2023年人教版高考数学总复习规范答题系列-三角综合问题

规范答题系列一一三角综合问题

［典例］(12分)(2021•新高考I卷)记4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2

=ac,点D在边AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)证明:BD=b；

(2)若AD=2DC,求cosZABC.

♦导引助思•析考题

⑴看到BDsinZABC=asinC,想到正弦定理，根据边角关系得到BD=*；

(2)看到AD=2DC,求cosZABC,想到应用余弦定理求cosZADB,cosZCDB,利用NADB

="一NCDB,可得边之间的关系，结合已知及余弦定理即可求cosZABC.

【标准答案】(1)如图所示，由题设，

asinC

BD=SY/7ZABC由正弦定理知:

cb

①2分

sinCsinZABC

„sinC_c

1n1sinZABC-b②3分

所以BD=*,又b=ac,

所以BD=b.③4分

(2)由题意知：BD=b,AD=?,DC=1,

oo

2

4b213b2

b+g—c2--c

所以cosNADB=~=2

2b41tb

2b■———

33

22

2b210b2

卜十行一或"r~a-

同理cosZCDB=————

b2b2

2b--

o3

..................................®6分

因为NADB=JT-ZCDB,

13b2z210b2

9ca-

所以=万^，........⑤8分

整理得2a?+/=等，

O

又b?=ac,所以2a2+4=手，

a3

整理得6a-lla2b2+3b4=0,

解得*=；或*=1，..........@10分

D。D乙

a2+c2-b24

由余弦定理知：cosNABC=

2ac一32b,

7

cosZABC=6>1不合题意;©11分

霏K时，

7

cosZABC=-；

纬=5时,

7

综上，cosZABC=—..................................(§)12分

♦满分点拨•悟考题

命题考查知识：主要是正弦定理、余弦定理及解三角形等基础知识.

探源核心素养：数学运算，逻辑推理

①由正弦定理变形得2分；

②利用正弦定理进行边角互化得1分；

阅卷

③结合条件得出结论得1分；

现场

④由余弦定理得cosZADB,及cosNCDB得2分；

⑤想到NADB="一NCDB得1分，正确得出等式得2分；

⑥根据等式结合条件化简得2分；

⑦分情况说明得1分；

⑧得到最终结果得1分.

1.求解三角形问题的关键

准确把握正、余弦定理，根据已知条件灵活地选用公式.

2.求解三角形问题的技巧

满分

(1)掌握三角公式：解三角形时常会用到三角函数的同角关系式及三角恒等变换公

策略

式.

(2)角的变换：用已知角表示目标角，通过三角恒等变换以及利用三角形内角和定理

实现.

♦一题多解•妙解题

第(2)问也可采用如下解法:

[2

因为前=-BA+-BC,

OO

所以前2=(gA2+^BA•BC+|BC2.

9ac一(?一£

所以cosZABC=

4ac

l+c?-ac

又因为cosNABC=

2ac

可得6a2—1lac+3c2=0,

即(3a—c)(2a—3c)=0,

解得3a=c或2a=3c.

7

当3a=c时，cosNABC=\(舍去)；

b

7

当2a=3c时，cosZABC=­.

JL乙

5,7

综上，cosZABC=­.

，跟踪训练

(2021•新高考H卷)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=a+l,c=a+

2.

(1)若2s"C=3sinA,求aABC的面积；

⑵是否存在正整数a,使得AABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理

由.

【解析】(1)因为2sinC=3sinA,

则2c=2(a+2)=3a,则a=4,故b=5,c=6,

a'+b"-c'1〜、，x.v-

cosC=——=-，所以，角C为锐角，

2ab8

则sinC=^/l—cos2C书，

…113巾15小v

因此，SBC=9absjnC=~X4X5X-^—=-；

AAZZo4

2112_2

⑵显然c>b>a,若aABC为钝角三角形，则角C为钝角，由余弦定理可得