专题01解三角形（解答题10种考法）（精讲）（原卷版）

专题01解三角形（解答题10种考法）考法一公式的直接运用【例1】（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【变式】1．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.2．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．3．（2023·天津北辰·校考模拟预测）已知，，分别为锐角三角形三个内角的对边，且．(1)求；(2)若，，求；(3)若，求的值．考法二三角形的面积【例21】（2023·福建·校联考模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知，，且.(1)求；(2)求的面积.【例22】（2023·湖南永州·统考一模）在中，设所对的边分别为，且满足．(1)求角；(2)若的内切圆半径，求的面积．【变式】1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足.(1)求的值；(2)若，求的面积.2．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)在中，内角所对的边分别是，且，若，求的面积.3．（2023·河南开封·统考三模）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角B；(2)若，的内切圆半径，求的面积．考法三三角形的周长【例31】（2023·山东菏泽）在中，角所对的边分别为已知，面积，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）;（2）.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【例32】（2023·重庆南岸）设，（1）求的单调递增区间；（2）在中，角为锐角，角，，的对边分别为，，，若，，，求三角形的周长.【变式】1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．2．（2023·河南·校联考二模）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)设的中点为D，若，且的周长为，求a，b.3．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角、、所对的边分别为、、，____________．(1)求的值；(2)若的面积为，，求的周长．考法四爪型三角形【例41】（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．【例42】（2023·湖北）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，，___________，求.在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【例43】（2023·福建泉州·统考模拟预测）的内角所对的边分别为，且满足.(1)求；(2)若平分，且，，求的面积.【变式】1.（2023·福建宁德·校考二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若，，为中点，求的长．2.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．(1)求A;(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．3．（2023·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，．(1)求A；(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．考法五多边多角【例51】（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.(1)求；(2)若，求BC.【例52】（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，，．(1)求的值；(2)求的长．【变式】1．（2023春·广东湛江）如图，四边形ABCD的内角，，，，且．(1)求角B；(2)若点是线段上的一点，，求的值．2．（2023春·浙江金华）如图，四边形是由与正拼接而成，设，.(1)当时，设，求，的值；(2)当时，求线段的长.3（2023广东）在三角形ABC中，，，，，．(1)求BD的长；(2)若AC与BD交于点O，求的面积．考法六最值【例61】（2023·云南·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.(1)求角；(2)若，求周长的取值范围.【例62】．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosC．(1)求角C；(2)若c＝2，求△ABC的周长的取值范围．【例63】（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【变式】1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知中内角，，所对边分别为，，，．(1)求；(2)若边上一点，满足且，求的面积最大值．2．（2023·江西九江·统考一模）中，内角所对的边分别是，已知，．(1)求角的值；(2)求边上高的最大值．3．（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）在中，以，，分别为内角，，的对边，且(1)求；(2)若，，求边上中线长.4.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．(1)求A;(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．考法七三角形的四心【例7】（2023春·浙江温州）已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角．(1)求；(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．若，，为的___________，求的面积．【变式】1．（2022·安徽·芜湖一中校联考一模）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=(1)求的值；(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．2．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考期中）的内角A，B，C所对的边分别为．(1)求A的大小；(2)M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积．请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．①M为的重心，；②M为的内心，；③M为的外心，．3．（2022秋·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知的内角、、的对边分别为、、，且.(1)求；(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.若，，为的___________，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.考法八解三角形与三角函数性质的综合【例8】（2023·广东）设函数，其中向量，.(1)求的最小值；(2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值.【例82】（2023·北京）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.（1）求的值；（2）在锐角中，若，求的取值范围.【变式】1．（2023春·山西晋城）已知函数.(1)求函数的定义域和值域；(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.3．（2023春·云南）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．考法九证明题【例9】（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：【变式】1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求证：，，是等差数列；(2)求的最大值．2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．(1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知的外心为，点分别在线段上，且恰为的中点．(1)若，求面积的最大值；(2)证明：．考法十存在性与唯一性【例101】（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【例102】．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为；【变式】1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在中，角的对边分别为，且.(1)求的值；(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：的周长为9.2.（2022·北京·景