,将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三

角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中

的3种情况。

探究:

(1)如图①，PDJLAC于D,PE_LBC于E,则重叠部分四边形DCEP的面积为一，周长.

(2)三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明；

(3)三角板绕点P旋转,Z\PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出aPBE为等腰三角形时CE的长);

若不能，请说明理由。

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、A

【分析】根据三角形内心定义即可得到答案.

【详解】•••内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，

；.A正确，B、C、D均错误，

故选：A.

【点睛】

此题考查三角形的内心，熟记定义是解题的关键.

2、B

【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线与

x轴的交点坐标为(0,0),(4,0)可对③④进行判断；根据二次函数的性质求出x的值，即可对⑤进行判断.

【详解】设抛物线解析式为尸”x(x-4),

把(-1,5)代入得5=aX(-1)X(-1-4),解得：a=l,

...抛物线解析式为产炉-4》,所以①正确；

抛物线的对称轴为直线*=-二七=2,所以②正确；

2x1

•抛物线与x轴的交点坐标为(0,0),(4,0),开口向上，

.•.当0Vx<4时，yVO,所以③错误；

抛物线与x轴的两个交点间的距离是4,所以④正确；

若A(xi,2),B(xz,3)是抛物线上两点，由X2-4x=2,解得:xi=2±V6>由，-4x=3,解得:*2=2±5/7，若取力=2+而，

切=2-不，贝!I⑤错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数产ax2+^+c(a,仇c是常数，aWO)与x轴的交点坐标问题转化为解关

于X的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

3、B

【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答.

【详解】解：抛物线y=3/向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3(x+l)2-2,

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了抛物线的平移，解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律.

4、A

【分析】根据根的判别式即可求出答案.

【详解】由题意可知：△=4-4X5=-16V1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式.

5、C

【解析】根据二次函数的定义，易得S是R的二次函数，故选C.

6、A

【分析】根据图象平移的过程易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式.

【详解】解：原抛物线的顶点为(0,0),向右平移1个单位，再向下平移3个单位，那么新抛物线的顶点为(L-3)；

可设新抛物线的解析式为y=(x—»2+k,代入得：y=(x—1)2-3,

故选：A.

【点睛】

主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点

坐标.

7、D

【分析】根据特殊角的三角函数即得.

【详解】sin45。=走

2

故选：D.

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数，解题关键是熟悉30。，45。及60°的正弦、余弦和正切值.

8、D

【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形进行求解即可.

【详解】俯视图为从上往下看，

所以小正方形应在大正方形的右上角，

故选D.

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，熟知俯视图是从上方看得到的图形是解题的关键.

9、C

【分析】根据反比例函数为y=-3,可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到

X

yi,y2,y3的大小关系.

【详解】解：•.•反比例函数为y=-3,

x

...函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，

XVX|<X2<O<X3,

/.yi>0,yi>0»y3V0,且yi〈y2,

•"•y3<yi<y2,

故选：c.

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答.

10、D

【解析】根据关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得答案.

【详解】点P（-2,4）关于坐标原点对称的点的坐标为（2,-4）,

故选D.

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数.

二、填空题（每小题3分，共24分）

4

11、-

9

45-25204

【详解】解:选中女生的概率是:

45-45-9

12、472-2^

【分析】圆C过点P、Q,且与OB相切于点M,连接CM,CP,过点C作CNLPQ于N并反向延长，交OB于D,

根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON、ND、PN,设圆C的半径为r,再根据等腰直角三角形的性质

即可用r表示出CD、NC,最后根据勾股定理列方程即可求出r.

【详解】解：如图所示，圆C过点P、Q,且与OB相切于点M,连接CM,CP,过点C作CN_LPQ于N并反向延

长，交OB于D

；.PQ=OQ-OP=4

根据垂径定理，PN=；PQ=2

.*.ON=PN+OP=4

在Rt2XOND中，Z0=45°

/.ON=ND=4,ZNDO=ZO=45°,OD=0ON=40

设圆C的半径为r,即CM=CP=r

•.•圆C与QB相切于点M,

二ZCMD=90"

ACMD为等腰直角三角形

.,.CM=DM=r,CD=0CM=0r

.*.NC=ND-CD=4-V2r

根据勾股定理可得：NC2+PN2=CP2

即（4_>/Ly+22=/

解得：4=40—2j§,弓=40+2百（此时DM>OD,点M不在射线OB上，故舍去）

故答案为：4&-2G.

【点睛】

此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂径定理和勾股定理的结合和

切线的性质是解决此题的关键.

【分析】连接OC、OD,利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后计算扇形

面积就可.

【详解】连接OC、OD、CD,如图所示：

VACOD和4CDE等底等高,

•E•SACOD=SAECD.

:点C,D为半圆的三等分点,

.,.ZCOD=180°+3=60°,

.•.阴影部分的面积二吟黑L等.

心江200

故答案为§冗

【点睛】

此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积是解题关键.

14、-16

【分析】根据二次函数的图象在x轴的下方得出a—1<0,4aC~b~<0>解分式方程得％=上-,注意3,根

4aa-\

据分式方程有负整数解求出a,最后结合a的取值范围进行求解.

【详解】•.•二次函数丁=(。-1卜2-(2。+3卜+。+2的图象在犬轴的下方,

2

4ac-b4(Q—1)(Q+2)—(2a+3)~0

:.a—1v0,

4a4(67-1)

解得，ci<——,

o

_191+lax

2+——=------,

x+33+x

12

解得，x=----(xw-3),

a—1

•••分式方程有负整数解，

a—l=-1,—2,—3,—6,—12,即a=0,-1,—2,—5,—l1,

a-—5,-11,

所有满足条件的整数a的和为一5—11=—16,

故答案为:-16.

【点睛】

本题考查二次函数的图象，解分式方程，分式方程的整数解，二次函数的图象在X轴下方，则开口向下且函数的最大

值小于1,解分式方程时注意分母不为1.

15、修>2或xiVl.

【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，然后将点p、Q的坐标代入解析式中，然后以>y2,列出关于XI的不等式

即可求出结论.

【详解】解：J=(X+A)(x-k-2)

=(X-1)2-1-2A-A2,

":点P(X1,Ji)和。(2,J2)在二次函数y=(x+A)(.x-k-2)的图象上，

./=(xi-1)2-i-2k-k2,

j2=-2k-k2,

(xi-1)2-1-2k-k2>-2k-k2,

二(xi-1)2>1,

.*.xi>2或xi<l.

故答案为：xi>2或xi<l.

【点睛】

此题考查的是比较二次函数上两点之间的坐标大小关系，掌握二次函数的顶点式和根据函数值的取值范围求自变量的

取值范围是解决此题的关键.

m4及

■Lb、----

9

g0I\

【分析】如图所示，ZAOB=9,OA=r,AB=1,NAOC=NBOC=—，根据sin-=—=一，设AB=l=2a,OA=r=3a,

222r3

aAP

根据等量代换得出NBOC=NBAE=—,求出BE,利用勾股定理求出AE,即可表达出sin6=sinNAOE=——，代

2OA

入计算即可.

e

【详解】解：如图所示，ZAOB=0,OA=r,AB=1,NAOC=NBOC=—，

2

.'AO=BO,

\OC±AB,

\设AB=l=2a,OA=r=3a,

过点A作AEJ_OB于点E,

/ZB+ZBOC=90°,ZB+ZBAE=90°,

e

\ZBOC=ZBAE=-,

2

..eBEl口.BET2

\sin—=——=—,即—=—,解得：BE=-a,

2AB32a33

由勾股定理得：AE7AB2-BE?=谨〃,

3

472

AP2a4>/2,

sin0=sinZAOE=—=^—

OA3a~9~

故答案为：逑

本题考查了垂径定理以及锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，作出辅助线，求出AE的值.

17、(5,1)

【分析】过5作5E_Lx轴于E,根据矩形的性质得到NZM5=90。，根据余角的性质得到N4Z)O=NR4E,根据相似三

角形的性质得到AE=:00=2,DE=\oA=\,于是得到结论.

33

【详解】解：过5作5E_Lx轴于E,

•・♦四边形A6CD是矩形,

:.ZADC=90°,

:.ZADO+ZOAD=ZOAD+ZBAE=90°9

:.ZADO=ZBAE,

：.OD：AE=OA：BE=AD：AB

^OD=2OA=6,

:.OA=3

9：AD：AB=3：1,

11

..AE=—OD=2,BE=-04=1,

33

.**OE=3+2=5,

：.B(5,1)

本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线并证明△0ADs/\EBA是解题

的关键.

18、1

【分析】连接OA、OB,如图，由于AB〃x轴，根据反比例函数k的几何意义得到SAOAP=2,SAOBP=L贝!!SAOAB=L

然后利用AB/7OC,根据三角形面积公式即可得到SACAB=SAOAB=1.

轴，

・.・S%P=gxk|=gx]-4|=2,

S@p=；xW=gx|2|=l,

•q-3

•,ZOAB-J，

-.■AB//OC,

•••^qAB_~°q"MB3.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了反比例函数y=A(kWO)系数k的几何意义：从反比例函数丫=人(kWO)图象上任意一点向x轴和y

xx

轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.

三、解答题(共66分)

19、(1)见解析；(2)见解析；(3)BE=1.

【分析】(1)如图，连接OE.欲证明PE是。。的切线，只需推知OE_LPE即可；

(2)由圆周角定理得到NA£B=NCED=90°,根据“同角的余角相等”推知N3=N4,结合已知条件证得结论;

(3)设跖=x,则CF=2x,由勾股定理可求EF的长，即可求BE的长.

【详解】(1)如图，连接OE.

•.,CD是圆。的直径，

AZC£E>=90°.

VOC=OE,

N1=N2.

又,：NPED=/C,即NPED=N1,

AZP£D=Z2,

/.ZPED+ZOED=Z2+ZOED-90°,即NOEP=90。,

：.OE±EP,

又•.•点E在圆上，

.••PE是。。的切线；

(2),：AB.CD为。。的直径，

AZAEB=ZC£D=90°,

r.Z3=Z4(同角的余角相等).

又,；NPED=/1,

:./PED=/4,

即平分NBEP；

（3）设EF=x,则CEnZx,

:。。的半径为10,

OF=2x-10,

在RtZiOEF1中，OE2=OF2+EF~,BP102=x2+（2x-10）2,

解得x=8,

:.EF-8,

:.BE=2EF=16.

【点睛】

本题考查了圆和三角形的几何问题，掌握切线的性质、圆周角定理和勾股定理是解题的关键.

20、（1）证明见解析；（2）CG=6.

【分析】（1）由正方形的性质与已知得出NA=NBEG,证出NABE=NG,即可得出结论；

（2）由AB=AD=4,E为AD的中点，得出AE=DE=2,由勾股定理得出BE=』AE。+AB?=2#），由△ABES/\EGB,

ApRF

得出===；，求得BG=10,即可得出结果•

EBGB

【详解】（1）证明：•・,四边形ABCD为正方形，且NBEG=90。，

AZA=ZBEG,

VZABE+ZEBG=90°,ZG+ZEBG=90°,

AZABE=ZG,

AAABE^AEGB；

（2）VAB=AD=4,E为AD的中点，

/.AE=DE=2,

在RtZkABE中，BE=TAF+AF=V22+42=2>/5>

由（1）知，△ABEs^EGB,

.AEBEHn2275

EBGB2A/5GB

/.BG=10,

，CG=BG-BC=10-4=6.

【点睛】

本题主要考查了四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握二者相关概念是解题关键

21、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）ABEC的周长与m值无关，理由详见解析.

【分析】（1）由直角梯形ABCD中NA为直角，得到三角形ADE为直角三角形，可得出两锐角互余，再由DE与EC

垂直，利用垂直的定义得到NDEC为直角，利用平角的定义推出一对角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等,

再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得证；

（2）延长DE、CB交于F,证明4ADEgZ^BFE,根据全等三角形的性质得到DE=FE,AD=BF由CEJ_DE,得到

直线CE是线段DF的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得DC=FC.即可得到结论；

（3）Z\BEC的周长与m的值无关，理由为：设AD=x,由AD+DE=a,表示出DE.在直角三角形ADE中，利用勾

股定理列出关系式，整理后记作①，由AB-AE=EB,表示出BE,根据（1）得到：△ADEs4BEC,由相似得比例,

将各自表示出的式子代入，表示出BC与EC,由EB+EC+BC表示出三角形EBC的周长，提取a-m后，通分并利用

同分母分式的加法法则计算，再利用平方差公式化简后，记作②，将①代入②，约分后得到一个不含m的式子，即周

长与m无关.

【详解】（1）,••直角梯形ABCD中，ZA=90°,

AZADE+ZAED=90",

XVDE±CE,

/.ZDEC=90",

.,.ZAED+ZBEC=90°,

.♦.NADE=NBEC,

又,.,NA=NB=90°,

/.△ADE^ABEC；

（2）延长DE、CB交于F,如图2所示.

VAD/7BC,

/.ZA=ZEBF,ZADE=ZF.

•；E是AB的中点，

.*.AE=BE.

在AADE和4BFE中，VZA=ZEBF,ZADE=ZF,AE=BE,

.,.△ADE^ABFE,

/.DE=FE,AD=BF.

VCE±DE,

...直线CE是线段DF的垂直平分线，

r.DC=FC.

VFC=BC+BF=BC+AD,

AAD+BC=CD.

(3)ABEC的周长与m的值无关，理由为:

设AD=x,由AD+DE=AB=a,得：DE=a-x.

在RtZkAED中，根据勾股定理得：AD2+AE2=DE2,即x2+m2=(a-XR

整理得：a2-m2=2ax,…①

在△EBC中，由AE=m,AB=a,得：BE=AB-AE=a-m.

•・•由(1)知△ADEs2XBEC,

ADAEDE_xma-x

：.——=——二——,即n-----=——=-----,

BEBCECa-mBCEC

解得：BC=—--------L,EC=^------------------二

xx

山em(a-m\(a-m\(a-x\

/•△BEC的周长=BE+BC+EC=(a-m)+—--------+--------------------L

XX

ma-xx-\-m+a—x

=(a-m)(lH------1---------)=(a-m)e-------------------

xxx

」"〃?)(〃疝，…②

XX

把①代入②得：ZkBEC的周长=BE+BC+EC=——=2a,

x

则ABEC的周长与m无关.

【点睛】

本题是相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，分式的化简求值，

利用了转化及整体代入的数学思想，做第三问时注意利用己证的结论.

22、(1)1.2米(2)0.72米

【解析】(D过点C作CG±AB于G,得到四边形CFEG是矩形，根据矩形的性质得到EG=CF=0.44,故BG=0.24

设AG=x,求得AB=x+0.24,AC=AB=x+0.24,根据余弦的定义列方程即可求出x,即可求出AB的长；

（2）利用正弦即可求出CG的长.

【详解】（1）过点C作CG_LAB于G,

则四边形CFEG是矩形,

，EG=CF=0.44,

故BG=0.24

设AG=x,

.,.AB=x+0.24,AC=AB=x+0.24,

在RtZkACG中，ZAGC=90°,ZCAG=37°,

AGx

cosZCAG=-----==0.8,

ACx+0.24

解得：x=0.96,

经检验，x=0.96符合题意,

.,.AB=x+0.24=1.2（米），

（2）点C到立柱的距离为CG,

MCG=ACsin37°=1.2x0.6=0.72（米）

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.

23、（1）4;⑵证明见详解.

【分析】（1）设长为x,面积为y,利用矩形的面积求法得出y与x之间的函数关系式进行分析即可;

（2）设周长为4m,一边长为x,面积为y,列出关系式进行验证求证即可.

【详解】解：（D长为x,宽为8-x,列关系式为y=x（8—x）,配方可得y=—（x—4>+16,可得当x=4时，面积y

取最大值；

（2）设周长为4m,一边长为x,列出函数关系式即y=x（2相-幻=-0-加）2+/,可知当乂=10时，即一边长为周长

的!时，矩形的面积最大.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键.

3

24、（1）*=12；（2）①3；②二

2

【分析】（1）过点A作/l"J_x轴，垂足为点〃，交OC于点M,利用等腰三角形的性质可得出的长，利用勾

股定理可得出A"的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出*值;

（2）①由三角形面积公式可求解;

②由03的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出的长，利用三角形中位线定理可求出的长，进而

AH

可得出AM的长，由AM〃区C可得出利用相似三角形的性质即可求出——的值.

DB

【详解】（1）过点A作轴，垂足为点H,AH交。。于点M,如图所示.

VOA=AB9AHLOB9

：.0H=BH=-0B=2,

2

二AH=y/OA2-OH2=J(2而『—2?=6，

...点A的坐标为(2,6).

k

VA为反比例函数y=一图象上的一点，

x

*e•k—2x6=12；

12

(2)①轴，OB=L点C在反比例函数y=一上,

x

12

:.BC=—=3,

4

：.AH//BC,

・•・点A到BC的距离二3"二2,

:.S&ABC=—BC-BH——x3x2=3；

22

12

②・・・BC，x轴，OB=19点C在反比例函数y=一上,

x

12

BC=—=3,

4

YAH〃BC,OH=BH,

13

:.MH=-BC=—,

22