一种考虑决策者风险偏好的区间数多属性决策方法

一种考虑决策者风险偏好的区间数多属性决策方法摘要:针对属性值以区间数形式给出的多属性决策问题提出了一种决策分析方法。在本文中首先描述了属性值为区间数形式的多属性决策问题然后通过引入决策者的风险偏好因子将区间数决策信息映射为实数值决策信息并依据属性值与属性均值绝对偏差的大小确定了属性的权重在此基础上依据所得权重给出了基于加权和法的方案排序方法通过对风险偏好因子的不同取值还可进行方案排序的灵敏度分析。最后通过一个算例说明了本文给出方法的可行性和有效性。关键词:多属性决策;区间数;风险偏好因子;绝对偏差;灵敏度分析AnApproachtoMultipleAttributeDecisionMakingwithIntervalstheRiskPreferencesofUanhuiOeii(ShoolofBunsdnaonohannyShnyang110004Chna)sct:nappoachspopoedooveheupeabuedeconakngpobeswhheabueva-uesnheomofnevalnubes．nhspaperthedecponofheupeabuedeconakngpobeswhnevassgven．henhekpeeencepaaeerofhedeconakersuedoanerhedeconpobemwhnevasnoheadonaldeconpobemwhealvaues．Baedonheabouedev-aonbeweenabuesvauesandabuesaveagevauesogetheabueweghsapeaddvewegh-ngehodorankngaenavessgvenandenvyanayssadebyeecnghedeentvauesofkpeeencepaaeer．nayanuecalexapesuedouaeheeabyandhevadyofheappoachpopoednhspaper．ys:upeabuedeconakng;nevalnuber;kpeeencepaaeer;abouedevaon;sensitivityanalysis引言多属性决策也称有限方案多目标决策是在考虑多个属性或指标的情况下选择最佳备选方案或进行方案排序的决策问题］。由于多属性决策在经济管理及工程系统等领域有着广泛的实际背景］所以有关多属性决策理论与方法的研究一直是决策分析的一个重要研究方向。在多属性决策问题中由于决策问题的复杂性和决策者对事物判断的不确定性决策者不能给出精确的数值因此在描述不确定信息时可以采用模糊数区间数的形式。其中具有区间数的多属性决策问题受到了广大学者的关注～。收稿日期:2010-07-19基金项目:国家自然科学基金资助项目(70701008);教育部人文社会科学研究规划基金项目(11630180)作者简介:女副教授研究方向决策分析知识管理等高美丽女硕士研究生研究方向决策理论与方法。～TOPSISTOPSIS的扩展来求解区间数多属性决策问题～通过目标规划来建模求解最终得到方案的排序;给出了任意两个区间数的比较但不适于多个区间数的比较;1通过R法的扩展来解决区间数多属性决策问题此方法基于决策者的偏好比较任意两个区间数但没有给出不同偏好下的排序结果。本文则是针对属性权重未知的区间数多属性决策问题，给出了一种决策分析方法。该方法是通过引入决策者的风险偏好因子将区间数决策信息映射为实数值决策信息这样可将区间数多属性决策问题转化为传统的多属性决策问题然后依据属性值与属性均值偏差的大小确定属性的权重在此基础上给出了一种基于简单加权法的方案排序方法并针对选取的不同风险偏好因子对方案排序结果进行了灵敏度分析。问题的描述为了本文叙述方便首先给出区间数的定义:设R为实数域称=xLx］={x|xLxxUxLxU，x∈R}为闭区间数若0＜xLxU则称=xLx为正闭区间数。若xL=xU该区间数退化为普通的实数。在本文中采用下列符号来描述具有区间数的多属性决策问题所涉及的集和量:S={s1s2sm}表示m个备选方案的集合(m2)其中si表示第i个备选方案;C={c1c2cn}表示n个属性的集合(n2)假设这些属性是加性独立的其中cj表示第j个属性;W=(www)T表示属性的权重向量其中w

n表示属性c的权重或重要程度并且满足 w1 2 n

j j ∑jj=1=1wj0(j=12…n);=］ 表示具有区间数形式的决策矩阵其中珟=aLa表示方案s对应于属性c

上的一个ijm×n ij ij ij i j结果(或评价值)不失一般性假设aL＞0aU＞0。ij ij本文要解决的问题就是根据已知的区间数决策信息如何确定属性的权重W和W从备选方案的集合S中选择M(＜m)个满意的方案或对方案进行排序。原理与方法2．1 风险偏好的类型对于不确定性决策问题不同决策者因其自身性格意志等原因会有不同的风险偏好如何鉴别其偏好可使用赌博当量法。这是让决策者面对一种测试性赌博一好一坏的结果发生概率已知然后令其评定介于二者之间的某一结果值要求它与赌博的价值完全相等称此结果值为赌博当量并将其数值记为τ。xα表示赌博其中x＜yα表示y的概率x概率则为1－α0α1。决策者风险偏好可通过其评定的当量τ来刻画。把当量τ与赌博的等价关系记为:xα］～τ称此式为赌博当量的无差异式xτy。τ需反复权衡风险偏好的不同将得到大小不等的τ值因此不同风险偏好可由τ值的大小来区分。实际中可能存在以下三种风险偏好类型:①xα，］～τ中τ＜(xαy)称决策者偏好为风险规避;②xα］～τ中τ=(xαy)称决策者偏好为风险中立;③xα］～τ中τ＞(xαy)称决策者偏好为风险偏好其中E(·)xα，的数学期望即1αxαy。根据上面所介绍的基于赌博当量法确定风险类型的思路下面给出不确定性区间数的基于风险偏好的表示方法。假定α在区间=xLxU上均匀分布密度函数为f(α)=1/(xU－xL)则E(xLαxU) =∫xU∫f(α)αdαxL

xU+xL2 τθ为

τθ=n()+θe() (1)θθθ其中θ称为风险偏好因子(|θ|0．5)它表示决策者承担风险的偏好(或程度);n()为区间数值即n()=(xL+xU)/2;e()为区间数即e()=xU－xL。具体地当－0．5θ＜0时有τ＜E(xLαxU)则称决策者为风险规避型;当θ=0时有τ=E(xLαxU)则称决策者为风险中立型;当0＜θ0．5时有τ＞E(xLαxU)则称决策者为风险偏好型。风险偏好因子θ可根据决策者的风险偏好来确定θ的灵敏度分析方法。θθθ2．2 决策方法基于前面给出的风险偏好定义可将具有区间数的多属性决策问题转化为在风险偏好因子θ意义下具有实数值的传统多属性决策问题。依据式(1)将区间数决策矩阵珟=ijm×n转化为带有风险偏好因子的实数值决策矩阵AθAθaθ为ijm×n

ijaθ=(aL+aU)/2+θ(aU－aL)，i=12…m;j=12…n (2)ij ij ij ij ij为了消除不同物理量纲对决策结果的影响下面采比重变换法］将决策矩阵Aθ=aθ］ 规范化为决策矩阵Bθ=［bθ］

其计算公式为

ijm×nijm×nmbθaθ aθ，

为效益型属性时 (3)ij ij∑i=1bijijθ=(1/aθ)bijijij，ij

ijm∑i=1

1aθ

，当cj^θ

为成本型属性时 (4)为了确定属性的权重首先求出各个属性的平均值bj即^θbj=

m∑i=1

bθ/m，j=12…n (5)ijbj=1/B由式(3)和式(4)可知^θ 然后求各列属性值与其均值的绝对偏ijbj=1/B^θ ^θ ^θbim×n其中矩阵B中的元素bij为^θ θ ^θbij=|bij－bj|，i=12…m;j=12…n (6)在此基础上计算各列的绝对偏差之和当属性的绝对偏差和越大说明该属性对决策的重要性越大相应的权重也应该越大;反之当属性的绝对偏差和越小属性的权重应越小或为零。据此确定出属性的权重向量Wθ=(wθwθwθ)T并对其进行归一化处理具体的计算公式为1 2

wθ= ^bb

n m^θb，j=12…n (7)θmj ∑ij∑∑ijmi=1

j=1

i=1i根据所得属性的权重向量利用简单加权和法可计算各个方案的综合评价值dθ为indθ= wθbθ，i=12…m (8)i ∑j=1

jij根据综合评价值dθ的大小对方案进行优劣的排序或选优dθ愈大相应方案愈排在前面。i i综上在考虑决策者风险偏好时求解区间数多属性决策问题的具体步骤如下:步骤1 基于决策者的风险偏好确定θ值然后依据式(2)将区间数决策矩阵=im×n映射为实数值决策矩阵Aθ;ijm×n步骤2 依据式(3)和(4)将决策矩阵Aθ规范化为决策矩阵Bθ;ijm×n ijm×n步骤3 依据式(6)求各列属性值与其均值的绝对偏差得到绝对偏差矩阵^θ ^θ］ ;步骤4 依据式(7)求得属性的权重向量Wθ;i步骤5 依据式(8)求得每个方案的综合评价值dθ;i步骤6 依据求得的每个方案的综合评价值对所有方案进行排序;

B=b

m×n步骤7 根据决策分析的需要可以得出在给定风险偏好因子θ意义下的方案排序结果的灵敏度分析即可选取不同的θ值并分析θ变化对方案排序的影响。3 算例中的干部选拔例子来说明本文给出的方法的求解过程。由于考核选拔干部是一个多因素的决策问题某单位在对干部进行考核选拔时6项考核指标属性思想品德c1工作态度c2工作作风c3文化水平和知识结构c4领导能力c5和开拓能力c6然后由群众推荐、评议对各项指标分别打分再进行统计处理并从中确定了5名候选人S={s1s2s3s4s5}。由于群众对同一候选人所给出的指标值属性值并不完全相同经过统计处理后的每个候选人在各指标(属性)下的评价值是以区间数的形式给出的具体的决策矩阵数据为0．850．9］0．900．9］0．910．9］0．930．9］0．900．9］0．950．90．090．9］0．890．9］0．900．9］0．900．9］0．940．9］0．900．9=0．880．9］0．840．8］0．910．9］0．910．9］0．860．8］0．910．9 0．850．8］0．910．9］0．850．8］0．860．8］0．870．9］0．920．90．860．8］0．900．9］0．900．9］0．910．9］0．900．9］0．850．8本文以θ0即决策者为风险中立型为例来说明具体计算过程。首先可依据步骤1利用式2将决槇A0然后由于各项属性均为效益型可依据步骤2利用式3将决策矩阵A0B03求得各个属性值的绝对偏差得到绝对偏差矩阵

^0B;依据步骤4求出相应属性权重向量W0=(0．16080．16450．15220．15140．18010．1850)T;并依据步骤5计算出相应方案的综合评价值分别为:d0=0．2033d0=0．2034d0=0．1982d0=0．1966d0=0．1986。由此可得到1 2 3 4 55个方案的排序结果为s2s1s5s3s4当风险偏好不同时即选取不同的风险偏好因子时方案的排序结果可能会产生一些变化11可以看出当决策者为风险规避型时最佳候选人为s1当决策者为风险中立型或风险偏好型时最佳候选人为s20．875 0．91 0．925 0．945 0．905 0．960．925 0．90 0．91 0．91 0．955 0．9150 A=0．895 0．85 0．925 0．925 0．875 0．9150．86 0．92 0．865 0．875 0．885 0．9250．875 0．91 0．925 0．92 0．91 0．860．1975 0．2027 0．2033 0．2066 0．1998 0．20980．2088 0．2004 0．2 0．1989 0．2108 0．2B0=0．2020 0．1893 0．2033 0．2022 0．1932 0．20．1941 0．2049 0．1901 0．1913 0．1954 0．20220．1975 0．2027 0．2033 0．2010 0．2009 0．1880．0023 0．0027 0．0033 0．0066 0．0002 0．00980．0088 0．0004 0 0．0011 0．0108 0 ^0=0．002 0．0107 0．0033 0．0022 0．0068 0 B 0．0059 0．0049 0．0099 0．0087 0．0046 0．00220．0025 0．0027 0．0033 0．0011 0．0009 0．012表1风险偏好因子取不同值及方案排序结果d风险偏好程度 风险偏好因子 θd取值(θ) i

排序结果极强风险规避–0．50．20350．20310．19820．19690．1984s1s2s5s3s4一般风险规避–0．30．20340．20310．19820．19680．1985s1s2s5s3s4较弱风险规避–0．10．20330．20320．19820．19670．1986s1s2s5s3s4风险中立00．20330．20340．19820．19660．1986s2s1s5s3s4较弱风险偏好0．10．20330．20340．19820．19650．1986s2s1s5s3s4一般风险偏好0．30．20330．20350．19820．19630．1987s2s1s5s3s4较强风险偏好0．50．20330．20350．19820．19620．1987s2s1s5s3s4由上述算例分析可见决策者的风险偏好对决策结果有一定影响但是变化还是比较稳定的所以更加符合实际情况更具有科学性和合理性。4 结束语对于属性值为区间数属性权重未知的区间数多属性决策问题本文所给出的决策分析方法考虑了决策者的风险偏好。其核心是引入了风险偏好因子在此基础上给出了基于绝对偏差的权重确定方法进而利用简单加权和法得到方案的排序或选优进一步地可通过选取不同的风险偏好因子对方案排序结果进行灵敏度分析。该方法概念清晰计算简单并且有可操作性。参考文献:］gCLnK．Meeng:sd．wk:rg1．］徐泽水．不确定多属性决策方法及应用．北京:清华大学出版社4．］樊治平尤天慧张尧．属性权重信息不完全的区间数多属性决策方法．东北大学学报(自然科学版)56(8):80．］张尧樊