四川省成都市蓉城高中联盟2022-2023学年高二下学期理数期中考试试卷

四川省成都市蓉城高中联盟2022-2023学年高二下学期理数期中考试试卷一、单选题1．在空间直角坐标系O−xyz中，点A(A．(−1，−2C．(1，−22．下列导数运算正确的是（）A．(cosx)′C．(log33．a=(−1，2，−3)，b=(2，A．0 B．-4 C．4 D．24．已知函数y=f(x)(x∈R)的导函数f'(x)的图像如图所示，则函数A．在(−∞，−2)上单调递增 B．在C．在(−∞，3)上单调递增 D．在5．已知A(2，0，A．(−1，−1C．(−1，16．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于2π3，则直线l与平面αA．2π3 B．π3 C．π67．已知f(x)=xlnx，则曲线y=f(x)在点A．x−y−1=0 B．x−y−2=0 C．x+y−1=0 D．x+y−2=08．已知a，b，c均为空间单位向量，它们之间的夹角均为90∘，那么A．2 B．13 C．14 D．69．已知函数f(x)=lnx+x2+bxA．3 B．-6 C．6 D．-310．如图，将∠A=60∘的菱形ABCD沿对角线BD折起，使得平面A．12 B．14 C．−111．若函数f(x)=xA．a<−22 B．C．−22<a<22 D．12．已知a=0.98−ln0.A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c二、填空题13．∫π214．已知直线l在平面α外，直线l的方向向量是a=(1，2，3)，平面α的法向量是m=(1，−2，15．如图，在棱长为1的正方体BCD−A1B1C1D16．已知不等式k(x+2)ex<x+1三、解答题17．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，CD的中点，记BC=a（1）用a，b，c表示FE；（2）计算BC⋅18．已知函数f(x)=13x3−a（1）求a的值（2）求函数f(x)的极值.19．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，（1）证明：直线D1E//平面（2）求AD与平面A120．一艘渔船在进行渔业作业的过程中，产生的主要费用有燃油费用和人工费用，已知渔船每小时的燃油费用与渔船速度的立方成正比，已知当渔船的速度为10海里/小时时，燃油费用是600元/小时，人工费用是4050元/小时，记渔船的航行速度为v（海里/小时），满足0≤v≤30，渔船每航行1海里产生的主要费用为p元（1）列出航行1海里产生的主要费用p（元）关于航行速度v（海里/小时）的关系式；（2）求航行1海里产生的主要费用p（元）的最小值，及此时渔船的航行速度v（海里小时）的大小.21．如图，四边形ABCD为等腰梯形（如图①），BE⊥AD，CF⊥AD，点E，F为垂足，满足AE=BE=BC=2，将△ABE和△DCF分别沿BE，CF折起，使A，D两点重合于点P（如图②）（1）证明：平面PEF⊥平面BCFE；（2）求二面角P−BC−E的余弦值.22．已知函数f(x)=x−(a+1)ln（1）讨论函数f(x)的单调性：（2）若x1，x2是函数f(x)的两个不同极值点，且满足：x1<x

答案解析部分1．【答案】C【知识点】空间直角坐标系【解析】【解答】∵关于x轴对称点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，∴对称点为(1故答案为：C.

【分析】根据关于x轴对称点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，可得答案.2．【答案】C【知识点】导数的运算【解析】【解答】由(cosx)′=−sinx，所以A、B、D不符合题意，C对.故答案为：C

【分析】根据基本初等函数、积的导数和复合函数的求导公式对每个选项函数进行求导，即可得答案.3．【答案】B【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】由a//b，则∃λ∈R，使得b=λa，即2=−λx=2λ故答案为：B

【分析】利用向量共线定理即可求解出答案.4．【答案】D【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】由图可知：当x<−2时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当−2<x<3时，f'故答案为：D.

【分析】根据导函数的图象符号确定函数的单调性，可得答案.5．【答案】A【知识点】平面的法向量【解析】【解答】AB=(−2，2，0∴y=z=x，可取m=故答案为：A.

【分析】根据已知条件，先求出AB→，AC6．【答案】C【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【解答】令直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，直线l与平面α所成的夹角为β，sinβ=|cos<a，故答案为：C

【分析】根据线面角的正弦值等于线与面法向量夹角余弦值的绝对值，求解可得答案.7．【答案】A【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】∵f′(x)=lnx+1，∴f故答案为：A

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由直线方程的点斜式可得答案.8．【答案】C【知识点】向量的模【解析】【解答】因为a，b，c均为空间单位向量，它们之间的夹角均为90∘，所以|=|故答案为：C

【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式计算可得答案.9．【答案】D【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】由f(x)=lnx+x∵f(x)单调递减区间是(12，1)，即2x2+bx+1<0∴−b2=故答案为：D.

【分析】求出函数的导数，根据函数的单调区间得到方程的根，利用韦达定理求出b的值.10．【答案】B【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】【解答】如图，取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，令AB=2，A(3，0，0)则AB=(−∴cos<∴AB，CD所成角的余弦值为14故答案为：B.

【分析】取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，令AB=2，利用向量夹角公式，即可求出异面直线AB与CD所成角的余弦值.11．【答案】A【知识点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】解：∵f(∴f′(即2x2+ax+1=0∴a2−8>0故答案为：A.

【分析】由原函数有两个不同极值点转换成导函数有两个不相同的实数解，求导只需判断导数分子部分2x2+ax+1=012．【答案】B【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】设f(x)∴当0<x≤1时，f′(x)≤0，∴f(0.98)令g(x)∴当x≥1时，g′(x)≤0，当且仅当x=1∴g(1.02)综上所述，则有c<b<a，故答案为：B.

【分析】根据题意结构构造函数f(13．【答案】1【知识点】微积分基本定理【解析】【解答】∫即答案为1.【分析】利用微积分基本定理易得结果.14．【答案】平行【知识点】向量语言表述线面的垂直、平行关系【解析】【解答】因为a⋅m=1−4+3=0且直线l在平面α外，所以l//α.故答案为：平行.

【分析】根据已知条件，结合法向量与方向向量的关系，即可求解出答案.15．【答案】6【知识点】点、线、面间的距离计算【解析】【解答】如图，建立空间直角坐标系，

则A(1，0，1)AE=(0，12，−1)，AE⋅n=0AC1⋅所以点C到面AEC1的距离故答案为：66

【分析】以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D1一xyz，求得AC的坐标和平面AEC1的一个法向量，由向量的投影可得点C到面AEC16．【答案】[【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【解析】【解答】原不等式k(x+2)设g(x)=k∴f′(x)当x<0时，f′(x)>0当x>0时，f′(x)<0当x=0时，f(又f(−1)=0∴g(x)直线g(x)=k当k≤0时，显然不满足条件；当k>0时，只需要满足f(1)∴k的取值范围为[3故答案为：[3

【分析】不等式部分分离转化为两函数交点问题k(x+2)<x+117．【答案】（1）解：FE=（2）解：BC=1【知识点】向量的三角形法则；平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的运算【解析】【分析】(1)结合平面向量的线性运算求解即可；

(2)结合平面向量的数量积运算求解即可得BC⋅18．【答案】（1）解：易得f'又函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x−y+3=0（2）解：由（1）得f(x)=13x令f'(x)=0有x=0或x(0(02(2f+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∴f(x)在x=0处取得极大值f(0)=3，在x=2处取得极小值f(2)=5综上，极大值f(0)=3，极小值f(2)=5【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【解析】【分析】(1)对函数f(x)求导，利用导数的几何意义以及两直线垂直的斜率关系可得a的值；

(2)结合(1)可得函数f(x)的解析式，求导判断导函数正负性从而可列出x，f(x)，f'(x)的关系表，即可得到函数f(x)的单调性和极值.19．【答案】（1）证明：如图，连接B1D1长方体中，BC//A1D1且则有BA1//CD1，又BA1∴CD1//同理可证BD//B1D1，又CD1∩B1D1=D1，又D1E⊂平面CD1B1，（2）解：以A为原点，AB，得A(0，0，0DB=(2，−4设平面A1BD的一个法向量为由n⋅DB=2x−4y=0n⋅可得平面A1BD的一个法向量为设AD与平面A1BD所成角大小为则sinθ=|∴AD与平面A1BD所成角的正弦值为【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)连接B1D1，D1C，根据长方体的性质可证得平面CD1B1//平面A1BD，从而利用面面平行的性质可证明出直线D120．【答案】（1）解：设渔船每小时的燃油费用为y元，由题可设y=kv得600=1000k，即k=0.6，航行一小时的主要费用为p=0.（2）解：易得p′=1令p′>0，即v3令p′<0，即v可得函数p=0.6v3所以当v=15时，pmin即当航行速度为15海里/小时，航行1海里产生的主要费用p有最小值405元.【知识点】根据实际问题选择函数类型；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）由题意求出每小时燃油费用与渔船速度的关系，再求得费用p（元）关于航行速度v（海里/小时）的关系式；

（2）对函数p求导，根据导数的符号可得函数p的单调性，进而求出p的最小值，及此时渔船的航行速度v（海里小时）的大小.21．【答案】（1）证明：由图①知，BE⊥AE，BE⊥EF，所以图②中有BE⊥PE，BE⊥EF，又PE∩EF=E，PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，所以BE⊥平面PEF，又BE⊂平面BCFE，所以平面PEF⊥平面BCFE.（2）解：取EF中点O，BC中点Q，连接OQ，易得PO⊥EF，又平面PEF⊥平面BCFE，平面PEF∩平面BCFE=EF，PO⊂平面PEF，可得PO⊥平面BCFE，又易得OQ//OQ⊥EF，可得OQ，OF，OP两两垂直，建系如图，得P(0，0，设平面PBC的一个法向量为n=(x，y由BC⋅n=0令x=3，得平面PBC的一个法向量为n易得平面BCE的一个法向量为m=由cos〈二面角P−BC−E的余弦值为27【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明出BE⊥平面PEF，再由面面垂直的判定定理即证得平面PEF⊥平面BCFE；

(2)由面面垂直的性质定理可得PO⊥平面BCFE，建立空间直角坐标系，求出平面PBC和平面BCE的法向量，利用向量的夹角公式即可求解出二面角P−BC−E的余弦值.22．【答案】（1）解：易知f可得f′(x①当a≤0时，由f′(x此时f(x)在(1②当a=1时，f′(x)≥0③当0<a<1时，由f′(x)>0⇒0<x<a此时f(x)在(0④当a>1时，由f′(x)>0⇒0<x<1此时f(x)在(0综上所述：当a≤0时，f(x)在(1当a=1时，f(x)当0<a<1时，f(x)在(0当a>1时，f(x)在(0（2）证明：由（1）可得：x1f(=2−2a−由a>1得3+a<1+3a，欲证f(x即证2+(a+1)ln记ℎ(a可得ℎ′(a)<0∴ℎ(a)【知识点】利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法【解析】【分析】(1)求导，分类讨论a≤0，a=1，0<a<1和a>1四种情况导函数的正负性，即可知f(x)的单调性；

(2)由（1）可得：x1=1，x2

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：40分分值分布客观题（占比）24.0(60.0%)主观题（占比）16.0(40.0%)题量分布客观题（占比）12(54.5%)主观题（占比）10(45.5%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）填空题4(18.2%)4.0(10.0%)解答题6(27.3%)12.0(30.0%)单选题12(54.5%)24.0(60.0%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(68.2%)2容易(31.8%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号1用空间向量求直线间的夹角、距