第十三章轴对称等腰（等边）三角形复习讲义人教版数学八年级上册

等腰（等边）三角形1等腰三角形的概念与性质等腰三角形的概念有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．如右图，在△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，其中AB，AC叫做腰，BC叫做底边，∠A叫做顶角，∠B和∠C叫做底角．AABC等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．AABCD2等腰三角形的判定判定①：两条边相等三角形是等腰三角形．判定②：两个角相等的三角形是等腰三角形．3等边三角形的性质与判定定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．性质：等边三角形的三条边、三个内角都相等，并且每一个角都等于60°（三线合一）．判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）两个角为60°的三角形是等边三角形；（3）含有60°的等腰三角形是等边三角形．4含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．例1．（1）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为__________度．（2）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是__________1．已知一等腰三角形的周长是9，若一腰上的中线把周长分成差为3的两部分，求这个等腰三角形三边的长．2．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则其顶角为．3．如图，在△ABA1中，∠B＝28°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，依此进行下去，∠A1A2C的度数为；以An为顶点的锐角的度数为．例2．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，∠DAE与∠DAC的度数比为2：1，则∠B的度数为．1．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°B．120°C．20°或120°D．360°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的大小．例3．【问题情境】思达老师给爱好学习的小闻和小达提出这样的一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．【变式探究】如图，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF．1．如图，在△ABC中，AB=AC=6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（）．A．5 C．9 D．102．已知：点P是等边△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC边上的高线．求证：PD+PE+PF=AH．例4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，交BC于E，请判断CF与CE相等吗？为什么？例5．如图1，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB与点E，交AC于点F．（1）求证：BE+CF=EF；（2）若将已知条件中的“∠ACB的角平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，其他条件不变（如图2）（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出BE，CF，EF之间的关系．（不需证明）1．如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，过点P作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，那么下列结论：①BP＝CP；②MN＝BM+CN；③△BMP和△CNP都是等腰三角形；④△AMN的周长等于AB与AC的和，其中正确的有（）A．②③④ B．①②③④ C．②③ D．③例6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个1．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画（） A．9个 B．7个C．6个 D．5个3．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个4．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠ACB=110°，∠BOC=，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD.（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由.（3）当=时，△AOD是等腰三角形．5．已知△ABC是边长为8cm的等边三角形，动点P、Q同时出发，分别在三角形的边或延长线上运动，设它们的运动时间为t（s），,如图2，若P点由A出发，沿射线AB方向运动，Q点由C出发，沿射线AC方向运动，P的速度为3cm/s，Q的速度为acm/s．是否存在某个a的值，使得在运动过程中△BPQ恒为以BP为底边的等腰三角形？如果存在，请求出这个值，如果不存在，请说明理由．例7．如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE=BD.求证：△ADE是等边三角形．1．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且有DE=DB．求证：AE=BE+BC．例8．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，∠C=30°，BC=4，则BD＝．1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（）A．8 B．4 C．12 D．62．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．（1）求证：BE＝AD；（2）若PQ＝4，求BP的长．1．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为.2．如图1，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）当运动时间为t秒时，BQ的长为厘米，BP的长为厘米；（用含t的式子表示）（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；（3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．3．如图，在等边△ABC中，AB=6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运