专题61 带电粒子在有界磁场中的运动 （解析版）

专题61带电粒子在有界磁场中的运动专题导航目录TOC\o"1-3"\h\u常考点带电粒子在有界磁场中的运动 1考点拓展练习 8常考点归纳常考点带电粒子在有界磁场中的运动【典例1】如图所示，在足够大的屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，P为屏上一小孔，PC与MN垂直。一束质量为m、电荷量为﹣q的粒子（不计重力）以相同的速率v从P处射入磁场区域，粒子入射方向在与磁场垂直的平面里，且散开在与PC夹角为θ的范围内，则在屏MN上被粒子打中区域的长度为（）A． B． C． D．解：由Bqv＝m可知：R＝如图所示，取一粒子，设粒子与PC夹角为α，则由几何关系可知，打在屏上的距离与P点相距L＝2Rcosα故可知，当α＝0时，打在屏上的距离最远，最远距离为2R；当α＝θ时，打在屏上的距离最近，最近距离为L′＝2Rcosθ；故有粒子打中的区域为L﹣L′＝【典例2】如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，∠A＝60°，AO＝a。在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为v0，且满足v0＝，发射方向由图中的角度θ表示。对于粒子进入磁场后的运动（不计重力作用），下列说法正确的是（）A．粒子不可能打到A点 B．以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间最短 C．以θ＜30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等 D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出解：A、由牛顿第二定律得：qv0B＝m，已知v0＝，解得：R＝a，因此当θ＝60°入射时，粒子恰好从A点飞出，见图1故A错误；B、当θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时对应的弦长为a，对应的时间为，不管是从OA段射出，还是从AC段射出，这个弦长都是最大弦长，最大的弦长就对应着最大的弧长，而速度大小不变，所以弧长越大时间越长，即这个时间是最长时间，故B错误；C、当θ＝0°飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC中点飞出，见图2，在磁场中运动时间也恰好是，所以：θ从0°到60°在磁场中运动时间先减小后增大，故C错误；D、当θ＝0°飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC中点飞出，见图2，因此在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确.【典例3】(多选)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法的是正确（）A．三个粒子都带正电荷 B．c粒子速率最小 C．a粒子在磁场中运动时间最长 D．它们做圆周运动的周期Ta＜Tb＜Tc解：粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可知，粒子的轨道半径关系是：rc＞rb＞ra，粒子在磁场中转过的圆心角关系是：θa＞θb＞θc；A、三个带电粒子均向上偏转，粒子刚射入磁场时所受的洛伦兹力均向上，由左手定则可知，三个粒子都带正电荷，故A正确；B、粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，解得：v＝，由于三个带电粒子的m质量、电荷量q都相同，磁感应强度B相同，rc＞rb＞ra，则vc＞vb＞va，故B错误；D、粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，由于三个带电粒子的m质量、电荷量q都相同，磁感应强度B相同，则Ta＝Tb＝Tc，故D错误；C、粒子在磁场中的运动时间t＝T，由于Ta＝Tb＝Tc，θa＞θb＞θc，则Ta＞Tb＞Tc，a粒子在磁场中的运动时间最长，故C正确。【技巧点拨】1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的思想方法和理论依据一般说来，要把握好“一找圆心，二定半径，三求时间”的分析方法．在具体问题中，要依据题目条件和情景而定．解题的理论依据主要是由牛顿第二定律列式：qvB＝meq\f(v2,r)，求半径r＝eq\f(mv,qB)及运动周期T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,qB).2．圆心的确定方法法一若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．法二若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与过已知点速度方向的垂线的交点即为圆心，如图乙．3．圆中三角关系(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，即φ＝α(2)圆心角(α)等于弦切角(θ)的2倍，即α＝2θ（弦：圆上两点的连线，切：速度方向）(3)相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°。4．运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：t＝eq\f(α,360°)Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或t＝\f(α,2π)T))，t＝eq\f(l,v)(l为弧长)．5．常见运动轨迹的确定(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图丙所示)．(2)平行边界(存在临界条件，如图丁所示)．(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图戊所示)．6．常用解题知识(1)几何知识：三角函数、勾股定理、偏向角与圆心角关系．根据几何知识可以由已知长度、角度计算粒子运动的轨迹半径，或根据粒子运动的轨迹半径计算未知长度、角度．(2)半径公式、周期公式：R＝eq\f(mv,qB)、T＝eq\f(2πm,qB).根据两个公式可由q、m、v、B计算粒子运动的半径、周期，也可根据粒子运动的半径或周期计算磁感应强度、粒子的电荷量、质量等．(3)运动时间计算式：计算粒子的运动时间或已知粒子的运动时间计算圆心角或周期时，常用到t＝eq\f(θ,2π)T.7．圆形有界磁场问题（1）正对圆心射入圆形磁场区域正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。8．圆形有界磁场问题（2）不对圆心射入圆形磁场区域两个等腰三角形，一个共同的底边若r=R，构成菱形【变式演练1】如图所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a、b、c三点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间ta、tb、tc，其大小关系是（）ta＜tb＜tc B．ta＝tb＝tc C．ta＝tb＞tc D．ta＜tb＝tc解：三种情况下从事abc射出的电子的轨迹如图所示，可以看出从ab射出的电子偏转了180°，从c射出的电子偏转角小于180°，而在磁场中运动的时间取决于圆心角的大小，即t＝，电子在磁场中做圆周运动的周期，与速度、半径无关。故由几何关系可知，αa＝αb＞αc，故时间关系为：ta＝tb＞tc，故ABD错误，C正确。【变式演练2】如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，荷质比相同的两个粒子沿AB方向自A点射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则（）A．从P射出的粒子速度大 B．从Q射出的粒子速度大 C．从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长 D．两粒子在磁场中运动的时间不一样长解：AB、粒子运动轨迹如图所示，粒子在磁场中做圆周运动，分别从P点和Q点射出，由图知，粒子运动的半径rP＜rQ，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力题干向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，解得：v＝，粒子运动速度vP＜vQ，故A错误，B正确。C、粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系（图示弦切角相等），粒子在磁场中偏转的圆心角相等，根据粒子在磁场中运动的时间：t＝T，又因为粒子在磁场中圆周运动的周期T＝，可知粒子在磁场中运动的时间相等，故C．错误.【变式演练3】(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面（未画出）。一群比荷为的负离子体以相同速率v0（较大），由P点在圆平面内向不同方向射入磁场中，发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是（不计重力）（）A．离子飞出磁场时的动能一定相等 B．离子在磁场中运动半径一定相等 C．由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长 D．沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大解：A、离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，洛伦兹力对离子不做功，粒子在磁场中运动时动能保持不变，由于不知离子初动能间的关系，离子初动能可能不相等，故离子飞出磁场时的动能不一定相同，故A错误；B、离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，解得：r＝，因粒子的速率相同，比荷相同，故半径相同，故B正确；C、离子在磁场中做圆周运动的周期：T＝相等，离子在磁场中的运动时间：t＝T，离子做圆周运动的轨道半径相等，离子运动轨迹对应的弦长越长，离子运动轨迹对应的圆心角θ越大，离子在磁场中的运动时间越长，由题意可知，从Q点射出的离子运动轨迹对应的弦长最长，它在磁场中的运动时间最长，故C正确；D、从Q点射出的离子在磁场中的偏转角最大，沿PQ射入的离子不会从Q点射出，因此沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角不是最大的，故D错误；故选：BC。考点拓展练习1．如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝．哪个图是正确的？（）A B解：所有粒子的速率相等，由R＝可知所有粒子在磁场中圆周运动半径相同，由图可知，由O点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界，MO＝2r＝2R；随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以O点为圆心以2R为半径转动；则可得出符合题意的范围应为A；故A正确，BCD错误。2．如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，一个氢核从ab边的中点m沿着既垂直于ab边又垂直于磁场的方向，以一定速度v射入磁场，正好从ab边中点n射出磁场，若将磁场的感应强度B变为原来的一半，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是（）A．a点 B．b点 C．在a、n之间某点 D．在b、n之间某点解：设正方向的边长为l，由题意可知氢核从n点射出时其轨道半径：氢核在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝当磁感应强度变为原来的一半时，由洛伦兹力提供向心力得：计算得出现在氢核的轨道半径：R＝2r＝l再结合图中的几何关系可知氢核应从b、n点之间某点穿出，故D正确，ABC错误。3．(多选)两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则（）A．两粒子的轨道半径之比Ra：Rb＝1： B．两粒子的质量之比ma：mb＝1：2 C．两粒子圆周运动的周期之比Ta：Tb＝2：1 D．两粒子的速率之比va：vb＝：2解：A、由粒子做匀速圆周运动可得：粒子运动轨道圆心在AB的垂直平分线和过A点的速度垂直方向的交点，如图所示，故Ra＝＝d，Rb＝＝，故Ra：Rb＝：1，故A错误；C、由几何关系可得：从A运动到B，a粒子转过的中心角为60°，b粒子转过的中心角为120°，根据运动时间相同可得运动周期为：Ta：Tb＝2：1，故C正确；BD、再根据洛伦兹力做向心力可得：qvB＝mm，所以，运动周期为：T＝＝；根据电荷量相等可得：ma：mb＝Ta：Tb＝2：1，va：vb＝：2，故B错误，D正确4．(多选)如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个质量和电荷量均相同的正、负离子，从O点以相同的速度射入磁场中，射入方向均与边界成θ角．若不计重力，关于正、负离子在磁场中的运动，下列说法正确的是（）A．运动的轨道半径不相同 B．运动的时间相同 C．重新回到边界的速度大小和方向都相同 D．重新回到边界的位置与O点距离相同解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得：qvB＝m，解得：r＝，由题意可知q、v、B大小均相同，则r相同。故A错误；B、粒子在磁场中运动周期为T＝，则知两个离子圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，重新回到边界时正离子的速度偏向角为2π﹣2θ，轨迹的圆心角也为2π﹣2θ，运动时间t＝T．同理，负离子运动时间t＝T，显然时间不等，故B错误。C、正负离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同。故C正确。D、根据几何知识得知重新回到边界的位置与O点距离S＝2rsinθ，r、θ相同，则S相同，故D正确；5．(多选)如图所示，长方形abcd长ad＝0.6m，宽ab＝0.3m，e、f分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝0.25T。一群不计重力、质量m＝3×10﹣7kg、电荷量q＝+2×10﹣3C的带电粒子以速度v0＝5×102m/s从左右两侧沿垂直ad和bc方向射入磁场区域（不考虑边界粒子），则以下正确的是（）A．从ae边射入的粒子，出射点分布在ab边 B．从ed边射入的粒子，出射点全部分布在bf边 C．从bf边射入的粒子，出射点全部分布在ae边 D．从fc边射入的粒子，全部从d点射出解：根据牛顿第二定律得解得R＝＝＝0.3mA.如果矩形区域全部存在磁场，则从e点射入的粒子，将从b点射出，但是磁场限定在半圆区域，则粒子离开磁场后做匀速直线运动，所以粒子会从b射出。因此从ae边射入的粒子，有部分靠近e点射入的粒子从bf边射出。A错误；B.从d点射入的粒子，将从/f点射出，所以从ed边射入的粒子，将都从bf边射出。B正确；C.从点射入的粒子，将从d点射出，所以从bf边射入的粒子，将有部分从ed边射出。C错误；D.因为轨道半径等于磁场半径，所以从fc边射入的粒子，会发生磁聚焦，全部从d点射出。D正确。6．(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是（）A．所有从cd边射出磁场的该带电粒子在磁场中经历的时间都是t0 B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场 C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场 D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0＜t＜t0，则它一定从ab边射出磁场解：如图所示，作出带电粒子以与Od成30°角的方向的速度射入正方形内时，刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④。由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。根据t＝T，由图中几何关系可知，恰好从ad边射出磁场，对应的圆心角为60°，经历的时间是t1＝＝t0，；恰好从ab边射出磁场，对应圆心角是150°，经历的时间是t2＝•2t0＝t0；恰好从bc边射出磁场，对应圆心角是240°，经历的时间是t3＝2t0＝t0；恰好从cd边射出磁场，对应的圆心角是300°，经历的时间是t4＝•2t0＝t0。则从ad边射出磁场经历的时间一定小于t0；所以从ab边射出磁场经历的时间一定大于t0，小于t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于t0，小于t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是t0。故ACD正确，B错误。7．(多选)如图所示，边长为L的等边三角形ABC为两有界匀强磁场的理想边界，三角形内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，三角形外的磁场（足够大）方向垂直纸面向里，磁感应强度大小也为B．把粒子源放在顶点A处，它将沿∠A的角平分线发射质量为m、电荷量为q、初速度为v0的带负电的粒子（粒子重力不计）。则下列说法正确的是（）A．若v0＝，则粒子第一次到达C点所用的时间为 B．若v0＝，则粒子第一次到达C点所用的时间为 C．若v0＝，则粒子第一次到达B点所用的时间为 D．若v0＝，则粒子第一次到达B点所用的时间为解：A、C、若v0＝，带电粒子垂直进入磁场，做匀速圆周运动，则由牛顿第二定律可得：qvB＝m；T＝；将速度代入可得：r＝L；从A射出粒子第一次通过圆弧从A点到达C点的运动轨迹如下图所示，可得：tAC＝＝；故A错误；带电粒子在一个周期内的运动如图；带电粒子从C到B的时间：tCB＝＝；故从A到B的时间为：tAB＝tAC+tCB＝+＝；故C正确；B、D、若v0＝，带电粒子垂直进入磁场，做匀速圆周运动，则由牛顿第二定律可得：qvB＝m；T＝；将速度代入可得：r＝L；故从A射出粒子第一次通过圆弧从A点到达C点的运动轨迹如下图所示，可得：tAC＝×2＝×2＝，故B正确；带电粒子从C到B的时间：tCB＝故从A到B的时间为：tAB＝tAC+tCB＝+＝，故D错误；8．如图所示，直角三角形OAC（α＝30°）区域内有B＝0.5T的匀强磁场，方向如图所示。两平行极板M、N接在电压为U的直流电源上，左板为高电势。一带正电的粒子从靠近M板由静止开始加速，从N板的小孔射出电场后，垂直OA的方向从P点进入磁场中。带电粒子的比荷为＝1.0×104C/kg，OP间距离为l＝1.2m。全过程不计粒子所受的重力（计算结果保留三位有效数字），问：（1）粒子从OA边离开磁场时，粒子在磁场中运动的时间？（2）粒子从OC边离开磁场时粒子在磁场中运动的最长时间？（3）若加速电压U＝220V，通过计算说明粒子从三角形OAC的哪一边离开磁场？解：（1）带电粒子在磁场做圆周运动的周期为：T＝＝＝4π×10﹣4s，当粒子从OA边射出时，粒子在磁场中恰好运动了半个周期：t1＝T＝2π×10﹣4s；（2）当带电粒子的轨迹与OC边相切时为临界状态，如图所示：粒子OC边边离开磁场，最大圆心角为120°，粒子从OC边离开磁场时粒子在磁场中运动的最长时间：tm＝T＝×10﹣4s；（3）粒子在电场中加速，由动能定理得：qU＝，粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB＝m，代入数据解得：r≈0.420m，粒子运动轨迹与OC相切时如同所示，由几何知识得：R+＝OP，解得：R＝0.4m＜r，则粒子从OC边离开磁场；答：（1）粒子从OA边离开磁场时，粒子在磁场中运动的时间为2π×10﹣4s；（2）粒子从OC边离开磁场时粒子在磁场中运动的最长时间为×10﹣4s；（3）粒子从三角形OAC的OC边离开磁场。9．如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：（1）电