2023届河南省开封市高三第一次模拟考试理科数学试题（解析版）

开封市2023届高三年级第一次模拟考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，与J,§={-1,0,1,2},则an3=（）

A{2}B.{-1,0}C.{0,1,2}D.

{-1,0,1,2）

2.设命题p:VxeR,ev>x+1,则是（）

A.VxeR,ev<x+lB.VxeR,eA<x+1

C.3xeR,eA<x+lD.3XGR,ev<x+l

3+4i

3.若——是纯虚数，则复数z可以是（）

z

A.-3+4iB.3-4iC.4+3iD.4-3i

。为BC边上一点，且BD=；BC,则而=（）

4.已知中，

2—.1­,1―.3—■

A.1AC+-ABB.-AC+-ABC.-AC+-ABD.

333344

3—►1--

-AC+-AB

44

5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）

兀

6兀C.yf3nD.—

"V3

6.如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等,

则甲同学成绩的方差为（）

乙

甲

XQm82

21O9O18

A.4B.2C.V3D.y/2

x+y-3<0,

7.已知卜—>+120,则x+2y的最大值为()

x>0,y>0,

A.2B.3C.5D.6

8.设/(x)是定义域为R的偶函数，且在［(),+a)上单调递减，则满足/(x)</(x-2)的

x的取值范围是()

A.(-00,—2)B.(-2,+oo)C.D.

(1,+co)

9.已知数列｛%｝的前〃项和S“=2向-2,若〃+4=5(p,qeN*),则%,%=()

A.8B.16C.32D.64

10.已知点P(x,y)到点耳(一6,0)和点6(G,0)的距离之和为4,则孙()

A.有最大值1B.有最大值4C.有最小值1D.有最小

值T

11.如图，在正方体ABC。一A耳GA中，点M，N分别是4。，的中点，则下述结

论中正确的个数为()

①MN〃平面ABCD；②平面平面2"8；

③直线MN与8a所成的角为45°；④直线与平面4NO所成的角为45°.

A.1B.2C.3D,4

12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有

限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数

/(x),存在点与,使得/(毛)=不，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数

/(x)=x(aeTar)为“不动点”函数，则实数〃的取值范围是()

A.(9,0]B,1°°，gC.(-oo,l]D.

S，e]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数/(x)=Asinr—co&x的一个零点为:，则/(葛卜-

14.已知点A(l,0),8(2,2),C为丁轴上一点，若N8AC=；,则A耳恁=.

15.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑

料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双

曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为、后的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到

的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6cm,下底直径为9cm,

高为9cm,则喉部(最细处)的直径为cm.

f

16.在数列｛4｝中，6=1,«„+2+(-1)"«„=2(HGN).记S,是数列｛%｝的前〃项和,

则SQ,--------

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22〜23题为选考题，考生

根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

B+C

17.在AABC中，角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,已知acos=bsirt4,2a=3b.

2

(1)求cosB的值；

(2)若a=3,求C.

18.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮

猜对的概率为:，乙每轮猜对的概率为P.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各

轮结果也互不影响.已知“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为3.

(1)求P值；

(2)记“星队”在两轮活动中猜对成语的总数为X,求X的分布列与期望.

19.如图，&4BC是正三角形,在等腰梯形ABEF中，AB//EF,AE=族=6E='A6.平

2

面平面AB防，M,N分别是A广，CE的中点，CE=4.

(1)证明：MN//平面ABC；

(2)求二面角M-AB—N余弦值.

20.已知函数/(x)=2sinx-iix,aeR.

(1)若/(x)是R上的单调递增函数，求实数”的取值范围；

(2)当a=l时，求g(x)=/(x)-ln(x+l)在0,a上的最小值；

/-、一口.1.1.1.11〃+1

(3)证明：sin—+sin—+sin—d--r-sin—>In-----.

234n2

21.如图1所示是一种作图工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M,N,有一根旋杆将

两个滑标连成一体，=3,0为旋杆上的一点且在M,N两点之间，且|孙=川。加|.当

滑标M在滑槽£产内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于。处进

行作图，当2=1和4=2时分别得到曲线G和如图2所示，设EF与GH交于点0,

以班'所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.

(1)求曲线C1和。2的方程;

(2)已知直线/与曲线C1相切，且与曲线交于A,B两点，记△OA6的面积为S,证明:

s旭.

8

(-)选考题：共10分.请考生在22〜23题中任选一题作答.如果多做，则按

所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为」为参数)，(2,4)为曲线。上

一点的坐标.

(1)将曲线C参数方程化为普通方程；

(2)过点。任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C交于点A,B,以直线Q4的斜率左为

参数，求线段的中点M的轨迹的参数方程，并化为普通方程.

［选修4—5：不等式选讲］(10分)

23.已知函数/(%)=卜+。|+2k-1|.

(1)当。=1时，求/(力的最小值；

(2)若。>0,"0时，对任意xe［l,2］使得不等式/(%)>%2一人+1恒成立，证明：

(1Y(if

a+-+b+->2.

［2{2

开封市2023届高三年级第一次模拟考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合人卜与<2<8},={-1,0,1,2）则AC|B=（）

A.{2}B.{-1,0}C.{0,1,2}D.

{-1,0,1,2）

【答案】C

【解析】

【分析】由指数函数的单调性得4="|一1<%<3},后由交集定义可得答案.

1,,

【详解】-<2'<8o2T<T<23=<一1<x<3,

2

则4=3卜1<工<3},又8={-1,0,1,2},则408={0,1,2}.

故选：C

2.设命题p：TxeR,ev>x+l>则-1P是（）

A.VxeR,ex<x+1B.VxeR,e'<x+l

C.HxeR,e'<x+lD.3xeR,ev<x+l

【答案】D

【解析】

【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动，原题让我们选择一个全称命题的否

定，任意和存在是一对，要注意互相变化，大于等于的否定是小于.

【详解】VxeR,e*之x+1的否定是HxeR,eA<x+1.

故选：D

3.若二3+一4i是纯虚数，则复数z可以是（）

z

A.-3+4iB.3-4iC.4+3iD.4-3i

【答案】D

【解析】

3+4i

【分析】设2=。+万代入•一七简，根据其为纯虚数可得4万的关系，验证得答案.

3+4i3+4i（3+4i）x（a-6i）（3a+46）+（4a-36）i

【详解】设z=a+)i,则

za+bia2+b2a2+b2

3a+4〃=0

因为3+二4i纯虚数，所以

4a—30

经验证可知，a=4/=-3适合，即复数z可以是4—3i.

故选：D.

4.已知&4BC中，。为3c边上一点，且则而=()

3

1—■2—■2—­1—.1—■3—■

A.-AC+-ABB.-AC+-ABC.-AC+-AB

333344

3—■1—•

-AC+-AB

44

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的线性运算即可求得.

【详解】在AABC中，BC=AC-AB.

因为BQ=，BC,所以85=,百3=—A研.

333、,

所以A5=A月+8方=A4+](4(?—A月)=A瓦

故选：A

5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为()

A.叵B.叵C.底D.

63

【答案】B

【解析】

【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算.

【详解】设圆锥母线长为/,高为〃，底面半径为r=1,

则由271X1=71/得/=2,所以〃=5＞一「2=6,

所以V=J■兀,〃=-nxl2XV3=^~Tl.

333

故选：B.

6.如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等,

则甲同学成绩的方差为()

甲乙

9m829

2109018

A.4B.2c.GD.亚

【答案】B

【解析】

【分析】由平均数相等求出加，再求方差.

小立L.80x2+90x3+9+m+2+180x2+90x3+2+9+1+8八八一

【详解】由--------------------------=--------------------------=90可得,772=8,

即甲同学成绩的方差为2(2?+12+12+22)=2

故选：B

x+y-3<0,

7.已知<x—y+120,则x+2y的最大值为（）

x>0,y>0,

A.2B.3C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可.

【详解】作出可行域如图：

由kx+"y—l3==00解得4⑶

故选：c

8.设“X)是定义域为R的偶函数，且在［0,+。)上单调递减，则满足/(x)</(x-2)的

x的取值范围是()

A(-co,-2)B.(―2,+co)C.D.

(l,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】利用/(X)的奇偶性、单调性可得卜-2|<N，再解不等式可得答案.

【详解】因为“X)是定义域为R偶函数，所以=

又/(x)在［0,+。)上单调递减，所以在(y,0)上单调递增，

若/(x)</(x—2),则卜_2卜7,解得x><

故选：D.

9.已知数列｛4｝的前“项和S,,=2"+i-2,若p+q=5(p,qeN*),则%,%=()

A.8B.16C.32D.64

【答案】C

【解析】

【分析】当〃=1时，由S“=2"+J2可得％,当〃22时，4=S“—5,i，验证外是否适

合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果.

【详解】解：当〃=1时，q=E=22-2=2,

当心2时，4=S,一Si=2"+,-2-(2"-2)=2",

•••4=2,符合上式，

，数列｛%｝的通项公式为：a„=T

4%=2乙2'/=2k“=25=32,

故选：C.

10.已知点尸(x,y)到点耳卜百,0)和点工(百,0)的距离之和为4,则孙()

A.有最大值1B.有最大值4C.有最小值1D.有最小

值T

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，求出点P的轨迹方程，利用三角换元法即可求解.

【详解】因为点尸(X,y)到点8(-6,0)和点F2(73,0)的距离之和为4,

所以点P的轨迹是以耳(一6,0),后(0,0)为焦点的椭圆，且长轴长2a=4,

焦距2c=2>/3,b=\ja2~c2=,4—3=1，

所以点P的轨迹方程为—+/=1,设P(2cos0,sin，),(0V。V2兀)，

4

则肛=2cosesine=sin26e[-1,1],所以孙有最大值1,

故选：A.

11.如图，在正方体中，点M,N分别是A。，的中点，则下述结

论中正确的个数为()

①MN〃平面ABC。；②平面AND_L平面

③直线MN与用。所成的角为45°；④直线与平面4NO所成的角为45°.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.

【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，

0(0,0,0),4(2,0,2),8(2,2,0),D,(0,0,2),(2,2,2),M(1,0,1),^(1,1,1),

由正方体的性质可知：平面ABC。，则平面A3CO的法向量为西=(0,0,2),

丽=((),1,0),因为4方•砺=0,所以咐_1加，而MNU平面ABC。,

因此MN〃平面ABC。，故①对;

设平面AN。的法向量为正=(x,y,z),丽=(1,1,1),。4=(2,0,2),

mVDN而•丽=0x+y+z=0

所以有《__,=>__=>2x+2z=0S(L°，T)，

m±D4m•DA,=0

同理可求出平面2M6的法向量”=(1,o,1),

因为正工=1—1=0,所以而_L5,因此平面AN。，平面A“B,故②正确;

因为砺?=(()』,())，4a=(—2,—2,0),

砺-2

所以cos〈MN,8|D1〉=M

|西附1x74+4

因为异面直线所成的角范围为(0,90],所以直线MV与片R所成的角为45°,故③正确;

设直线RB与平面ANO所成的角为。,

因为=(2,2,—2),平面A、ND的法向量为m=(1,0,—1),

所以sin”.@,扁卜第=布涕丁圣冬

所以直线。乃与平面AN。所成的角不是45°,因此④错误,

一共有3个结论正确，

故选：C

12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有

限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数

/(x),存在点％,使得/(毛)=%，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数

/(x)=x(ae'Trir)为“不动点”函数，则实数〃的取值范围是()

A.y,0]B.(-°0，，C.(-0°,1]D.

S，e]

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意列出关于与和”的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.

【详解】由题意得若函数/(x)=x(ae'-lm:)为不动点函数则满足

/(x0)=x0-lnx0)=x0,即ae%=lnx()+1,即〃=史今也

(、lnx+1,、(lnx+1/-eA(lnx+1)--lnx-1

设gx二一L，g'*------------1-------=^-------

e㈠(叫2，

设Mx)=，—lnx—l,//(x)=y-—<0

所以〃(x)在(0,+8)单调递减，且力(1)=0

%«0,1),〃(力>03(力>()所以8(力在(0,1)上单调递增，

xe(l,+oo),〃(x)<0,g'(x)<0,所以g(x)在(l,+oo)上单调递减,

所以g(x)=叫1=」

—maxJe

当0,-|,(lnx+l)<0,^r>0,则g(x)<0

当,(lnx+l)>0,e'>0,则g(x)>0

所以g(x)的图像为:

要想。二除与■成立，则y=a与g(x)有交点，所以aVg(x)皿=，

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数/(x)=Asinx-cosx的一个零点为£,则/

6

【答案】0

【解析】

【分析】由题意，利用函数的零点，求得A的值，再利用辅助角公式和两角差的正弦公式化

简/«,可得了77-

【详解】函数/(x)=Asinx-cosx的一个零点为

71,(兀)人.万n1人6八

/—=Asin---cos—=—A----=0,

7[6)6622

:.A=8,函数/(x)=bsinx.cosx

5〃577T

2sin=2sin—=V2.

12~12~~64

故答案为：V2.

14.已知点A(l,0),8(2,2),C为了轴上一点，若N8AC=W，则A，瓦恁=.

【答案】5

【解析】

【分析】设C(0,y),利用余弦定理求。点坐标，然后利用数量积的坐标表示求解即可.

【详解】设C(0,y),所以|AB|=J(2—1)2+(2—0)2=亚,

\AC\=7(0-l)2+(y-0)2=71+7，忸q=7(0-2)2+(y-2)2=正-今+8，

因为ZBAC=彳，所以由余弦定理得忸C「=|A6「+1AC「一214训AC|cos?

即9―4y+8=5+l+y2一0x石解得丫=3,所以C(0,3),

所以通=(1,2),恁=(-1,3),

所以AmA^=lx(-l)+2x3=5,

故答案为：5

15.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑

料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双

曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为逐的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到

的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6cm,下底直径为9cm,

高为9cm,则喉部(最细处)的直径为cm.

【答案】4&

【解析】

【分析】由已知，根据题意，以最细处所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立平面直

角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系，由题意底直径为6cm,

所以双曲线过点（3,机），下底直径为9cm,高为9cm,所以双曲线过点（g,机-9）,代入双

曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径.

由已知，以最细处所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,

22

设双曲线方程为3-==1（。＞0力＞0）,

由已知可得，e=-=y[5,且C2=/+廿，

a

22

所以4/=。2,所以双曲线方程为0—二=1,

a24a2

底直径为6cm,所以双曲线过点（3,加），

下底直径为9cm,高为9cm,所以双曲线过点[g,机-9,代入双曲线方程得:

9m,

-2A~2~-I

a~44m=2

<81,，解得

4（吁灯口=2&

,iz24a2

所以喉部（最细处）的直径为4后cm.

故答案为：472.

16.在数列｛q｝中，q=l,%+2+（T）"%=2（〃eN*）.记S,是数列｛%｝的前〃项和，

则$4”---------------

【答案】An2+2n

【解析】

【分析】根据当〃为奇数时，a,.一怎=2,当〃为偶数时，4+2+%=2,分组求和即可.

n

【详解】由题知，q=1,«n+2+（-l）«„=2

当〃为奇数时，4+2一。“=2，

所以奇数项构成等差数列，首项为1，公差为2,

当〃为偶数时，《“2+%=2,

所以。2+。4=46+。8==2

所以

a

S4n=（4+。3+%+.........+。4"-1）+（。2+。4+6+......+。4”）

1c2〃（2〃-1）cc/2c

=1x2〃+---------x2+2x〃=4〃-+2n

2

故答案为：4n2+2n

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22〜23题为选考题，考生

根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

8+C*

17.在AABC中，角A,8,C,所对的边分别为a",c,已知acos-----=0sinA,2a-3b.

2

(1)求COSJB的值;

(2)若。=3,求c,

3

【答案】(1)cosB=—

4

、5

(2)c=-

2

【解析】

【分析】(1)先由三角形内角和的关系将cosO±C代换，再由正弦定理将边化角，求得角

2

A,B的关系，解出cos3的值；

(2)由第一问求得的COS3的值，根据余弦定理公式展开列方程求解。即可.

【小问1详解】

因为A+5+C=;r,

B+C_7tA

所以

222

B+C.A

得cos-------=sin—,

22

因为acos"C=〃sinA,

2

A

由正弦定理,可得sinA・sin—=sinB-sinA,

2

A

又sinAwO,所以sin—=sin5,

2

又因为4,B均为三角形内角,

A

所以8=—,即A=2B,

2

又因为2。=3b,即2sinA=3sinfi,

即4sinBcosB=3sinB,

又sinfiwO,得cos3=』；

4

【小问2详解】

若a=3,则。=2,

3

由(1)知cosB=—,

4

由余弦定理h2=a2+c2-2accosB可得

c2-^c+5=0,即（c-2）1c-0=0,

所以c=2或士，

2

当c=2时，b=c,则A=2B=2C,即"3C为等腰直角三角形，

又因为a#缶，此时不满足题意，所以c=2.

2

18.甲、乙两人组成“星队''参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮

2

猜对的概率为乙每轮猜对的概率为P.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各

轮结果也互不影响.已知“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为3.

（1）求P的值；

（2）记“星队”在两轮活动中猜对成语总数为X，求X的分布列与期望.

【答案】（1）p=~

2

（2）分布列见解析，2^

【解析】

【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式，列式求解

（2）猜对谜语的总数为0,,1,2,3,4,结合独立事件概率乘法公式，列举出这四种情况

下的概率，即可列表求解.

【小问1详解】

“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为g,

所以]（1一〃）+[1-1]〃=；，解得P=1.

【小问2详解】

设A,表示事件“甲在两轮中猜对i个成语”，片表示事件“乙在两轮中猜对i个成

语”（i=0,1,2）,根据独立性假定，得P（4）=；xg=:,P（4）=2X|X|=|,

224

3-3-9-

p（B°）=/p⑻=g,。出）=；,X的可能取值为o，1，2,3,4,所以

唳=0）=。（4综）=汨=5，

p（x=i）=p（4g）+P（A4j[x；+#.,

11414113

P（X=2）=P（AA）+/3（4^）+/3（AA）=-X-+-X-+-X-=-,

7Iy/

4I4I3

P（X=3）=P（AB2）+P（Afi1）=-x-+-x-=-,

411

P（X=4）=P（A2B2）=-x-=-,

X的分布列如下表所示：

X01234

13133

P

36183699

i313311

E（X）=0x—+lx—+2x—+3x-+4x-=2-.

'）361836993

19.如图，N4BC是正三角形，在等腰梯形43EF中，AB//EF,AF=EF=BE=工AB.平

2

面ABC_Z平面MEF,M,N分别是A",CE的中点，CE=4.

（1）证明："N//平面ABC；

（2）求二面角M-AB—N的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵—.

5

【解析】

【分析】（1）取。尸的中点。，连接。0,DN,证明平面MND〃平面ABC,原题即得

证；

（2）取AB的中点。，连接。C,OE.求出A/=EF=EB=LAB=2,取历的中点

2

P,连接。P,以。为原点，OP,OB,0C所在直线分别为X,y,Z轴，建立直角坐标

系如图所示.利用向量法求解.

【小问1详解】

解：取。厂的中点£>,连接DM，DN,

VM,N分别是A/，CE的中点，.\DN//EF,

又平面ABC,ACu平面ABC,.•.7)///平面43。.

又EF//AB,：.DNHAB,同理可得，DV//平面ABC.

DMu平面MND,£>Nu平面MND,DMC\DN=D,

平面脑V。〃平面ABC.平面MN£),...〃///平面ABC.

【小问2详解】

取A3的中点。，连接。C,OE.

由已知得。A//EE,。4=£：/，Q4FE是平行四边形，.•.OE//AEOE//A/7.

AABC是正三角形，OCVAB,V平面ABC1平面A3EF,

平面ABC/O平面ABEF=AJB，OC_L平面ABEF,

又OEu平面他£/，OCJ_OE.

设AF=EF=EB=-AB=a,OC=#>a-

2

在RtACOf'中，由OC?+Of?=UE?,解得a=2,即AF=EF=£B=LA5=2,

2

取所的中点P,连接OP,则OP1AB,

以。为原点，OP,OB,OC所在直线分别为x,y,z轴，建立直角坐标系如图所示.

则A(0,-2,0),C(0,0,2@,E(V3,1,O),,04=(0,-2,0),

丽=(日I'3，由已知易得，平面川啊的一个法向量为无=(°，°，2@，

-2y=0,

OAn=0,

设平面ABN的法向量为〃=(x,y,z),则一即《

ON•元=0,—x+—y+>/3z=0,

、22

取x=2,则平面ABN的一个法向量为5=(2,0,-1)

〃"丽-丁，

•.•二面角M-AB-N为锐角，，二面角M-AB-N的余弦值为好.

5

20.已知函数/(x)=2sinx-ov,aeR.

(1)若/(x)是R上的单调递增函数，求实数。的取值范围；

(2)当a=l时，求g(x)=/(x)—ln(x+l)在0,^上的最小值；

/一、、Tn口,1.1.1.11n+1

(3)证明：sin—+sm—+sin—H----Hsin—>In------.

234n2

【答案】⑴(-00,-2]

(2)0(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由导数法得单调递增等价于/'(x)=2cosx—a20的恒成立问题；

(2)由导数法求最值即可；

⑶由⑵可得2$加>111(%+1)+%在10噌上恒成立，由导数法证°(x)=x-ln(x+l)

恒大于0,则sinr>."+1)+*>ln(x+]),令％=,，!，—,,不等式左右累加

2v'234n

即可证.

【小问1详解】

由已知可得：r(x)=2cosx—即aK2cos^恒成立，又一2W2cosx<2

则有ae(-°°-2］-

【小问2详解】

由已知可得：g(x)=2sinx—x-ln(x+l),g'(x)=2cosx—1--,

令〃(x)=g'x),"(x)=_2sinx+(r1］产在%上单调递减，

又因为，〃'(0)>0,“⑥<0,所以存在x0e(0,口使得〃'(x)=0,

则有

X(O，N1)卜。总

〃(x)正负

g'(x)递增递减

又有g，(o)=o,g'(£|=6_i_=>6_]-'=G[〉O

62

所以在(0,向上g'(x)>0,则g(x)在xe0年上单调递增，所以最小值为g⑼=0.

【小问3详解】

由⑵可得2sinx>ln(x+l)+无在(0,看)上恒成立，

令夕(x)=x-ln(x+l),在卜*［上d(x)=£j>0,所以°(x)单调递增且夕⑼=0,

所以x>ln(x+l),2sinx>21n(x+l),从而当x《0,看)时sinx>ln(x+l),

令x——，—，一，…一，到sin—>In—,sin—>In—，sin—>In—，…，sin—>In----,

234n223344nn

34,/口.1.1.1

才目力□得：sin—+sin—+sin—d--bsin—>In----.

234n2

21.如图1所示是一种作图工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M,M有一根旋杆将

两个滑标连成一体，|MN|=3,0为旋杆上的一点且在两点之间，且|孙=川。叫.当

滑标M在滑槽EF内做往复运动，滑标N在滑槽G”内随之运动时，将笔尖放置于。处进

行作图，当4=1和；1=2时分别得到曲线和如图2所示，设Eb与GH交于点0,

以所所在的直线为x轴，以G”所在的直线为V轴，建立平面直角坐标系.

(1)求曲线C1和G的方程；

(2)己知直线/与曲线C1相切，且与曲线交于4,8两点，记AOAB的面积为S,证明:

S再

8

g丫2

【答案】⑴G：f+y2=Z.,r：—+/=1

424

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据而=2力拓，设。(x,y),M(々),0),N(O，Y,),利用向量等式关系

确定坐标转化关系，由|MN|=3,即得/2+为2=9,按照坐标代换可得苍丁所满足的方

程，最后取4=1和；1=2,即可得曲线G和G的方程；

(2)根据直线/与曲线G相切，且与曲线。2交于A,B两点,讨论直线/的方程情况，按照

面积公式分别求证即可.

【小问1详解】

解：由题意，ND=WM设。（x,y）,M（毛,0）,N（0,%）,

所以ND=(x,y-%),DM=(x0-x,-y),(x,y-%)=X(不一x,一y),

(1+2)JC

x=2(x0-x)解得产

由―_1-

y-%=4(-y)

=(i+x)y

又因为|MN|=3,所以/2+%2=9,则(l+?x-+(l+4)2y2=9,

Q丫2

将4=1和2=2分别代入，得£：/+32=[，G：、+y2=],

【小问2详解】

3万所以S货

解：①直线/斜率不存在时,/：%=±-,代入G方程得恒/=春

\m\3

②直线/斜率存在时，设/：y=Ax+m,/与曲线C1相切，所以J4=G，即

V^+l2

9俨+1)

2

m"

4

f2

X21

丁+y=L2

联立《4可得(l+422)%2+8Amx+4m-4=0

y=kx+m.

由A=64公m2-[60+442)(加2_])>o得公>|>

方，-8km4(/-1)

所以％+々=帝正，”也

I+4公

于是得

2，1+二也2一5

2

MM=\Jl+k|Xj-X2|=J]+GJ(X[+々)2_4中2=巴

I-rJK1+