合肥工业大学线性代数习题册答案

合肥工业大学线性代数习题册答案第一章行列式。1.求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性.。(1)1347265；(2)w(w-l)--321.p解(1)r(1347265)=0+04-0+3+1+2=6,偶列；一(2)r(w(w—1)---321)=1+2+3-----n—\—

■-—^―—，当n-4k或4允+1时，偶排列；当??=4免+2或4炎+3时，2xx2.用行列式定义计算/(x)=1X3211121—1x11X中X4和的系数，解x4和X3的分别系数为2和-1.。奇排列.。并说明理由.21112423.求D=336344482112【注意“行和相等的行列式的计算方法”】»=120.1111122111解Z)=2x3x4【分析】本行列式的特点是第2、3、4行元素均有公因子，可先提出公因子再计算行列式11jq—mn4.求D”=x^-m【分析】本行列式的特点是各行(列)元素之和相冋，故可把第2列至第n列加到第一列后，提取公因子(Xi+x.+.^-w),然后化为三角形行列式.【参见冋_P5-例4】00-m011101…05.求2^=10a2-“0,其中qa:…an^0.———......100…【分析】本行列式称为箭型行列式，通常可化为三角形行列式来计算.【参见冋辅P5—例5.】，1cx

-(-)c.(J=+1)解g/-inI-Z丄110ai000(7；00012116.求Z)=1311141111117【分析】本行列式可将第一列拆分成两项之和＞711111111200D=1+11030717006解+231171441二36+11=36+18+54=108.11111111113111311031—+141114101411711170111117111111414-041=36+03011701700607.求£>=000a2b2b3a300A00【分析】本行列式各行（列）零元素足够多，可按第一列（行）将行列式莪开.【沿边展开L000b、0解D=基*0b3a3000a4a，

b、0x>00Aj=a!•(-1)1+1a30+^4(-D4+la2b2000a4b.a;0=(t7ta4

-^Z>4)(o2a3

一b2b3).X-10000X-1…o000X…o08.证明=axx+a2xH-----Fa^x+a”•**■*■**■********000…X-1an~lan-2…a2°1【分析】考察本题的行列式，/\与£^的结构相冋，故可以3递推的方法证明.p证明按第一列展开。Dn=xDn-i+a”=^^-2

+〜)+a”=x2Z\_2+an_xx+an。=•-•=X"-1!)!+a2xn~2+…+a^x+an=qx”—1+a2x^2+•••+anAx+a”一12231221239.己知4阶行列式£>=343~33414243求+^22+A32

+A42,其中42（/=1,2,3,4）为Z）中第/行，第2列元素的代数余子式.【分析】直接计算的值.工作量大且容易出错，这类题目可根据行列式。的展开性质求解较简单.。解构造新的行列式。11Di=3411121132142123334311121314122324212;33=-12（范德蒙行列式）。Xj+ax2+a~x3

-d,10.解方程组<x:+Z>x2+Z>:x3=J,其中a,b,c

互异.TTXj+cx2+c‘x3=a.【分析】本题考核克莱姆法则及范德蒙行列式.。1解因为系数行列式D=11bb2=(b-a)(c-a\c-b)^0t所以方程组有唯一解、又因为ddbb2=dZ),1da2Z)2=11db2d?=0r\adD3=IbJ=0,led故由克莱姆法则得乂Xj+x，+Xj—0，11.当义取何值时.齐次线性方程组w；Ly:+x3=0,有非零解？。Xj+x2

4-Ax3

=0.【分析】本题考查克莱姆法则的推论及含参数的行列式的计算.。21解系数行列式D=

1A1111=(2+2XA-l)2,乂故当又=-2或又=1时OD=0O齐次线性方程组有非零解＞【总结】。1.«阶行列式共有一个元素，g开后有7;!项，每项是来自不同行不同列元素的乘积的代数和/2.行列式常用记号\A\tdet(a);或乃表示.记号r2+kr｛表示第一行的炎倍加到第二行；c2

表示第一列的k倍加到第二列，这一记号不满足交换性.3.行列式有三种类型：数字型、抽象型、含参型，要会计算矩阵的行列式，如：。4.代数余子式和余子式的关系：5.代数余子式的性质①

A和的大小无关，'和〜的位置有关；*•②某行（列）的元素乘以其它行（列）元素对应的代数余子式之和为0;③某行（列）的元素乘以该行（列）元素对应的代数余子式之和为|、4|.6.行列式的重要公式。①主对角行列式的值等于主对角线上元素的乘积；。②

副对角行列式的值等于副对角线上元素的乘积x(-l)_;一③上、F三角行列式即0

.的值等于主对角线上元素的乘积；。④ACAOAOOBCBOB(分块矩阵的性质)V⑤范得蒙行列式：大指标减小指标的连乘积，共项的乘积；。2⑥|JB|=|5J|成立的前提是隼B为同阶方阵；若j为w阶方阵，则|/l4|=々”|j|，

A*-A

^1；

?1T

=|-4|;若4为《阶可逆阵，则A'1=+.。⑦人，其中岑为d的特征值：。7.证明矩阵=0常用的方法：①证明p|=-|i4|；

=（先#1）**②用反证法.假设|、4卜0,则d可逆，……，得到矛盾/③构造齐次线性方程组Anx=0，证明其有非零解.。$利用秩，证明r(An)<n^⑤

证明2=0是的特征值>⑥证明-4的列(行)向量组是线性相关的/第二章矩阵。r

10-nr1_21.设=214,B=-i3-325:.053、0，求(1)2.4B-3J2；

(2)ABr；

(3)\-2A\.f一10—820>解(1)2AB-3A2

=2611-38L3238-106；-1-2、(2)ABr

=12113920>(3)|-2z1|=(-2)3|J|=80.【注】本题意在考査矩阵的乘法，数乘矩阵，矩阵的冪运算.矩阵的减法.矩阵的转置及矩阵的。行列式的计算.一02.A=0A000,求zT.解=AE+B,而B1=0(n=2,3,---),则zl”=(乂£+B)n=(义£)”+n^AE^B=AnE+n^~xB=0、0rooz3.设.4为3阶方阵，|j|=—丄，求解因为(4^)_1=izl_I,故|(4.4)_1

+3A=(-|)3MI64(4zl)_1+3J*0PGioo、oor020—020+00000A、00义乂0oo?71I4设zl为W阶可逆阵，试证zl的伴随矩阵zf也可逆，并求(J*)'1.因为4为《阶可逆阵，所以戸|*0,故A*=\A['X

0,则4•是可逆的，。证明5.证明5【注】对于*阶矩阵A:A4*=A\4=\A\E恒成立.因为Ar=^=|^|E,且|^|*0,故有【注】若题设《阶方茑J满足/U)=0,要证aA+b£可逆.则先分解出因子a4+A£.若有(aA+b£)B=kE(k^O),则知矩阵aA+bE

可逆，且(a4故^1+4£可逆，且(A+4Eyi=2E~A设W阶矩阵.4满足A2+2A-^E=Of证明.4及d+4£均可逆，并求它们的逆.由A2+2A-3E=O^>A^^=E.故-4可逆，AA~l^-4^2E

；33、A—2E又由4‘+2』-3£=0=>(zl+4£).~=£,一一5介.一皆r，贝…什介r

02-1、6.求矩阵112的逆矩阵/-1-1-1\7f135)J——-7?7j£t02-1r

135、国为|.4|=112=一2本0，所以矩阵4是可逆的.又/=—1—1—1-1-1-1<°一2

'【注】求/要注意两点：一(1)中第i行元素的代数余子式在A中是第/列：(2)求A.时不要忘记(-1)I+J.J-|211*|2111-20"IF故7.设矩阵zl，5满足AB=2B^Ar

30l'j且A=110,求矩阵B.wJ)14,解由AB=A-^-2B

得(A-2E)B=Af

则B=(A-2EylAf/-•<2-1-O2-2-1e1121-1-1而(A-2E)'1X7<2-1-1、<30Pr5-2-2、所以B=2一2-11101

—4-3-2c11U14>-223<zzJJ【注】由AB=A^2B^>s\A-2E)B=Af

正确(A-2)B=A,错误B(A-2E)=A.错误.8.设/是矩阵、4的伴随阵，矩阵X满足AX=A^+2Xf求矩阵X,其中、|rl1-1、^4=-111-1*>解在AX

=.41+IX两边冋时左乘.4,见教材P45例,求zT1

及A4.p9.设4=解设3=由分块对角阵的性质可得.11-25<i-252212313>-2131~3（AC1

）<（匕,其中4=rl-2>M=（|4|-|^|）4=8l>10.设.4为3阶方阵，将，4的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得到C..求满足AQ=C的可逆矩阵解按题意.用初等矩阵描述，有。’010、’100、’010、rl00、A100=B.B011=C.故4100011-C,001?0

b001X/oor从而'010、f\00、r01PQ=100011—100•1°0l>、001??0b11.求下列矩阵的秩。-1210、2-2420⑴A=306-111^03001J解（1）<1-12-2A=30、03246010、(\2-10010—>0V故R(A)=3.^-1033<111⑵0213-1ab4，其中a，Z＞为参数.<3517>210、<1一1210000300101000»40，00000故.1f1111）rliir01—10i-1b解（2）B=♦J23a40ia-12、351

L2-24;<1111、"111101-1b01-1b►00a-\2--b00a-10、0004-為Q004-2Z>?1)当a*l且办；t2时，R(B)=4；2)当a=l且办=2时，R

(^)=2；3)当a=l但b本1或Z>=2而a*l时，R(5)=3.【注1】求矩阵秩的方法：4经初等行变換化为行阶梯型阵5,则矩阵4的秩R(A)=B的4溥行。的行数【注2】矩阵d经初等变換化为矩阵阵5.应记为A^B或4~方，不可写为A=B.^rl25、rl04、12.设/!=2a7023132kJI605>己知矩阵zlB的秩为2,求a的值.1解因为|^|=060423=-38*0,所以矩阵可逆、05由于R(AB)=2,由秩的性质知R(A)=R(AB)=2,所以|<=0,解得a=5.p【注】若尸，C可逆，R(A)=R(PA)==R(PAQ):<可逆矩阵不影晌矩阵的秩>以笫三章向量组。1.设3(6^+a)-5(a,+2a)=2(a；-a),一其中=(1,0,2,1/,%=(7,1,0,4)’,a;=(0,2，-l,2)r，求a.解3(a^+a)-5(a2

+la)

=2(a；-a)=>^-11Ta=一(3q—5a2-2吒)=-(-32,-9;8,2.设a,=a-i,D.<z2=a2,0),^=(1,0,3),^=(2-3,7).问：⑴

ajao,是否线性相关？(2)久可否w由^，巧，％线性表示？若能表示，求其表示式.-解⑴因为1-11a.=120a.103=7*0a^a^'a^线性无关;<2）由于0^,0^是四个三维向量，它们是线性相关的，又由于珥，6,珥线性无关，故洱一定可由wA,a；,咚线性表示，而且表示方法唯一liiijaj-aJ-aJ+laj,RPa,=-a.

+2<^.^3.己知向量组珥，％，…，久（附之2）线性无关，又向量|/?2=a2+a5.…，Pm^a7n^a^,试讨论向量组我，於，…，久线性相关性.。rl

0因为（A，A,…，久）=（«!，《：!，…，:；vo0ot.:=（珥，a2,…,％）.尺利，一1>由于lAT^l+C-l)1**",p故当w为奇数时，|尺卜2*0,此时及（我，芦，…，久）=w，一故向量组Pvp.,,pm是线性无关的；“当w为偶数时，|尺|=0,此时及（戶，A，，..，/3J<w，一故向量组鋒.於，…，A,是线性相关的4.已知问量组洱线性相关，q，珥:0^4线性无关，讨论久么介a；-洱的线性相关性.解方法1考察+Lcl.+1.0.

+Z4(dL-a;)=0(l)假设^*0,则有0.-0^=^+Z.a.+,其中A,=-y-,i=1,2,3>>即ct=+JLa.+Zjcu+(2)因为0^4,0^05线性无关，则珥，^；，今线性无关；«-'又因为4，£^，4，洱线性相关，则洱可由珥，0^珥樹生表示.即存在k^k,,^,使得，a^=+fca,+^03(3)♦*将〈3)式代入(2)式，整理得♦>a；

=(^+^)01+(>ij+A;)a,4-(^5+jt3)c^,*»故性相关，矛盾.故有Z4

=0.(1)式为/1«1+/:巧+/爽=0,又由于斗巧，今线性无关，^^=72=73=0^则A=/2=/3=/4=0,贝是线性无关的>方法2因为a，，a；，％，4线性无关，则a；，a：，％线性无关，又向量组珥线性相关，故洱可由表示,故斯巧,今，巧,巧-£0=及(巧，今.巧.00=4,则a^a^a^a；-&线性无关.《■<5.求下列向量组的秩及其一个最大无关组，。（1）Oj=（l，2，l，0）’，a2=（4,5,0,5）r，a;=（l，-l，-3,5）’，a4=（0,3，l，l/;

»解进行初等行变換.。=(A，A，A，A)=&。注意.五己为行最蔺形，故由此可得：R(A)=3f且由万易知為=一3為+爲，于是.a3

=-3aiA

=（a;.<z2.a3.ar4）=rl410、r\0-30、25-13r011010-310001、0551、、0000?o^,a:,a4

(或o^?a3?a4)是向量组的一个极大线性无关组.【注】初等行变换保持变换前后两矩阵：(1)全体列向量组的线性相关性相冋；一(2)对应若干列部分组的线性相关性相冋；。(3)对应向量线性表示式相同.(2)珥=(1，1，2,2)，<1:=(2,5,3,4)，^=(0,3,2,3)，％=(2,2，1，1).p解广1202、"1000>A=(alr,a2r,a3r,a4r)=12533221二0010011-143005是行最简形，及04)=3,且由B易知万4=瓦-民，于是.(為，A，A，A)=1^(或a^,a2,a4)是向量组aj;a2?a3?a4的一个极大线性无关组.“6.已知向量组q=（l，2，-l，l），a:=（2,0，/，0），％=（0，-4,5，-2）的秩为2，求/的值.p<120、<120解A=(a,r,aJ9a/)=20-4T->011-1t5003，/10—2000因为及(-4)=2,所以r=3>7.验证：Oi=（l，0，l）r，a:=（0，l,0）r,a3=（l，2,2）r为R3

的一个基.并求戶=（1，3,0）7

在.，

此基下的坐标.【分析】欲证a^.a^a^是的基.只需证线性无关；求戶在基下的坐标，（X},X2,X3Y就是求方程组Ax=fl的解，其中J=（«!，«,.a3）,而这两个问题均可通过对増广矩隊A=（Afl）作初等行变換冏时获得解决.一解对增广矩阵1作初等行变换：f\01|1、yrl00!2、A=(ax,a2,a39fl)=01213101015,垂U02；ojlo01Hu因为R(A)=3f

即a^.a^a^

是及3的基：且/3=2a^5a2-a3,^即fl在基^a2,a3下的坐标为(2,5，-l)r.8.己知向量组珥=(1，1，0/，兩=(l，O，l/，tf3=(_l，O,O)r.p(1)求内积[a^.a.],[ava3]9(2)判断它们是否两两正交？否则将a1?a2?a3正交化、单位化；。(3)将(2)所得向量分别记为pipw”令矩阵P=(Jh.P:，P山判断戶是否为正交阵?解(1)[ava2]=l,[ava3]=-t

[«2.0^]=-1,p(2)由于内积不为零.故它们非两两正交，用施密特方法将其正交单位化＞A~a\=(i,i,o)r,(3)戶=(A，戶2，/h)是正交阵＞第四章线性方程组。1.解方程组、I(1)<Xj-x2+x3

-3x4=0,xi—x2

-2x,+3x4=0.解对方程组系数矩阵.4施行初等行变换化为行最简形：p<1-1-11)<1-10-1>A=1一11一3001-2Ll"Id3Jk0000?可见，R(A)=2<4,故该方程组有非零解.且基础解系含有n-r=2个解向量，原方程组同解于pfX1=X2+X4^I^3=2x4选文2，*4为自由未知量.于是原方程组的通解为i且分别取ex.}p、l〔0、A’V>得基础解系、0=，乂2=k^+k2g2，即px2X3为任意常数.解第一步，首先判断该方程组是否有解.为此，_广矩阵进行初等行变换*1-1001001000017易见，R(Atb)=R(A)=2<4,故该方程组不仅有解且有无穷多解.w第二步，求非齐次线性方程组的一个特解.由以上变換得原方程组同解于。A=(A.b)=⑵’Xj—x2

—

Xj+x4

—0?义1一x，—+2Xj=

一1/2.2上20-11-11-1-110-1-2213-•112112++-t

1为求Ax=b的特解/；，取自由未知量x2=O，x4=O，得Xj=x3

=—,可得原方程组的一个特解Yp20丄2第三步，求对应的齐次线性方程组的通解.原方程组对应的齐次线性方程组等价于。分别令"1、，门，得一•人JAA夕从而得.Ax

=0的一个基础解系为w所以对应的齐次线性方程组的通解为。=ro>100，备=1AJj卜去，其中心、为任意常数.。第四步，求得暌非齐次线性方程组的通解为。x=rj-^c=其中为任意常数.一Xj+Xj―又j2.试求2取何值时，线性方程组，4^+x2+2x3=2+2s有解？并且求出全部解.一6x,+x2+4Xj=2/14-301A01A、<1012、解A=4122+201-22-32—01一22-3Z<61422+3?、01-23—4人、0001-2;当又=1时，R(A)=Rp)=2<3(未知量个数)，方程组有无穷多解，1011、「1、，7=01-2-1x.=-x34-1

A“”一，特解；?=-1、000x-»=2x,-1人1f-1)对应的齐次方程以，得基础解系4=则全部解为f

1>-1+k2（众为任意常数）Axj+x，+Xj=义一3,3.又取何值时，线性方程组lx^Ax2+x3=-2,Xj4-x2

4-Ax.

=-2.有惟一解.无解及无穷多解？P当方程组有无穷多解时.求其通解.。解法1对方程组的增广矩阵作初等行变换。(X11A-3>1A_2>A=(A,b)-1又1-21义17/•U1又—2>11/—3」1乂-2>「11又-2〕0A—11-20y02-11—A0/1Zl1~A1-A23(2-1)J1°0(1-2)(2+2)3(2-1)J讨论：1)当且2^-2时，R(A,b)=R(<A)=3,方程组有惟一解；2)当2=-2时，R(A)=2^R(A,b)=3t

方程组无解；111-2'3）当乂=1时，（减/>）=0000,即7fM）=A（^^）=l<3（未知量的个数），^0000?故方程组有无穷多解.此时原方程组的同解方程组为x.=-x2-x3-2f。特解可取为。7=0.一其对应的齐次方程组Xj=-x2

-

x3的一个基础解系为、•于是.原方程组的通解为-IX=r-2>0+*11+发2r-r0其中岣,灸2为任意常数.。解法2（Cramer法则）系数行列式。1^1=1I11又1=

(A-1)‘(A+2)**1A1）当且2^-2时，由Cramer法则知原方程组有惟一解；。2）当2=-2时，<一211-5、1-2-2>(d，A)=1-21-2->01-10I11_2001因R（A）=2^R{A,b）=3f所以方程组无解：“3）当2=1时，»f\11-2、rl11-2>111-20000J11'、0000?因为7?(zl)=A(^/»)=l<3,故方程组有无穷多解，同解方程组丸|Xj4-x2

+x3

=-2.一因此原方程组的通解为。0+灸:1+k、0山其中么，久为任意常数.。比较解法1与解法2,显见解法2较简单.但解法2的方法仅适用于系数矩阵为方阵的情形.。对含参数的矩阵作初等变換时，例如在本例中对矩阵G4，d)作初等变换时，由于2_1，2+2。等因式可以等于0,故不宜作诸如ex-!—，r2x(A+2)4-lc这样的变换.如果作了这种。a—1A—1变換.则需对2+2=0(或A-l=0)的情形另作讨论.因此，对含参数的矩阵作初等变換计算。量较大.。4.己知非齐次线性方程组。x!+x2

-2x3

+3x4

=0,2xj+x2

-6x3+4x4=-1,3xj+2x:

-8x;+7x4=-1.Xj—x->—6xj—X4=—2.(1)求对应的齐次方程组的一个基础解系；(2)求该非齐次线性方程组的通解.。"1121-2-6340"(\001-421-P21解A=(A,b)=32一87-100000U-1-6-11°0000；因为R(A)=R(A,b)=2<4f故非齐次方程组有无穷多解，对应的同解方程组为。r1=4X?_X4_1?

非齐次方程组的一个特解云=(_1，1，0,0)。|ACj一+1.(x,

=4x,-X,,对应的齐次方程134,取"AKX4；w得齐次方程组的一个基础解系为，右=（4，一2山0广，委=（-1，一2,0，1）。故该非齐次线性方程组的通解为：（Xi，x2，x3，x4）’=（-l，l，0,0f+勾（4，-2，1，0）7+久（-1，一2,0，1）’.（其中勾人为任意实数）设是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明：+a2,a2

+a；

+Oj♦>也是Ar=0的一个基础解系.正明显然a,+a:，a:+a3，A+Gq是dx=0的解向量.又因为p0P(q+a2.a2

++<Xj)=(«!.1101b101而110=2*0,且珥，％，％线性无关，故a+a2?a2+a3?fl^+a1也是线性无关的，011则aj+a2?a2+a3?a3+fl^也是Jx=0的一个基础解系.p6.设三元非齐次线性方程组=A的系数矩阵的秩为2,且它的三个解向量"3"满足q=1%+免=0，求Ar=b的通解.解由于三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2,故该方程组所对应的齐次线性方程组的。基础解系只有3-2=1个解向量.因此，只要求出对应的齐次方程组的任一个非零解向量即为其基础•解系.由题设知，乏=-"2)+d"3)=坤-("2+%)2(2>0一2_7k)~2)A是对应的齐次线性方程组Ar=0的解，故原方程组的通解是「4、x=+r]{=k2+1处为任意常数.7.设if是”元非齐次线性方程组Ax=b的一个解.H•人r是对应的齐次线性方程组的。一个基础解系，其中r=R(A)f证明：⑴

d吞，…，4-r线性无关;<2)rf，dd.，d线性无关.一证明(1)反证法设m…，线性相关，一由于各，是对应的齐次线性方程组Ax=O的一个基础解系，n人r是/lx=o的解且是线性无关的，则可由各，么，…，I线性表示，则if是《元齐次线性方程组▲=()的一个解，矛唾故，…，线性无关；。(2)考察+4MW+4>-+<(>f+O=0,。整理得，|(A)+A+

■•'+

4i.r)^7*+Ail+^2+'"

+Aj.r4«.r=0，一由(1)知，，A)+A+…+又”彳=0，A=^2=，"=又叹=o=>^)=Z1=A2=--=2>!.r=0^故；7>*+K+4:，…^+么_。是线性无关的.-第五章特征值与特征向量。1.求下列矩阵的特征值和特征向量：Wr

123^(1)A=-1

40；，1°0

U1-A2(l)-儿E|=—14—20030=(l-2XA-2X2-3)=0^1-2=>4=1，^2=2,為=3为特征值.对应A=1,解齐次方程组(4-£)x=0,。<023、fl09/2、f'A-£=-130^013/2,<°01°00;原方程组同解于9Xj=—x323X2=-~X3，取X3=~^f

得'3、k}

1Of0）为J的对应冬=1的特征向量：»对Z=2,解齐次方程组（J-2£）x=0,"-12r>"1-20>A—IE=-120r->0010X04、00原方程组断Ah1（k.0）为矩阵d的对应A=2的特征向量；w对為=3,解齐次方程组U~3£)x=0,。原方程组冋解于r-22一3、<1一10、A-3£=-110->0010一2>1°02’取x2

=1,得^k3

1(k3*0)为矩阵J的对应為=3的特征向量：。(1-11)(2)A=24_2*3_31-2-11解\a-^e\=24—A-2=(又一6)(2~A—0-3-35—=>4=6，2)=2；=2为A

的特征值.对应人=6,解齐次方程组(A-6£)x=df

一广-5-11、广1一1A-6E—2-2-2032C3-3-b0(n则k}—2(么关0)为矩降4的对应冬=6的特征向量；IV原方程组冋解于、X,—-x；

=0_-*，取Jt3

=3,得(=(1)-23xy

+2x；

=0I3

J对应^=^=2,解齐次方程组（A-2£）x=0f<-1-11、V"11-1、A—2E=22-2r->000<-3-33>0原方程组同解于x{

=-x2

+x；,取rn「0、得，rn则k2il°J0Id（免2,&不全为零）为矩阵d的对应A=^=2的特征向量）2.设又为A?阶可逆矩阵.4的一个特征值，证明：(1)+为J*1的特征值；。(2)\A\A^为A的伴随阵.4*的持征值；p⑶根据以上结论，当2=2,|^|=1时，求解(1)设又为W阶可逆矩阵.4的一个特征值，则有Ax=Ax

,两边同乘A^,椿厂“i即J为，的特征L|\\a-e的一个特征值.一(2)在Ax=Ax

两边冋乘d*，得A*Ax=A*Ax=>\A\Ex=AA*x=>A*x=⑶当A=2，\A\=1时，gp

的伴随阵扇赚(|A2)—+^A-E的一个特征值为Ml;-AA3.设W阶可逆阵,4,满足A^2AX-3E=O,求.4的特征值.x解设又为N阶可逆矩阵d的一个特征值，一7A+2Al-3E=O的特征值应满足A+--3=0二＞又2-3义+2=0=＞义=1或2.A4.己知3阶矩阵-4,满足\A\=-2,\A-E\=0,AB=2B,求\A2-2A-A^-E\.解由AB=2B本O，将矩阵万写成列向量得、j（AJ2,^）=2（aJ2J3）,其中3=（^，瓦，戎）,W即有Afl,=i=1,2,31其中m不全为零。于是人=2为矩阵，4的一个特征值；又由\A-E\=

0可得弋=1,由\A\

=-2=-2A=-1»一A^-1A-X-E的特征值可由'一22-0-1得到，其中义为.4的一个特征值＞又当又分别取2,1-1时，A2-2A-A^-E的特征值分别为0,0,0,。则A-—2A—A*

—^|=0.3有一个持征向量^=（l,l,-l）r.（1）求参数a,Z＞的值。0.I-1及考所对应的特征值；（2）.4能否相似于对角阵？说明理由.解（1）设特征向量＜?=（l,l;-l）r对应的特征值为2,由定义有.4^=24,即p(*)解（*）得-a=—3，b

=0；A=

一1•=_（义+1）3兰是三重特征根，(2)\A-AE\=-1—3—A02-25-12xl+(-l)xl+2x(-l)=25xl+axl+3x(-l)=2(-l)xl+^xl+(-2)x(-l)=-2f2-1设3阶方阵A-5ab-Vf2-12、(\>5a31=2i，即，'2J原方程组同解于x1=-x3一取X3=l,得古i=r-iy则t-1(k^O)为矩阵4的对应人=-1的特征向量：。<U由子三重待征根A)=-1只有一个线性无关的解向量.即无三个线性无关的持征向量.。解齐次方程组(>1-人£)5=6,r

3-l2、riorA-A^E=5-23<0ll「I0-I、000、1A故d不能相似于对角阵>rl06.设矩阵zi=12U1使P-^AP为对角阵.(P2,问矩阵d可否相似对角化？若能相似对角化，则求正交阵P，1-义解|d-A£|=11002-22=(2-l)2(4-A)=013—A=>^=>^=1,為=4为A的特征值.对应冬=>?2=1，，解齐次方程组c<-z:)i=6,r000、JF<112、A—E=112->000J12>、000?原方程组同解于rnXj=-x2

-2x3

,取I*CV3>得，r-n-i’^2=0Id则lx=lI（~2\0为矩阵A的对应人=儿=1的两个线性无关的特征向量.IU对应4=4,解齐次方程组（^-4£）J=0,00、尸<100>-4£=1-22->01-1J1-l0原方程组冏解于得么=1为矩阵J的对应為=4的特征向量，。WXl=0，取X3=h=X3矩阵j有三个线性无关的特征向量H志，故a可以相似对角化，即存在可逆阵》______卜1-20、戶=(HS)=101，(01ljrl00、使得P^AP=A=

010.Xb04j7.己知々，…，人是H阶方阵A=(aA

的《个特征根，证明：p人2+¥+".+<=z〒戶.证明因为冬，々，…，人是W阶方阵A=(aA

的w个特征根，"所以々(/=1，2,…，《)是/的《个特征根.由特征值的性质即有。A"+

AT十…十7^=zr(^o=XaijaJip8.设3阶实对称矩阵」的特征值为4=一1，乂2=為=1，应于4=一1的特征向量为4i=（04J）r（1）求对应于七=為=1的特征向量；（2）求矩阵.4.。解（1）设对应于Z>=^=1的特征向量为（x1；x2?x3）r^由于实对称矩阵的不冋特征值对应的特征向量一定是正交的，故有x2+x3=O,'(0)^2=0，6=-iIU(2)由于4，&己正交，故再将么，&单位化，得.(0)(0yi/万，Pi=h=0，P3=-仙(IILiMjw毛IIUmJ<01求出正交阵P=(px,p2,p3\=l/x/20*1^1/7200-l/V2，则P-»=Pr

.因此。IMJr010r-l00、foi/VIlMlrl00、A=P.\PT=l/>/20-1/5/2010100=00-1j/710l/^2?1°0Jko-1/^/2l/也1°-1Va07^Mi9‘设.4=010，求A1°0-d1一A02瞬|/l_A£j—01-20=-(l-2)2(l+A)=0‘00-1-2=>>^==1,為=_1为/的特征值.《•对应4=^=1，，解齐次方程组G4-£)x=0?A-E=z原方程组同解于x3=0,取^2=Iro>1000z002、000、00'r00，得<?!=00，V<o>对应4=-l.解齐次方程组(J+£)x=O,f2

02、<10PJ+£=020->010000.000原方程组同解于X!=AS=0，取X3

=1,体0为矩阵J的对应^=-1的特征向量，IU则有rlo1°求出P=^j,^25^3)—100ljP^AP=A^>a

=PAP^=P^P'1,注意尸到为初等方阵>则A9=PA9P-^rio-rf\00rl0-1、0100100101°0u<°0~bLo0lj0、rl0-1、0010-1Jb0lj0002^100-lj第六童二次型、I(2)用正交变換把二次型/化为标准形，并写出相应的正交矩阵.。解(1)/*(又1，M，.丈3)=

(.W，.丈3)一2—A'+6A~

一3A一10=

(A+1)(2—A)(A一5)=0，♦*1.己知二次