汽车振动学基础及应用课件：二自由度振动系统 -

汽车振动学基础及应用二自由度振动系统3.1二自由度系统的运动微分方程3.2无阻尼二自由度系统的振动3.3有阻尼二自由度振动系统3.4汽车的二自由度振动系统3.1二自由度系统的运动微分方程图3-1二自由度振动系统系统的运动微分方程可根据动力学原理或运用拉格朗日第二类方程建立如下：

将上式缩写成矩阵形式可得：

或（3-3）3.2无阻尼二自由度系统的振动无阻尼的二自由度振动系统的微分方程式为：

或（3-4）（3-5）3.2无阻尼二自由度系统的振动3.2.1固有频率和固有振型为讨论系统的固有特性，令激励，则式(3-5)变为：

其解的形式为：其中位移坐标幅值向量为：

（3-6）代入式(3-6)得：这是广义的特征值问题。

3.2无阻尼二自由度系统的振动适当选取坐标系可使惯性矩阵对角，而刚度矩阵是对称的，因此上式可写成：

有非零解的条件是特征矩阵的值为零。即：展开得：此为系统的频率方程，亦称特征方程。

（3-9）3.2无阻尼二自由度系统的振动特征方程的特征根为：

其中：分别将代入式(3-9)即可得相应的振幅比。

由上可知：及只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励及初始条件无关。

3.2无阻尼二自由度系统的振动3.2.2对初始激励的响应二自由度无阻尼系统的自由振动微分方程式(3-4)是由二个二阶微分方程组成的齐次方程组。根据系统的固有频率和固有振型，二自由度无阻尼系统的自由振动的解是两种不同频率的主振动的叠加，有如下形式：

3.2无阻尼二自由度系统的振动式中：是任意常数，由初始条件决定。当t=0,时，任意常数为：3.2无阻尼二自由度系统的振动3.2.3对简谐激励的响应当二自由度系统的各质量上受有频率相同的谐波激励时，运动微分方程为：

式中：

系统的稳态响应可表示为：

（3-16）代入式(3-16)可得：上述系数矩阵记作；3.2无阻尼二自由度系统的振动令，于是得，则稳态响应为：式中：则：3.3有阻尼二自由度振动系统3.3.1对初始激励的响应

当没有激励作用于二自由度阻尼系统时，式(3-3)变为以下形式：

方程的通解为：代入上式得：

有非零解的条件是：展开得：对于图3-1所示系统，上式为：3.3有阻尼二自由度振动系统1.小阻尼情形

上式的系数全为正数，故解只能是负实数或具有负实部的复数。即存在三种可能：(1)全是负实数；(2)两对具有负实部的共轭复数；(3)两个负实数和一对具有负实部的共轭复数。方程的通解为：

3.3有阻尼二自由度振动系统2.大阻尼情形

如果系统阻尼非常大，特征方程的根全是负实根，响应将不具有振动形式。此时解为：3.临界阻尼情形临界阻尼时，特征方程的根是两个负实根和一对具有负实部的共轭复数，此时的响应也不具有振动形式。3.3有阻尼二自由度振动系统3.3.2对外激励的响应当有外激励作用于二自由度阻尼系统时，式(3-3)变为以下形式：其稳态响应的复数形式为：

代入上式得：式中系数矩阵记作，且设为对角型，则：（3-33）令并代入式(3-33)得：

3.4汽车的二自由度振动系统3.4.1汽车车身车轮振动系统的运动方程与振型分析图3-2汽车车身车轮二自由度振动系统的模型图3-2为汽车车身车轮二自由度振动系统的模型，其运动方程为：无阻尼自由振动时，运动方程变成：

3.4汽车的二自由度振动系统由运动方程可知，和的振动是相互耦合的。若车轮不动（）则得：

这相当于只有车身的单自由度无阻尼自由振动，其车身部分的固有圆频率（偏频）为

即：同样，若车身不动（），则相当于只有车轮的单自由度无阻尼自由振动。

其车轮部分的固有圆频率即：

3.4汽车的二自由度振动系统无阻尼自由振动时，设两个质量以相同的圆频率和相位角作简谐振动，振幅为和，则解为；；代入微分方程组，并将；代入上式，可得此方程有非零解的条件是和的系数行列式为零。整理得

上式称为系统的频率方程或特征方程，它的两个根为双质量系统的主频率（3-42）3.4汽车的二自由度振动系统设某一汽车rad/s；车身与车轮的质量比；轮胎与悬架的刚度比，则将上述关系代入式（3-42）可得：

代入确定两个主振型的中和的振幅比

一阶主振型

二阶主振型

3.4汽车的二自由度振动系统车身和车轮两自由度系统的主振型如图3-3所示。

图3-4车身和车轮两自由度系统的主振型3.4汽车的二自由度振动系统3.4.2车身车轮振动系统的传递特性对于车身车轮的二自由度振动系统设输入为：则输出有：；代入可得：3.4汽车的二自由度振动系统由上式，可得，及的频率响应函数。其中3.4汽车的二自由度振动系统由此可得车身车轮两个输出相对于路面输入的幅频特性如下。

式中：

---------为频率比，

---------为悬架阻尼比。

3.4汽车的二自由度振动系统图3-4，图3-5分别示出了车身车轮的幅频特性，。

图3-4车轮的幅频特性图3-5车身的幅频特性从曲线上可看出，对于这个车身车轮二自由度的振系，当激振频率接近系统的两阶固有频率和时，都会发生共振，车身位移的幅频特性和车轮位移的幅频特性，有低频、高频两个共振峰。3.4汽车的二自由度振动系统得到频率响应函数后，根据式（2-38）求响应的傅氏变换，即其中，路面不平激励的傅氏变换。对上式进行傅氏反变换：这样，就可以最终得到车身与车轮响应的时域解为3.4汽车的二自由度振动系统3.4.3双轴汽车振动模型图3-14双轴汽车的振动模型3.4汽车的二自由度振动系统根据图3-14可写出车身的平面运动微分方程：

即：（3-51）3.4汽车的二自由度振动系统设，代入上式，并引入下列参数：3.4汽车的二自由度振动系统于是