机械振动 公开课教学设计

第一节机械振动(实验：探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度)【自我诊断】判一判(1)振幅就是简谐运动物体的位移．()(2)简谐运动的回复力可以是恒力．()(3)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置．()(4)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的．()(5)做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小．()(6)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹．()提示：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×做一做某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)t))cm，则下列关于质点运动的说法中正确的是()A．质点做简谐运动的振幅为10B．质点做简谐运动的周期为4sC．在t＝4s时质点的速度最大D．在t＝4s时质点的位移最大E．t＝2s时，位移最大，速度为0提示：ACE简谐运动的特征【典题例析】如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝·sinπt)m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g＝10m/s2.以下判断正确的是()A．h＝1.7B．简谐运动的周期是sC．s内物块运动的路程为0.2D．t＝s时，物块与小球运动方向相反[审题指导]由物块简谐运动的表达式可知物块运动的振幅A、周期T，以及t时刻的具体位置，再结合自由落体运动判断两者运动的关系．[解析]由物块简谐运动的表达式y＝πt)m知，ω＝πrad/s，T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,π)s＝s，选项B正确；t＝s时，y＝－0.1m，对小球：h＋|y|＝eq\f(1,2)gt2，解得h＝1.7m，选项A正确；物块s内路程为0.3m，t＝s时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同，故选项C、D错误．[答案]AB【迁移题组】迁移1弹簧振子模型1.(2022·北京海淀区模拟)如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为中心点，在C、D之间做周期为T的简谐运动．已知在t1时刻物块的动量为p、动能为Ek.下列说法正确的是()A．如果在t2时刻物块的动量也为p，则t2－t1的最小值为TB．如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为TC．当物块通过O点时，其加速度最小D．物块运动至C点时，其加速度最小解析：选C.物块做简谐运动，物块同向经过关于平衡位置对称的两点时动量相等，所以如果在t2时刻物块的动量也为p，t2－t1的最小值小于等于eq\f(T,2)，故A错误；物块经过同一位置或关于平衡位置对称的位置时动能相等，如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值可以小于T，故B错误；图中O点是平衡位置，根据a＝－eq\f(kx,m)知，物块经过O点时位移最小，则其加速度最小，故C正确；物块运动至C点时，位移最大，其加速度最大，故D错误．迁移2单摆模型2.(2022·高考全国卷Ⅱ)如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方eq\f(3,4)l的O′处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图象中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是()解析：选A.由单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))可知，小球在钉子右侧时，振动周期为在左侧时振动周期的2倍，所以B、D项错误．由机械能守恒定律可知，小球在左、右最大位移处距离最低点的高度相同，但由于摆长不同，所以小球在左、右两侧摆动时相对平衡位置的最大水平位移不同，当小球在右侧摆动时，最大水平位移较大，故A项正确，C项错误．简谐运动的振动图象【典题例析】(2022·高考北京卷)某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示，下列描述正确的是()A．t＝1s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值B．t＝2s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值C．t＝3s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零D．t＝4s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值[解析]由图象可知，t＝1s和t＝3s时振子在最大位移处，速度为零，加速度分别为负向最大值、正向最大值；而t＝2s和t＝4s时振子在平衡位置，加速度为零，而速度分别为负向最大、正向最大．综上所述，A项正确．[答案]A【迁移题组】迁移1对运动学特征的考查1．一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是()A．质点振动的频率为4HzB．在10s内质点经过的路程是20cmC．在5s末，质点的速度为零，加速度最大D．t＝s和t＝s两个时刻质点的位移和速度方向都相反E．t＝s和t＝s两时刻质点的位移大小相等，都是eq\r(2)cm解析：选BCE.由图象可知，质点振动的周期为4s，故频率为Hz，选项A错误；在10s内质点振动了个周期，经过的路程是10A＝20cm，选项B正确；在5s末，质点处于正向最大位移处，速度为零，加速度最大，选项C正确；t＝s和t＝s两个时刻的速度方向相同，故D错误；由图象可得振动方程是x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,4)t))cm，将t＝s和t＝s代入振动方程得x＝eq\r(2)cm，选项E正确．迁移2对动力学特征的考查2．有一个在y方向上做简谐运动的物体，其振动图象如图所示．下列关于图甲、乙、丙、丁的判断不正确的是(选项中v、F、a分别表示物体的速度、受到的回复力和加速度)()A．甲可作为该物体的v－t图象B．乙可作为该物体的F－t图象C．丙可作为该物体的F－t图象D．丙可作为该物体的a－t图象E．丁可作为该物体的a－t图象解析：选ABE.因为F＝－kx，a＝－eq\f(kx,m)，故图丙可作为F－t、a－t图象；而v随x增大而减小，故v－t图象应为图乙．选项C、D正确，A、B、E错误．受迫振动和共振【跟进题组】1．如图所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是()A．只有A、C振动周期相等B．C的振幅比B的振幅小C．C的振幅比B的振幅大D．A、B、C的振动周期相等E．B的振幅最小解析：选振动后，水平细绳上驱动力的周期TA＝2πeq\r(\f(lA,g))，迫使B、C做受迫振动，受迫振动的频率等于施加的驱动力的频率，所以TA＝TB＝TC，而TC固＝2πeq\r(\f(lC,g))＝TA，TB固＝2πeq\r(\f(lB,g))＞TA，故C共振，B不共振，C的振幅比B的振幅大，所以C、D、E正确．2．(2022·江西重点中学联考)如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动．开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz.现匀速转动摇把，转速为240r/min.则()A．当振子稳定振动时，它的振动周期是sB．当振子稳定振动时，它的振动频率是4HzC．当转速增大时，弹簧振子的振幅增大D．当转速减小时，弹簧振子的振幅增大E．振幅增大的过程中，外界对弹簧振子做正功解析：选BDE.摇把匀速转动的频率f＝n＝eq\f(240,60)Hz＝4Hz，周期T＝eq\f(1,f)＝s，当振子稳定振动时，它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，A错误，B正确；当转速减小时，其频率将更接近振子的固有频率2Hz，弹簧振子的振幅将增大，C错误，D正确；外界对弹簧振子做正功，系统机械能增大，振幅增大，故E正确．实验：探究单摆的运动用单摆测定重力加速度【知识提炼】1．实验原理：由单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，可得出g＝eq\f(4π2,T2)l，测出单摆的摆长l和振动周期T，就可求出当地的重力加速度g.2．实验器材：单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表．3．实验步骤(1)做单摆：取约1m长的细丝线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂，(2)测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出摆球直径D，则单摆的摆长l＝L＋eq\f(D,2).(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放摆球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出平均每摆动一次的时间，即为单摆的振动周期．(4)改变摆长，重做几次实验．4．数据处理(1)公式法：g＝eq\f(4π2l,T2).(2)图象法：画l－T2图象．g＝4π2k，k＝eq\f(l,T2)＝eq\f(Δl,（ΔT）2).5．注意事项(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定．(2)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.(3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数．(4)摆球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长L，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝L＋r.(5)选用一米左右的细线．【跟进题组】1．(2022·衡水模拟)物理实验小组的同学做“用单摆测重力加速度”的实验．(1)实验室有如下器材可供选用：A．长约1mB．长约1mC．直径约为2cmD．直径约为5cmE．秒表F．时钟G．最小刻度为毫米的刻度尺实验小组的同学需要从上述器材中选择________(填写器材前面的字母)．(2)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点O为计时起点，A、B、C、D均为30次全振动的图象，已知sin5°＝，sin15°＝，(3)某同学利用单摆测重力加速度，测得的g值与真实值相比偏大，可能的原因是________．A．测摆长时记录的是摆线的长度B．开始计时时，秒表过早按下C．摆线上端未牢固地系于悬点，摆动中出现松动，使摆线长度增加了D．实验中误将29次全振动数记为30次解析：(1)需要从题给器材中选择：长约1m的细线，直径约2cm的均匀铁球，秒表(测量50次全振动的时间)(2)单摆振动的摆角θ≤5°，当θ＝5°时单摆振动的振幅A＝lsin5°＝0.087m＝8.7cm，为计时准确，在摆球摆至平衡位置时开始计时，(3)根据单摆的周期公式推导出重力加速度的表达式g＝eq\f(4π2L,T2).将摆线的长误认为摆长，即测量值偏小，所以重力加速度的测量值偏小，故A错误；开始计时时，秒表过早按下，周期的测量值大于真实值，所以重力加速度的测量值偏小，故B错误；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，即摆长L的测量值偏小，所以重力加速度的测量值就偏小，故C错误；设单摆29次全振动的时间为t，则单摆的周期T＝eq\f(t,29)，若误计为30次，则T测＝eq\f(t,30)<eq\f(t,29)，即周期的测量值小于真实值，所以重力加速度的测量值偏大，故D正确．答案：(1)ACEG(2)A(3)D2．在“用单摆测定重力加速度”的实验中：(1)摆动时偏角满足的条件是偏角小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最________(填“高”或“低”)点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期．图甲中停表示数为一单摆全振动50次所用的时间，则单摆振动周期为________．(2)用最小刻度为1mm的刻度尺测摆长，测量情况如图乙所示．O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆长为________(3)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________.(4)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大．”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中________．A．甲的说法正确B．乙的说法正确C．两学生的说法都是错误的解析：(1)摆球经过最低点时小球速度最大，容易观察和计时；图甲中停表的示数为min＋s＝s，则周期T＝eq\f,50)s＝s.(2)从悬点到球心的距离即为摆长，可得L＝0m(3)由单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))可得g＝eq\f(4π2L,T2).(4)由于受到空气浮力的影响，小球的质量没变而相当于小球所受重力减小，即等效重力加速度减小，因而振动周期变大，选项A正确．答案：(1)低s(2)00～0均可)(3)eq\f(4π2L,T2)(4)A(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2022·高考北京卷)如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动．以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向．若振子位于N点时开始计时，则其振动图象为()解析：选A.由题意，向右为x轴的正方向，振子位于N点时开始计时，因此t＝0时，振子的位移为正的最大值，振动图象为余弦函数，A项正确．2．如图所示，在两根等长的曲线下悬挂一个小球(可视为质点)组成了所谓的双线摆，若摆长为l，两线与天花板的左、右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，其周期为()A．2πeq\r(\f(l,g)) B．2πeq\r(\f(2l,g))C．2πeq\r(\f(2lcosα,g)) D．2πeq\r(\f(lsinα,g))解析：选D.根据公式T＝2πeq\r(\f(l′,g))，本题中l′＝lsinα，故T＝2πeq\r(\f(lsinα,g))，D正确．3.如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量是乙的质量的4倍，弹簧振子做简谐运动的周期T＝2πeq\r(\f(m,k))，式中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数．当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中()A．甲的振幅是乙的振幅的4倍B．甲的振幅等于乙的振幅C．甲的最大速度是乙的最大速度的eq\f(1,2)D．甲的振动周期是乙的振动周期的2倍E．甲的振动频率是乙的振动频率的2倍解析：选BCD.细线断开前，两根弹簧上的弹力大小相同，弹簧的伸长量相同，细线断开后，两物块都开始做简谐运动，简谐运动的平衡位置都在弹簧原长位置，所以它们的振幅相等，A错误，B正确；两物块做简谐运动时，动能和势能相互转化，总机械能保持不变，细线断开前，弹簧的弹性势能就是物块开始做简谐运动时的机械能，二者相等，根据机械能守恒，可知在振动过程中，它们的机械能相等，到达平衡位置时，它们的弹性势能为零，动能达到最大，二者相等，因为甲的质量是乙的质量的4倍，根据动能公式可知甲的最大速度是乙的最大速度的eq\f(1,2)，C正确；根据弹簧振子做简谐运动的周期公式T＝2πeq\r(\f(m,k))，甲的质量是乙的质量的4倍，甲的振动周期是乙的振动周期的2倍，D正确；根据周期与频率成反比可知，甲的振动频率是乙的振动频率的eq\f(1,2)，E错误．4.惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟．如图甲所示为日常生活中我们能见到的一种摆钟，图乙所示为摆的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动．在甲地走时准确的摆钟移到乙地未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是()A．甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动B．甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动C．乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动D．乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动解析：选C.由甲地到乙地摆动加快则说明周期变小，因T＝2πeq\r(\f(l,g))，则重力加速度变大，要使周期不变小，则应增加摆长，即将螺母适当向下移动．5．如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图象，由图可知下列说法中正确的是()A．在t＝s时，弹簧振子的加速度为正向最大B．在t＝s与t＝s两个时刻，弹簧振子在同一位置C．从t＝0到t＝s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动D．在t＝s时，弹簧振子有最小的弹性势能E．在t＝s与t＝s两个时刻，振子速度都为零解析：选＝s时，弹簧振子的位移为正向最大值，而弹簧振子的加速度与位移大小成正比，方向与位移方向相反，A错误；在t＝s与t＝s两个时刻，弹簧振子的位移相同，B正确；从t＝0到t＝s时间内，弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变量最大，弹簧振子的弹性势能最大，D错误；t＝s与t＝s，振子在最大位移处，速度为零，E正确．6．(2022·辽宁大连模拟)某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f.若驱动力的振幅保持不变，则下列说法正确的是()A．当f<f0时，该振动系统的振幅随f增大而减小B．当f>f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于fE．当f＝f0时，该振动系统一定发生共振解析：选BDE.受迫振动的振幅A随驱动力的频率变化的规律如图所示，显然选项A错误，B正确；稳定时系统的频率等于驱动力的频率，即选项C错误，D正确；根据共振产生的条件可知，当f＝f0时，该振动系统一定发生共振，选项E正确．7.(2022·兰州一中高三质检)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是()A．甲、乙两单摆的摆长相等B．甲摆的振幅比乙摆大C．甲摆的机械能比乙摆大D．甲摆的周期比乙摆大E．在t＝s时有正向最大加速度的是乙摆解析：选ABE.可从题图上看出甲摆振幅大，B正确；由题图知两摆周期相等，则摆长相等，因两摆球质量关系不明确，无法比较它们的机械能的大小，A正确，C、D错误；t＝s时乙摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度，E正确．8．(2022·高考海南卷)下列说法正确的是()A．在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比B．弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变C．在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率E．已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期，就可知振子在任意时刻运动速度的方向解析：选ABD.在同一地点，重力加速度g为定值，根据单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，周期的平方与摆长成正比，故选项A正确；弹簧振子做简谐振动时，只有动能和势能相互转化，根据机械能守恒条件可知，振动系统的势能与动能之和保持不变，故选项B正确；根据单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，单摆的周期与质量无关，故选项C错误；当系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率，故选项D正确；若弹簧振子初始时刻在波峰或波谷位置，知道周期后，可以确定任意时刻运动速度的方向，若弹簧振子初始时刻不在波峰或波谷位置，则无法确定任意时刻运动的方向，故选项E错误．9．(2022·湖北襄阳四中模拟)如图甲所示为一弹簧振子自由振动(即做简谐运动)时的位移随时间变化的图象，图乙为该弹簧振子在某外力的作用下做受迫振动时的位移随时间变化的图象，则下列说法中正确的是()A．由图甲可知该弹簧振子的固有周期为4sB．由图乙可知弹簧振子的固有周期为8sC．由图乙可知外力的周期为8sD．如果改变外力的周期，在接近4s的附近该弹簧振子的振幅较大E．如果改变外力的周期，在接近8s的附近该弹簧振子的振幅较大解析：选ACD.图甲是弹簧振子自由振动时的图象，由图甲可知，其振动的固有周期为4s，A正确，B错误；图乙是弹簧振子在驱动力作用下的振动图象，弹簧振子的振动周期等于驱动力的周期，即8s，C正确；当固有周期与驱动力的周期相等时，其振幅最大，驱动力的周期越接近固有周期，弹簧振子的振幅越大，D正确，E错误．10．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20cm，周期为s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，A．s B．sC．s D．s解析：选C.由振动周期T＝s、ω＝eq\f(2π,T)、A＝20cm知，游船做简谐运动的振动方程x＝Asinωt＝20sineq\f(2π,3)t(cm)．在一个周期内，当x＝10cm时，解得t1＝s，t2＝s．游客能舒服登船的时间Δt＝t2－t1＝s，选项C正确，选项A、B、D错误．11．(2022·济南模拟)甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知()A．两弹簧振子完全相同B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大D．两振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2E．振子甲加速度为零时，振子乙速度最大解析：选CDE.从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，得频率之比f甲∶f乙＝1∶2，D正确；弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A错误；由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子所受回复力(F＝－kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，B错误；由简谐运动的特点可知，在振子到达平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰好到达平衡位置，C正确，同理E也正确．12．(2022·温州八校联考)如图所示，把能在绝缘光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子放在水平向右的匀强电场中，小球在O点时，弹簧处于原长，A、B为关于O对称的两个位置，现在使小球带上负电，并让小球从B点静止释放，那么下列说法不正确的是()A．小球仍然能在A、B间做简谐运动，O点是其平衡位置B．小球从B运动到A的过程中，动能一定先增大后减小C．小球仍然能做简谐运动，但其平衡位置不在O点D．小球不可能再做简谐运动E．小球从B点运动到A点，其动能的增加量一定等于电势能的减少量解析：选ABD.小球在匀强电场中受到水平向左的电场力，设该电场力大小为F0，小球合力为零的位置应该在O点左侧，设为O1，设O1、O点的间距为x0，弹簧劲度系数为k，则F0＝kx0；取水平向右为正方向，当小球从O1点向右运动的位移为x时，回复力F＝－F0＋k(x0－x)＝－kx，所以小球会以O1点为平衡位置做简谐运动，选项A、D错误，C正确；因为不知道A点与平衡位置O1点的位置关系，所以不能确定小球从B运动到A的过程中，动能如何变化，选项B错误；小球做简谐运动的过程中，小球的动能和电势能及弹簧的弹性势能之和守恒，小球从B点运动到A点，弹簧的弹性势能不变，所以小球动能的增加量一定等于电势能的减少量，选项E正确．二、非选择题13．某同学利用单