2022年广东省东莞市市东城职业高级中学高三数学文月考试题含解析

2022年广东省东莞市市东城职业高级中学高三数学文

月考试题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.定义在(-8,0)上的可导函数f(x)的导数为f'(x),且有xff(x)-2f(x)>

X2,若f(m+2015)-(m+2015)2f(-1)>0,则实数m的取值范围是()

A.(-2016,0)B.(-8,-2017)C.(-8,-2016)D.(-2016,-

2015)

参考答案：

D

【考点】函数的单调性与导数的关系.

【分析】对不等式xf'(x)-2f(x)Ax'两边同除以-x，便可据条件得出

呼)，>0号

X,从而判断出函数F(X)=X，在(-8,0)上单调递增，这样可由不

等式f(m+2015)-(m+2015)2f(-1)>0得出F(m+2015)>F(-1),这样根据F

(x)的定义域及单调性即可求出m的取值范围.

【解答】解：由xf'(x)-2f(x)>x2(x<0)得，

xf'(x)-2f(x)

-x3x；

煤)，〉o

JX'；

f(x)

9

设F(x)=1,则F(x)在(-8,o)上单调递增；

f(m+2015)>f(_])

由f(m+2015)-(m+2015)*(-1)>0得，(/2015)2；

f(m+2015)

即("2015尸(-1)2.

：.F(m+2015)>F(-1)；

，-l<m+2015<0；

:.-2016<m<-2015；

的取值范围是(-2016,-2015).

故选D

2.已知函数f(x)nx'+Zbx'cx+l有两个极值点Xi、X”且xP[-2,-1],x2G[1,2],

则f(-1)的取值范围是()

r_3r3r_3

A.2,3]B.L2,6]C.[3,12]D.2,12]

参考答案：

C

【考点】简单线性规划；函数在某点取得极值的条件.

【分析】根据极值的意义可知，极值点Xi、Xz是导函数等于零的两个根，根据根的分布建

立不等关系，画出满足条件的区域即可；利用参数表示出f(-1)的值域，设z=2b-c,

再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过可行域内的点A时，从而得到

z=x+3y的最大值即可.

【解答】解:f'(x)=3x2+4bx+c,

依题意知，方程f'(x)=0有两个根xi、xz,

且xP[-2,-1],x2e[l,2]

等价于f'(-2)20,f'(-1)WO,f'(1)<0,f'(2)、0.

'12-8b+c>0

3-4b+c40

3+4b+c<0

由此得b,c满足的约束条件为ll2+8b+c>0

满足这些条件的点(b,c)的区域为图中阴影部分.

由题设知f(-1)=2b-c,

由z=2b-c,

将z的值转化为直线z=2b-c在y轴上的截距，

当直线z=2b-c经过点(0,-3)时，z最小，

最小值为：3.

当直线z=2b-c经过点C(0,-12)时，z最大，

最大值为：12.

故选C.

3.已知集合4=｛出“2.*川*+3*2<0｝则

()

A.-1€J4B.若WB

cMIB(3)=zD.

参考答案：

D

【解析】

1

iSS分析：♦../=｛尸|>=2-11%€&｝=｛>|丁>一1｝3=｛工|_?一工-：I<oj=1x|-1<x<2J,

A\JB=A,故选D.

考点：1、集合的表示；2、集合的运算.

4.点4BGD均在同一球面上，且工8、工C、工£)两两垂直,且工3=1,AC=2,

幺。=3,则该球的表面积为

7>r

A.7kB.14开C.TD.

7-TMTT

3

参考答案：

B

5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是

(A)54(B)27(C)18(D)9

h--------6---------H

IKzd

正视图侧视图

K7

3—H

归视国

参考答案：

C

略

COSX

6.函数x+sinx在的图像大致为()

Ulu

_.一

A.B.

二、儿y

参考答案：

D

【分析】

根据函数的奇偶性和特殊值可判断.

【详解】解：因为x+snr,所以/（x）为奇函数，关于原点对称，

故排除,又因为〃叫=°,"±万）=1/（3）＞0,〃也＜0,故排除与、C,

故选：D.

【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.

x2/

7.已知双曲线L户a＞＞的左、右焦点分别为尸Fz，过B且倾斜角为45。的

直线分别交双曲线的两条渐近线于点P,Q,若（。是坐标原点），则此双曲线

的离心率等于（）

A.2B.45c.3D.版

参考答案：

D

【分析】

过人且倾斜角为45°的直线方程设为y=x+c,联立两直线可得2的坐标，进而得％的

be_b

斜率为oc-Ac+oc2a-d,化筒可得6=3a,从而可求离心率.

【详解】过解且倾斜角为45。的直线方程设为事=工+匕

jr=+-x

双曲线的渐近线方程为a,

由0P〃眄，可得2在第一象限，

bacbe

,,一y=­x2（；——-）

由y-x+c和a,解得b-ab-a,

be_b

。区的斜率为ac-ic+ac2a—b,

b_b

可得a2a-b,可得B=3a,

/=＜启=而

则a

故选：D.

【点睛】本题主要考查了双曲线的几何特征，考查了运算求解的能力，属于中档题.

R电视图

一个儿何体的三视图如图所示，如该几何体的表面

积为

92cM2,则为的值为

A.4B.5C.6D.7

参考答案：

A

由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形

的四棱柱，其底面直角梯形的上底为2,下底为5,高为4,

2+5

2x-x4+(2+4+5

四棱柱的高为〃，则儿何体的表面积2

+在+42)%=92,即16〃=64,解得a=4.故选A.

【解题探究】本题考查立体几何中的三视图及几何体的体积计算.通过题中给出的三视

图，分析可以得到该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，然后依据四棱柱的表面积公

式进行计算.

9.已知定义在R上的奇函数/"),满足/"+4)=-力＞),且在区间［0,2］上是减函

数，

则(

)

A./(ll)</(80)</(-25)B./(80)</(ll)</(-25)

C./(-25)</(ll)</(80)D./(-25)</(80)</(11)

参考答案：

A

略

71冗

10.将函数尸cos(2X+T)的图象向左平移T个单位后，得到f(x)的图象，则

()

7T

A.f(x)=-sin2xB.f(x)的图象关于x=-3对称

7兀1.

C.f("T")五D.f(x)的图象关于(15,0)对称

参考答案：

B

【考点】函数尸Asin(sx+e)的图象变换.

【分析】利用诱导公式、y=Asin(3x+6)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得

出结论.

.71

【解答】解：将函数y=cos(2X+T)的图象向左平移T个单位后，得到f(x)=cos[2

冗冗

(x+6)+3]

2兀71

=cos(2x+3)=-sin(2x+6)的图象，故排除A；

717T

当x二-亨时，f(x)=1,为最大值，故f(x)的图象关于x=-丁对称，故B正确；

7-29兀5兀1_

f(3)=-sin6=-sin6=-2,故排除C；

2L2L返—

当x=I2时，f(x)=-sinT=-V^O,故f(x)的图象不关于(12,0)对称，故D

错误，

故选：B.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知加€用直线,5优-512+1»=4加，则直线，斜率的取值范围

参考答案：

12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于.

倚视图

参考答案:

13.将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为

（结果用最简分数表示）

参考答案:

1

答案：12

14.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度（棉花

纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间［5,40］中，其频率分布直方

图如图所示，则在抽测的100根棉花纤维中，有根的长度小于20mm.

参考答案：

30

15.已知直线＞=扛+1与曲线切于点色笏，则占的值为.

参考答案：

3

⑹已知函数^:/⑺满足/⑺+“一工”？。。？，则/“（X）+广1（2002_工）=

参考答案：

0

略

17.已知向量场，砺，冠满足：OA+2OB+3OC=O,则“A8C：SACBC=

A.12B.6C.3D.2

参考答案：

B

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(12分)已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a#l).

(I)当a>l时，求证：函数f(x)在(0,+oo)上单调递增；

(II)若函数y=|f(x)有三个零点，求t的值.

参考答案：

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】(I)先求原函数的导数得：F(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-l)Ina,由于a>1,

得到f(x)>0,从而函数f(x)在(0,+oo)上单调递增.

(II)由已知条件得，当a>0,a^l时，f(x)=0有唯一解x=0,又函数y=|f(x)-t|-l有

三个零点，等价于方程f(X)=t±l有三个根，从而t-l=(f(X))mi产f(0)=1,解得t即

得.

【解答】解:(I)f(x)=axlna+2x-lna=2x+(a'-l)Ina

由于a>l,故当xe(0,+oo)时，lna>0,as-l>0,所以F(x)>0,

故函数f(x)在(0,+oo)上单调递增

(II)当a>0,ag时，因为f(0)=0,且f(x)在R上单调递增，

故f(x)=0有唯一解x=0(6分)

所以X,f(X),f(X)的变化情况如表所示：

X(-00.0)0(O.+oo)

/V)—0+

“X)极小值递增

又函数y=|f(x).t|-l有三个零点，所以方程f(x)=t±l有三个根，

而所以t-l=(f(X))min=f(O)=1，解得t=2(10分).

【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、函数的零点等

基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.

19.(本小题满分12分)设数列｛°』的前浮项和为号，且用=2右-35=1,2,…).

(1)证明：数列是等比数列;

(2)若数列｛纭｝满足4寸K+2%伽=1,2,…)，求数列3』的前"项和为北.

参考答案：

(1)证明：因为凡=24-35=1,2,…)，

则以I=2%「35=23…)……1分

所以当附22时，％=6*-26.1,

整理得由号=2仆一3,令万=1,得号=2的-3,解得％=3.

所以｛4｝是首项为3,公比为2的等比数列.……6分

⑵解：因为勺=3-2*:由九飞+2万5=1,2,…)，得4=32-1+2叱

所以4=3(1+2]+22+.一+21)+20+2+3+…+%)ks5u

_1(1-22)W+1)

1-22=328+«2+«-3

所以方=32+步+"_3.................12分

20.今年，楼市火爆，特别是一线城市，某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭

为单位进行抽签，若有"套房源，则设置”个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家

庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源.

(1)求每个家庭中签的概率；

(2)已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号.目前该小区剩

余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房.

记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为X,求X的分布列及数学期望.

参考答案：

(1)因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，

63

所以每个家庭能中签的概率,20-10

(2)据题意知，X的所有可能取值是0,1,2

5。)嘴喘其『=警4世”唱V

X的分布列为

X012

1_86

p

151515

4

-

E(JO=0x—+1XA+2XA=3

X的数学期望151515

返

21.(2016?邵阳二模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e=3,右焦

点到右顶点的距离为«-近

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设F”艮为椭圆的左，右焦点，过同作直线交椭圆C于P,Q两点，求△PQE的内切

圆半径r的最大值.

参考答案：

【考点】椭圆的简单性质.

c

【分析】(1)由题意设椭圆方程，由e=W=7",a-c=V3-V2,即可求得a和c的值，

由即可求得b的值，求得椭圆方程；

(2)由当直线PQ斜率存在时，设直线方程为：x=ky+Ji代入椭圆方程，由韦达定理可

11_

知yl+y2,娟人根据三角形的面积公式可知S=2IF,+F2I?Iyi-y2I(IPF)I+I

F.QI+IPQI)?r,求得r的表达式，根据基本不等式的关系，即可求得△PQK的内切

圆半径r的最大值.

22

XV1

【解答】解：(1)由题意可知：设椭圆方程为：ab，,(a>b>0),

c

则e=a=3,a-c=V3-V2,

解得：a二班，c=近,

由b2=a2-C2=L

...椭圆的方程为：3:

(2)由(1)可知：F.(-V2,0),F2(V2,1),设P(x,,y.),Q(x2,y2),

返

当PQ斜率不存在时，可得：r=3,

当PQ斜率存在时，设直线方程为：x=ky+M,

将直线方程代入椭圆方程，整理得：农+3)y2+2«ky-0=0,

2五k1

由韦达定理可知：y,+y2=-k'+3,y,?y2=-k"+3,

]I--------；------2炳k2+1

△PQ以面积S=E|K+F2I?Iy「yzI=7^/61+丫2)2-4丫1丫&k2+3,

1

由S=y(IPE,I+IF,QI+IPQI)?r=2a?r=2V3r,

2月1?+1

k2+3-2y[3r,

1

，r=k"+3=后Vk*，lW2,

____2

当且仅当必7=必二时，即1<=土1时，等号成立，

1

.•.内切圆半径的最大值为

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积公式及

基本不等式的关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题.

21.(12分)(2016?邵阳二模)已知函数f(x)=lnx+x2-2ax+l(a为常数).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若存在x°w(0,1],使得对任意的ae(-2,0],不等式2me"(a+1)+f(x。)>

a、2a+4(其中e为自然对数的底数)都成立，求实数m的取值范围.

【答案】

【解析】

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数单调性的判断与证明；其他不等式的

解法.

【分析】(1)求出函数的导函数，对二次函数中参数a进行分类讨论，判断函数的单调

区间；

(2)根据(1),得出f(X。)的最大值，问题可转化为对任意的ad(-2,0],不等式

2mea(a+1)-a?+-4a-2>0都成立，构造函数h(a)=2mea(a+1)-a2+-4a-2,根据

题意得出m的范围，由h(0)>0得m>l,且h(-2)20得m^e2,利用导函数，对m

进行区间内讨论，求出m的范围.

【解答】解：(I)f(x)=lnx+x2-2ax+l,

12x"2ax+l

f'(x)=x+2x-2a=x,

令g(x)=2x2-2ax+L

(i)当a<0时，因为x>0,所以g(x)>0,函数f(x)在(0,+oo)上单调递增；

(ii)当时，因为△・()，所以g(x)>0,函数f(x)在(0,+8)上单调

递增；

a«a2-2aWa2

(iii)当a>M时，x在(2,2)时，g(x)<0,函数f(x)单调

递减；

a2一2aMa2-2

在区间(0,2)和(2,+8)时，g(x)>0,函数f(x)单调递增；

(II)由(I)知当ad(-2,0],时，函数f(x)在区间(0,1]上单调递增，

所以当xw(0,1]时，函数f(x)的最大值是f(1)=2-2a,对任意的ae(-2,0],

都存在Xo《(0,1],使得不等式ae(-2,0],2mea(a+1)+f(xo)>a'+2a+4成立，

等价于对任意的(-2,0],不等式2me，(a+l)-a?+-4a-2>0都成立，

记h(a)=2mea(a+1)-a2+-4a-2,由h(0)>0得m>l,且h(-2)20得mWe',

h'(a)=2(a+2)(mea-1)=0,

Aa=-2或a=-Inm,

VaG(-2,0],

：.2(a+2)>0,

①当1VmVe?时，-lnm£(-2,0),且a£(-2,-Inm)时，h'(a)<0,

aG(-Inm,0)时，h'(a)>0,所以h(a)最小值为h(-Inm)=lnm-(2-Inm)>

0,

所以aW(-2,-Inm)时，h(a)>0恒成立；

②当m=e2时,h'(a)=2(a+2)(ea，2-1),因为aG(-2,0],所以h'(a)>0,

此时单调递增，且h(-2)=0,

所以ae(-2,0],时，h(a)>0恒成立；

综上，