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文档简介
贺兰重点中学2023-2024学年第一学期高二年级期中数学测试卷姓名:___________班级:___________一、单选题1.准线方程为的抛物线的标准方程是(
)A. B. C. D.2.以点为圆心,且与直线相切的圆的方程为(
)A. B.C. D.3.垂直平分两圆,的公共弦的直线方程为(
)A. B. C. D.4.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为(
)A. B.C.或 D.或5.已知椭圆C:的左焦点是,过的直线l:与圆:交于A,B两点,则的长为(
)A. B. C.2 D.6.已知双曲线C:的渐近线方程为,且C过点,则C的方程为(
)A. B. C. D.7.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马,如图,四棱锥为阳马,平面ABCD,且,若,则(
)
A.3 B. C. D.18.已知是椭圆的左右焦点,若上存在不同两点,,使得,则该椭圆的离心率的取值范围为(
)A. B. C. D.二、多选题9.已知空间中三个向量,,,则下列说法正确的是A.与是共线向量B.与同向的单位向量是C.在方向上的投影向量是D.与的夹角为10.已知抛物线的焦点在直线上,则抛物线的标准方程为()A. B. C. D.11.已知直线:,:,则说法正确的是(
)A.恒过点 B.若,则C.若,则或 D.若不经过第三象限,则.12.已知双曲线若圆与双曲线C的渐近线相切,则A.双曲线C的实轴长为6B.双曲线C的离心率C.点P为双曲线C上任意一点,若点P到C的两条渐近线的距离分别为、,则D.直线与交于、两点,点为弦的中点,若(为坐标原点)的斜率为,则三、填空题13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则异面直线ON,AM所成的角是.14.代诗人李颀的诗《古从军行》:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角标系中,设军营所在的位置为,若将军从山脚下的点处出发,河岸线所在直线方程为,则“将军饮马”的最短总路程为.15.圆心在第一象限的圆,截轴所得弦长为2,截轴所得弦长为4,被轴分成两段圆弧,其弧长的比为,则圆的方程为.16.已知双曲线,O为坐标原点,,为其左、右焦点,若左支上存在一点P,使得的中点M满足,则双曲线的离心率e的取值范围是.三.解答题17.已知抛物线的顶点为坐标原点,准线方程为.(1)求的方程;(2)若直线:与交于,两点,求弦的长.18.已知动点M与两定点,构成,且直线,的斜率之积为4,求动点M的轨迹方程.19.已知圆过点,且圆心在直线上.(1)求圆的方程;(2)若从点发出的光线经过直线反射,反射光线恰好平分圆的圆周,求反射光线所在直线的方程.20.如图,在四棱锥中,底面为矩形,分别是的中点.
(1)求证:∥平面;(2)再从条件①,条件②中选择一个作为已知,求平面与平面夹角的余弦值.条件①:平面平面;条件②:.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.21.如图,在四棱锥中,平面平面,四边形为矩形,为线段上的动点,.(1)证明:;(2)若直线与平面所成角的大小为,确定点的位置.22.已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点M,N在C上,且,证明:直线MN过定点.参考答案1.D【详解】由抛物线的准线方程为,可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线,设其方程为,则其准线方程为,得.该抛物线的标准方程是.故选:D.2.D【详解】因直线与圆相切,所以圆的半径等于点到直线的距离,即,则所求圆的方程为.故选:D.3.B【详解】根据题意,圆,其圆心为,则,圆,其圆心为,则,垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线,则直线的方程为,变形可得;故选:B.4.D【详解】解法一
当直线过原点时,满足题意,此时直线方程为,即;当直线不过原点时,设直线方程为,因为直线过点,所以,解得,此时直线方程为.故选:解法二
易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.设直线方程为,则时,,时,,由题意知,解得或,即直线方程为或.5.A【详解】由题意可得,代入直线可得,则,所以直线,所以圆心到直线距离,所以弦长,6.B【详解】因为双曲线C的渐近线方程为,所以可设C的方程为,把点的坐标代入得,所以C的方程为,即.故选:B.7.B【详解】,,,.故选:B8.D【详解】解:延长交椭圆于,根据椭圆的对称性,则,,设直线的方程,,,联立,整理得:,则,,由,则,整理得:,则,即,∴椭圆的离心率,∴椭圆的离心率的取值范围.故选:D9.BC【详解】已知空间中三个向量,,,对于A选项,因为,故、不共线,A错;对于B选项,与同向的单位向量是,B对;对于C选项,在方向上的投影向量是,C对;对于D选项,因为,则、不垂直,D错.故选:BC.10.BD【详解】易知直线与坐标轴的交点分别为,当焦点为时,可知抛物线方程为:;当焦点为时,可知抛物线方程为:.故选:BD11.AC【详解】A选项:,即,解得,所以直线过定点,故选项A正确;B选项:若,则,解得,当时,:,:,两直线重合,舍去;当时,:,:,两直线平行,符合题意.所以,故选项B错误;C选项:若,则,解得或者,故选项C正确;D选项:当时,直线:不过第三象限,满足题意;当时,直线:不过第三象限,则,解得,综上,故选项D错误;故选:AC.12.BC【详解】解:由题意知的渐近线方程为,所以,因为,则,所以双曲线的实轴长为,故A错误;,所以,故B正确;设,则,,故C正确;设、,则,两式作差得,所以,,故D错误.故选:BC.13./【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2,则,所以,故,所以,故异面直线ON,AM所成的角为,
14.4【详解】如图,设点关于直线对称的点为,则,解得,则“将军饮马”的最短总路程为.故答案为:415.【详解】设圆的圆心为,半径为,则点到轴,轴的距离分别为.又圆被轴分成两段圆弧,其弧长的比为,知圆截轴所得劣弧对的圆心角为,所以圆截轴所得的弦长为,且,故,,又圆截轴所得的弦长为2,所以有,解得,16.【详解】因为分别为的中点,所以.又双曲线上的点到焦点的最小距离为,所以,解得,因此双曲线的离心率e的取值范围是.17.(1)(2)16【详解】(1)依题意可设C的方程为,则,解得.所以C的方程为.(2)将代入,得,则,,,因为过抛物线的焦点,所以.18.【详解】设点,而点,,在中,,又直线,的斜率存在,即,于是,即,整理得,所以动点M的轨迹方程.19.(1)(2)【详解】(1),则的垂直平分线的斜率为,中点为,故的垂直平分线为,,解得,即圆心为,圆的半径,故圆方程为.(2)反射光线恰好平分圆的圆周,故反射光线过圆心,设关于直线对称的点为,则,且,解得,即,,故反射光线为,即.20.(1)证明见详解(2)【详解】(1)取的中点,连接,
因为分别为的中点,则∥,且,又因为为矩形,且分别为的中点,则∥,且,可得∥,且,即为平行四边形,则∥,且平面,平面,所以∥平面.(2)若选条件①:因为平面平面,平面平面,,平面,所以平面,如图,以A为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系,则,可得,设平面的法向量,则,令,则,可得,由题意可知:平面的法向量,可得,所以平面与平面夹角的余弦值;若选条件②:连接,可知,即,可得,且,,平面,所以平面,如图,以A为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系,则,可得,设平面的法向量,则,令,则,可得,由题意可知:平面的法向量,可得,所以平面与平面夹角的余弦值.
21.(1)证明见解析(2)点为线段的一个三等分点.【详解】(1)取的中点,连接,,平面平面,平面平面,平面,平面平面,,RtRt,,,,平面平面,平面平面;(2)取的中点,连接,为的中点,为的中点,四边形为矩形,,两两垂直,以点为坐标原点,分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,所以,设,有,有,设平面的法向量为,由,有取,可得平面的一个法向量为,设直线与平面所成的角为,又由,有,,可得,又由,有,解得或,故若直线与平面所成的角为,则点为线段的一个三等分点.
22.(1)(
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