2023年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷

2023年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列实数中，最小的是（）

A.—V2B.—2C.0D.3

2.在平面直角坐标系中，与点4（3,-4）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（-3,-4）B.（3,4）C.（-3,4）D.（4,-3）

3.广东省市场监督管理出台了一系列政策促进广东餐饮行业的发展，据统计，2023年第一

季度广东省餐饮主体营收达480亿元，将“480亿”用科学记数法表示是（)

A.48x109B.4.8x102C.4.8x109D.4.8xIO10

4.下面的计算正确的是()

A.(a+b)2=a2+b2B.4a—a=4

C.(i,.(；■(11D.(a3)4=a12

5.如图，在△ABC中，点E,F分别为ZB,4c上的点，若AE=BE,AF=CF,则下列结论

错误的是（）

B.EF=^BC

A.ShABC—2sA4EF

C.^AEF-^ABCD.EF//BC

6.若反比例函数y=:的图象在第二、第四象限，常数k和b互为相反数，则一次函数y=kx-

b在平面直角坐标系中的图象大致是（）

7.如图,在。。中，点C是圆上的一点且乙4cB=120。，弦

AB=12,则。。的直径长是（）

A.8c

B.40

C.24

D.12

8.若a是关于一元二次方程;L'2i23II的一个实数根，则4士；2,的值是

（）

A.4046B.-4046C.-2023D.0

9.如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标是4（一2,1）,48=5,且乙40B=90。,那么点B到

x轴的距离是（）

10.如图，在菱形ZBCD中，/.ABC=60°,AB=4,点E是48边上的动点，过点B作直线CE

的垂线，垂足为G，当点E从点4运动到点8时，点G的运动路径长是（）

42____

A.-7TB.-JrC.4yl3D.2yl3

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.实数16的平方根是.

12.一次函数y=2x-4与y轴的交点的坐标是.

13.某同学参加学校艺术节歌唱比赛，其中唱功、表情、动作三个方面的得分分别是90,85,

90,综合成绩中唱功、表情、动作分别占60%,20%,20%,则这位同学的综合成绩是.

14.直线，J/%，线段BC分别小，2交于点。，C，过点B作4B1BC,交直线，于点A,4DCE的

平分线交直线k于点F.若/BAD=15。，则4CFD的度数是.

B

15.已知平面直角坐标系中，点。（0,0）,C（2,2）,将线段OC向正南方向平移2个单位得到线

段。16,将线段01cl绕点。1按顺时针方向旋转90。后得到线段，则点的坐标是.

16.如图，矩形4BCD中，点E是边”的中点，将△4DE沿DE翻

折得到AFCE,延长EF交8c于点G,连接BF,DG.

一则4EBF的度数是.（用含a的代数式表

示）

（2）48：AD=2：3,贝IUGEB的正切值是.

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题4.0分）

解一元一次方程：2|T3I：lir■li.

18.（本小题4.0分）

如图，AB=AD,Z.B=ZD,BC=DE.

求证：Z.BAE=^DAC.

19.（本小题6.0分）

已知/‘，

(1)化简T;

(2)若x是不等式组［；'：!"，的整数解，选择一个合适的x代入7,并求出此时T的值.

20.(本小题6.0分)

已知y与x+2成正比例，当x=-3时，y=3.

(1)求y与x的函数解析式：

(2)若(1)函数的图象与一次函数y=2x+4的图象相交于点4求点4的坐标.

21.(本小题8.0分)

某中学为推进“中国传统文化进校园”，在本校组织开展中国传统文化知识竞赛，并随机抽

取了部分学生的测试成绩(成绩分为4等，B等，C等，。等)为样本，绘制成了如下两幅不完整

的统计图，请根据图中所给信息，下列问题：

(1)将表示成绩类别为“C等”的条形统计图补充完整；

(2)该校共有2000名学生参加了本次知识竞赛，试估计本次知识竞赛中测试成绩为“4等”和

“B等”的学生人数之和；

(3)该校按照竞赛成绩找出4名同学组成两队(每队两人)参加市知识竞赛，4名同学中有2位男

生和2位女生.若学校通过抽签随机组合，请用列举法表示这4名同学的组队情况，并求出性别

相同的同学在同一组的概率.

22.(本小题10.0分)

如图，在A/1BC中，AC2+BC2=AB2.

(1)尺规作图：以4C为直径作。0,连接8。并延长，分别交。。于。，E两点(点。位于4c右

侧，点E位于4C左侧).

(2)连接CD,CE,求证：乙BCD=4E；

⑶若、til,BC=2V_3.求cosNBAC的值.

23.（本小题10.0分）

古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥

上畅通无阻.广州市南沙区是典型的“水乡”，万里珠江在此奔腾入海，辖域里己有的和正在

建设的各式桥梁把南沙从曾经的“孤岛”连成了粤港澳大湾区的中心，助南沙货物流转、人

才集聚、便民宜居.中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵

县交河上的赵州桥建于隋朝，距今己有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完

整的古代敞肩石拱桥.如图①所示，赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）37米,

拱高（拱顶点到弦的距离）为7.23米.

⑴某桥4主桥拱是圆弧形（如图①中］加已知跨度4c=40m,拱高8。=10m,则这条桥

主桥拱的半径是;

（2）某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②）若水面宽MN=10m,拱顶P（抛物线顶点）离水面4m,

求桥拱抛物线的解析式；

（3）如图③，某时桥4和桥B的桥下水位均上升了2?n,求此时两桥的水面宽

24.（本小题12.0分）

定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.

图①图①备用图m

(1)图①，等腰直角四边形力BCD,AB=BC=4,/.ABC=90°.

①若CD=3,2。_1。。于点。，求4。的长：

②若AD=DC,/.ADC=45%求8。的长；

(2)图②，在矩形48CO中48=6,BC=15,点P是对角线BD上的一点，且BP=2PD,过点

P作直线分别交边AD，BC于点E,F,要使四边形4BFE是等腰直角四边形，求4E的长.

25.(本小题12.0分)

抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴交于点2(-1,0)点B,与y轴交于点C(0,-3)抛物线的对称

轴与x轴交于点D.

(1)求b、c的值；

(2)点E是线段BC上的一个动点，过点E作为轴的垂线与抛物线相交于点F,当四边形BCCF的

面积取得最大值，求此时点E的坐标；

(3)点P在的抛物线上，点Q在的抛物线的对称轴上，若直线BC垂直平分线段PQ时，求点P的

坐标.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由题意和实数大小比较法则，知：最小的数只能在和-2中找，

v1<<2,

-2<<-1,

故选：B.

根据实数大小比较法则“正数大于0,负数小于0,两个负数绝对值大的反而小”比较即可.

本题考查实数大小比较,解答时涉及无理数大小估计,熟练运用实数大小比较法则是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：点4(3,-4)关于原点对称的点的坐标是(一3,4),

故选：C.

根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案.

本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对

称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

3.【答案】D

【解析】解：480亿IMHHHHHKHH)1*1.

故选：D.

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax10\其中1<|a|<10,n为整数，据此判断即可.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axl(r的形式，其中lw|a|<10,n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.【答案】D

【解析】解：力、(a+b)2=a2+2ab+b2,原式计算错误，故选项不符合题意；

B、4a-a=3a,原式计算错误，故选项不符合题意；

C、a3-a4=a3+4=a7,原式计算错误，故选项不符合题意；

D、(a3)4=a12,原式计算正确，故选项符合题意.

故选：D.

根据完全平方公式、合并同类项的法则、同底数幕乘法以及幕的乘方的法则计算即可判断.

本题考查了完全平方公式、合并同类项的法则、同底数幕乘法以及暴的乘方的法则，解题的关键

是熟练掌握相关的公式和法则.

5.【答案】A

【解析】解：4E=BE,AF=CF,

•••EF是ZMBC的中位线，

:,EF=拙1,EF//BC,

・••△AE尸〜△ABCf

故8、C、。正确；

•・•△AEF^LABC,

.S3.EF.2A.21

SU"H(21'

S^ABC=4SAAEF>

故A错误.

故选：A.

由三角形中位线定理，推出EF=^BC,EF//BC,得至ABC,由相似三角形的性质得到

SAABC=4SAAEF・

本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握以上知识点是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：••・反比例函数y=5勺图象在第二、第四象限，

k<0,

•••常数k和b互为相反数，

b>0,

•••一次函数丫=在平面直角坐标系中的图象在第二、三、四象限，

故选：D.

根据反比例函数的性质确定k的符号，然后根据一次函数的性质即可得到结论.

本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题

的关键.

7.【答案】a

【解析】解：延长B。交圆于D,连接ZM,

•.,四边形DACB是圆内接四边形，

zD+ZC=180°,

VzC=120°,

:.Z-D=60。，

v8。是圆的直径,

：•2LDAB=90°,

AI3

ainD

DD

AS

BD=

.•.O。的直径长是8C.

故选：A.

延长8。交圆于C,连接D4由圆内接四边形的性质得到ND+NC=180。，求出NO的度数，应用

锐角的正弦即可求出圆的直径长.

本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角

形，应用锐角的正弦进行计算.

8.【答案】C

【解析】解：:a是关于一元二次方程：1/72()23(I的一个实数根，

..3u?a2H23I),

a21>23，

..2023+2a-60a30232；“-a)=2n23-2x2023=R023.

故选：c.

先根据一元二次方程的定义得到0再把2H2：l,入住」变形为“门,,,1,

然后利用整体代入的方法计算.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

9.【答案】B

【解析】解：如图，过点4作力轴于C,过点B作2D1X

轴于D,

••,点4的坐标是4(一2,1),

:.AC=1,0C=2,

AO=VI2+22=A/-5,

-AB=5,且〃OB=90°,

OBg-(4尸-2>/5，

•••ACAO+^AOC=AAOC+乙BOD=90°,

：•Z-CAO=(BOD,

•・・^ACO=乙BDO=90°,

••・△ACO-^ODB,

.A((“)I

coTib29

设。0=a,BD=2Q,

222

由勾股定理得：OB=OD+BD9

(2AT5)2=a2+(2a)2.

.•.a=2(负值舍)，

HI)2“I，

即点8到丫轴的距离是4.

故选：B.

如图，过点4作4c1x轴于C,过点B作BD1X轴于。根据勾股定理计算4。，0B的长，证明△ACO-A

ODB,可得结论.

本题考查了坐标与图形的性质，三角形相似的性质和判定，勾股定理，作辅助线构建三角形相似

是解本题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：如图，连接47、BD交于点H,连接0”.

•••BF1CE,

乙BGC=90°,

•••点G的运动轨迹在以边长BC为直径的。。上，

当点E从点4运动到点B时，点G的运动路径长为初，

•••四边形ABC。是菱形，

AB=BC=CD=AD=4,

vZ-ABC=60°,

・・・乙BCH=60°,

.HOH121）,

••・曲的长=雷=!兀，

loUJ

故选：A.

如图，连接AC、BD交于点H,连接。儿首先说明点E从点A运动到点B时，点尸的运动路径长为豺,

求出圆心角，半径即可解决问题.

本题考查菱形的性质、弧长公式、轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点F的运动轨迹，属于中

考常考题型.

11.【答案】±4

【解析】解：（±4）2=16,

16的平方根是±4.

故答案为：±4

利用平方根定义计算即可.

此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.

12.【答案】（0,—4）

【解析】解：把x=0代入y=2x—4得，y=—4,

即一次函数y-2x-4与y轴的交点坐标是（0,-4）.

故答案为：（0,—4）.

把x=0代入y=2%-4求出y的值，即可得出答案.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意：一次函数与支轴的交点的纵坐标是0.

13.【答案】89分

【解析】解：该名同学综合成绩为：90x60%+85x20%+90x20%=89（分），

故答案为：89分.

根据加权平均数的定义列式计算即可.

本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义.

14.【答案】52.5°

【解析】解：「ABLBC,

•••NB=90°,

•••4BAD=15°,

1st'.HAD75,

--ADB75，

Z£XI：iso,

乙DCE=105°,

vZDCE的平分线交直线，i于点F.

"CE52.5，

.（/I）.I（I525.

故答案为：52.5°.

首先利用三角形的内角和定理求出ND，然后利用平行线的性质求出4CCE,最后利用平行线的性

质及角平分线的性质即可求解.

此题主要考查了平行线的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行

线的性质.

15.【答案】（2,-4）

【解析】解：如图，3。即为所

求.。2（2,-4）.

故答案为：（2,-4）.

利用平移变换，旋转变换的性质作出

图形，可得结论.

本题考查作图-平移变换，旋转变换,

解题关键是正确作出图形，属于中考

常考题型.

3

4-

【解析】解：⑴・，将△4DE沿DE翻折

得至以FDE,

:.Z-ADE—乙FDE—a,Z.A=乙DFE—90°,

一3一」£(；2,/.AEG+^.BEG=180%

.HI：(；.ADI2...

故答案为：2a；

(2)在4。上取点H,使DH=EH,

则ID/HID，，

:.IHI.2n，

•••AB：AD=2：3.

二设4。=3x,AB=2x,I>11/.11y,

则」〃：5J-v.

•・•点E为AB的中点，

A£=£F=£/?=工

在山△/”?中，由勾股定理得,

2

解得y

荒1

473-

3

4-

(1)根据翻折的性质得\1>111>1,,再利用四边形内角和

为360。可得答案；

(2)在4D上取点H,使DH=EH,贝hID/.HED-求出

4AHE的正切值即可.

本题主要考查了矩形的翻折，勾股定理，解直角三角形等知识，通过作辅助线将ZBEG转化为N4HE

是解题的关键.

17.【答案】解：。：：I.•II,

2/6-3/12,

2J；Lr12，6,

—x=18,

%=-18.

【解析】按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1,进行计算即可解

答.

本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键.

18.【答案】证明：在AABC和A/WE中,

(AB=AD

=乙D,

VBC=DE

•••△4BC*4DE(S4S),

:.Z-BAC=Z.DAE,

**•Z-BAC-Z-CAE=Z.DAE—Z-CAE,

:.Z.BAE=Z.DAC.

【解析】由AB=AD,乙B=LD,BC=DE,根据全等三角形的判定定理“S4S”证明△ABCmA

ADE,AC=NZME,根据等式的性质得Z_BAC-4cAE=-“ZE,所以4B/E=/.DAC.

此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和

对应角并且证明4ABC=L40E是解题的关键.

=2(x+l)(x-l)

一(x+l)(x-l)x+2

2

=x+2；

Jx+3XMD

'152r3:2'

解不等式①，得x>-3,

解不等式②，得x<l,

不等式组的解集为：-3<x<l,其中整数有一2,-1,0,

由题意得：x丰±1和-2,

当x=0时;原式=G"=1.

【解析】(1)根据分式的减法法则、除法法则把原式化简；

(2)解不等式组求出x的范围，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可.

本题考查的是分式的化简求值、一元一次不等式组的解法，掌握分式的混合运算法则是解题的关

键.

20.【答案】解：(1)设y=k(x+2),

把x=-3,丫=3代入得3k-321,

解得k=-3,

所以y与X之间的函数关系式为y=-3%-6；

⑵由｛:解幅］

.•.点4的坐标为（一2,0）.

【解析】（1）利用正比例函数的定义，设丫=依％+2）,然后把已知的对应值代入求出k即可；

（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得4的坐标.

本题考查了待定系数法求一次函数解析式，两条直线相交问题，两条直线的交点就是两条直线解

析式组成的方程组的解.

21.【答案】解：（1）抽取的学生人数为：5+10%=50（人）,

答：估计本次知识竞赛中测试成绩为“A等”和“B等”的学生人数之和为1080人;

（3）画树状图如下：

共有12种等可能结果，其中性别相同的同学在同一组的结果有4种，

.•・性别相同的同学在同一组的概率为令=I.

【解析】（1）由成绩“4等”的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；

（2）由该校共有参赛学生乘以测试成绩为“4等”和“B等”的学生人数所占的比例即可；

（3）画树状图，共有12种等可能结果，其中性别相同的同学在同一组的结果有4种，再由概率公式

求解即可.

本题考查了树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识.树状图法可以不重复不遗漏的

列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放

回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

22.【答案】（1）解：图形如图所示:

(2)证明：rDE是直径，

•••乙ECD=90°,

•­•"+乙CDE=90°,

vOC=OD,

4ODC=/.OCD,

■■■AC2+BC2=AB2.

：.Z.ACB=90°,

乙BCD+/.OCD=90°,

乙BCD=Z.F；

(3)解：:，

•••乙E=30°,

・•・乙EDC=60°,

OC=OD,

OCD是等边三角形，

•••ABOC=60°,

.BC-.

<><

hiMilI

•••AC=20C=4,

AB=VAC2+BC2=42+(2O)2=2，7,

AC42y/7

/.CTJHZZ?.4CAB~2^'~

【解析】(1)根据要求作出图形;

(2)利用等角的余角相等证明即可；

(3)解直角三角形求出AC,AB,可得结论.

本题考查作图-复杂作图，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意,

灵活运用所学知识解决问题.

23.【答案】25

【解析】解(1)连接。4延长BD,由垂径定理知BD延长线经过点。,

设弧AB所在圆的半径为R米，

由题意得：OD1AB,CD=10,

则力。=BD=20,OD=R-8；

由勾股定理得：由=2()2+牡一10产,

解得：R=25,

即弧48所在圆的半径为25m.

故答案为：25；

(2)如图所示，以水面所在直线为x轴，MN的中点为原点，建立平面直角坐标系,

依题意,P(0,4),M(-5,0),

设抛物线解析式为y=ax2+4,将点M(—5,0)代入得,

25a+4=0,

解得：a=—亲

••・抛物线解析式为y=-奈/+生

(3)如图所示，依题意，GD=2,

则坎；-1。2K.

(；()rli(；25s17，

在Rt△OGE中，

E(；y/EO1-GO3=/对一171=4呵,

EF2EG、\21，

则水面宽度为米；

由(1)可得抛物线解析式为.，,12r.,\,如图所示,

即当y=2时，2r-'I,

25

解得：XL号,%2=-亨，

水面宽度为米.

(1)连接。力，延长BO至点0,在中，AO2=AD2+OD2,代入数据即可求解；

(2)以水面所在直线为%轴，MN的中点为原点，建立平面直角坐标系，依题意，P(0,4),M(-5,0),

设抛物线解析式为y=ax2+4,将点M(-5,0)代入，待定系数法求解析式即可求解；

(3)根据垂径定理，勾股定理，在RtZSOGE中求得EG,即可得出E厂2/7(.、\］；由(2)可得

抛物线解析式为y-I,当y=2时，解一元二次方程，即可求解.

本题考查二次函数的应用，关键是建立坐标系求出函数解析式.

24.【答案】解：（1）①如图①，连接4C,

图①

vAB=BC=4,/.ABC=90°,

AC=

vAC1CD,

..ADy/AC^+CD*=W2+9-/IT；

②如图①—1,连接BD,过点C作CE_L8C交BD于E,

■•AB=BC,AD=CD,BD=BD,

2ABD"CBD(SSS),

LABD=ACBD=45°,,Hl><\l)li

•：CE1BC,

•••乙BEC="BE=45°,

•••BC=CE=4,BE=45A7，

.ZBDC+ZECD=£BEC=45",

:.£BDC-ECDf，，

:*CE=DE=4,

BDBEDE1-K2；

(2)若EF1BC,则四边形4BFE是矩形，

，AE=BF,

■■■AD//BC,

BPED

~PD-Tip'

■■■BP=2PD,EDBlAD15，

4/HlIII.

vAB=6,

•••AE力AB

••・四边形4BFE表示等腰直角四边形，不符合条件.

若EF与BC不垂直，

①当4E=AB时，如图②中，此时四边形4BFE是等腰直角四边形,

图②

AE—AB—6,

-AD//BC,

BPED

而一而'

•:BP=2PD,l：D1569,

HIIs-15.

此时点F在BC