2022-2023学年八年级数学常考点精练（苏科版）：专题07 动点中的全等（解析版）

专题07动点中的全等1．如图，在长方形中，，，延长到点，使．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点运动．设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（

）A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．【详解】解：因为，若，，根据证得，由题意得：，所以，因为，若，，根据证得，由题意得：，解得．所以，当的值为1或7秒时．和全等．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法有：，，，，．2．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一点且CE=3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB-BC-CD-DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（

）A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5【答案】D【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BM=2t-4=3和AM=16-2t=3即可求得．【详解】解：如图，当点M在BC上时，∵△ABM′和△DCE全等，∴BM=CE，由题意得：BM′=2t-4=3，所以t=3.5（秒）；当点M在AD上时，∵△ABM″和△CDE全等，∴AM″=CE，由题意得：AM″=16-2t=3，解得t=6.5（秒）．所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是掌握正方形的性质．3．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，DE与CM相交于点F且∠DME＝90°．则下列5个结论：（1）图中共有两对全等三角形；（2）△DEM是等腰三角形；（3）∠CDM＝∠CFE；（4）AD+BE＝AC；（5）四边形CDME的面积发生改变．其中正确的结论有个（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，得出，△AMC≌△BMC、△AMD≌△CME、△CMD≌△BME,根据全等三角形的性质得出DM=ME得出△DEM是等腰三角形，及∠CDM=∠CFE，AD+BE＝AC，进而根据可得出结论.【详解】解：如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点，AB=BC∴AM=CM=BM，∠A=∠B=∠ACM=∠BCM=45°，∠AMC=∠BMC=90°∵∠DME=90°∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=90°∴∠1=∠3，∠2=∠4在△AMC和△BMC中∴△AMC≌△BMC在△AMD和△CME中∴△AMD≌△CME在△CDM和△BEM∠DCM=∠BCM=BM∴△CMD≌△CME

共有3对全等三角形，故（1）错误∵△AMD≌△BME∴DM=ME∴△DEM是等腰三角形，（2）正确∵∠DME=90°.∴∠EDM=∠DEM=45°，∴∠CDM=∠1+∠A=∠1+45°，

∴∠CFE=∠3+∠DEM=∠3+45°，∴∠CDM=∠CFE故（3）正确∵CE=AD，BE=CD∴AD+BE＝AC；故（4）正确（5）∵△ADM≌△CEM∴∴不变，故（5）错误故正确的有3个故选B【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过推理论证每个命题的正误是解决此类题目的关键.4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为______时，△ABP与△PCQ全等．【答案】2或【解析】【详解】可分两种情况：①△ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，②△ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB＝PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．【解答】解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB＝8cm，∴PC＝8cm，∴BP＝12﹣8＝4（cm），∴2t＝4，解得：t＝2，∴CQ＝BP＝4cm，∴v×2＝4，解得：v＝2；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC＝6cm，∴2t＝6，解得：t＝3，∵CQ＝AB＝8cm，∴v×3＝8，解得：v＝，综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PQC全等，故答案为：2或．【点睛】此题考查了动点问题，全等三角形的性质的应用，解一元一次方程，正确理解全等三角形的性质得到相等的对应边求出t是解题的关键．5．如图，在△ABC中，，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等．【答案】2或6##6或2【解析】【分析】设点P运动时间为t秒，根据题意化成两种情况，由全等三角形的性质得出，列出关于t的方程，求解即可．【详解】解：设运动时间为t秒时，△PMC≌△CNQ，∴斜边，分两种情况：①如图1，点P在AC上，点Q在BC上，图1∵，，∴，，∵，∴，∴；②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合，图2∵，，∴，∴；综上所述，点P运动时间为2或6秒时，△PMC与△QNC全等，故答案为：2或6．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据题意判断两三角形全等的条件是解题关键，同时要注意分情况讨论，解题时避免遗漏答案．6．如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t=__________s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．【答案】1或或12【解析】【分析】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE=CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论．【详解】解：当E在BC上，D在AC上，即0＜t≤时，CE=（8-3t）cm，CD=（6-t）cm，∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．∴CD=CE，∴8-3t=6-t，∴t=1s，当E在AC上，D在AC上，即＜t＜时，CE=（3t-8）cm，CD=（6-t）cm，∴3t-8=6-t，∴t=s，当E到达A，D在BC上，即≤t≤14时，CE=6cm，CD=（t-6）cm，∴6=t-6，∴t=12s，故答案为：1或或12．【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出每种情况下CD和CE的长．三、解答题(共0分)7．如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒，（1）BQ＝；BP＝；（用含a或t的代数式表示）（2）运动过程中，连接PQ、DQ，△BPQ与△CDQ是否全等？若能，请求出相应的t和a的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2tcm，（8﹣at）cm；（2）a＝2，t＝3或a＝1，t＝2【解析】【分析】（1）根据路程=速度×时间求解；（2）分2种情况，根据全等三角形的性质列方程求解；【详解】解：（1）由题意得，AP＝atcm，BP＝(8﹣at)cm，BQ＝2tcm，故答案为：2tcm，(8﹣at)cm；（2）△BPQ与△CDQ能全等；∵∠B＝∠C，∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况：①当△PBQ≌△QCD时，PB＝CQ，BQ＝CD，∴2t＝6，8﹣at＝8﹣2t，∴a＝2，t＝3；②当△PBQ≌△DCQ时，PB＝DC，BQ＝CQ，∴8﹣at＝6，2t＝8﹣2t，∴a＝1，t＝2；综上，△BPQ与△CDQ能全等，此时a＝2，t＝3或a＝1，t＝2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键．8．如图①，线段，过点B、C分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为．（1）当，________，用含a的代数式表示的长为_______．（2）当时，①求证：．②求证：．（3）如图②，将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值．【答案】（1）4，a；（2）①见解析；②见解析；（3）a＝2，t＝1或，【解析】【分析】（1）根据题意得：，，即可求解；（2）①根据题意可得BP＝CQ＝2，从而得到CP＝AB，即可求证；②根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角性质，即可求解；（3）分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：，，∴；

（2）①∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°．∵

，

∴BP＝CQ＝2，∵BC=6，∴CP＝AB=4，

∴△ABP≌△PCQ；

②∵△ABP≌△PCQ，∴∠A＝∠CPQ，

∵∠APC＝∠CPQ+∠APQ，∠APC＝∠A+∠B，∴∠APQ=∠B＝90°．

∴AP⊥PQ；

（3）当△ABP≌△PCQ时，即PC=AB=4，QC=BP=2t，∴BP=BC-PC=2，∴2t=2，解得：t=1，∴QC=2，∴，当△ABP≌△QCP时，即QC=AB=4，BP=CP=，∴，∴，

综上所述，当与全等时，a＝2，t＝1或，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，动点问题，明确题意，准确得到全等三角形是解题的关键．9．如图，中，，，，过点作直线，动点从点开始沿射线的方向以2cm/s的速度运动，动点也同时从点出发在直线上以1cm/s的速度向上或向下运动，连接，，设运动时间为．（1）写出、的长度；（用含的关系式表示）（2）当为多少时，与全等．【答案】（1），；（2）2s或6s【解析】【分析】(1)由路程=速度×时间，可得CP、CQ的长度；(2)分两种情况讨论，第一种是当点在线段上，在点的上方；第二种是当点在线段的延长线上，在点的下方，由全等三角形的判定可得BP=CQ时，两三角形全等，即可求解．【详解】解：（1）因为动点从点开始沿射线的方向以2cm/s的速度运动，动点也同时从点出发在直线上以1cm/s的速度向上或向下运动，所以，；（2）分两种情况：①如图①，当点在线段上，在点的上方，时，，理由如下：因为，，所以，因为，所以，所以，在和中，因为，，，所以．因为，，所以，因为，当时，，解得；②如图②当点在线段的延长线上，在点的下方，时，，理由如下：因为，，所以，所以，因为，所以，所以，在和中，因为，，，所以．因为，，所以，因为，当时，，解得；综上所述，当的值为2s或6s时，与全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．10．如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等．【答案】（1）见解析；（2）t=4或【解析】【分析】（1）利用直接证明△AED≌△AFD即可；（2）先求解再分三种情况讨论，①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上，②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上，③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上，再利用全等三角形的对应边相等建立方程，解方程即可得到答案.【详解】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．∵∠BAD=∠CAD，AD=AD．∴△AED≌△AFD(AAS)．（2）∵△AED≌△AFD∴DE=DF，AF=AE=10．∴CF=6若△DEP与△DFQ全等，且DE=DF，∠DEP=∠DFQ=90°，∴EP=FQ，①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上，∴EP=10﹣2t，FQ=6﹣t∴10﹣2t＝6﹣t，∴t=4；②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上，∴EP=2t-10，FQ=6﹣t∴2t-10=6﹣t，∴t=

③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上，∴EP=2t-10，FQ=t﹣6∴2t-10=t-6，∴t=4（不合题意，舍去）．综上所述，当t=4或时，△DEP与△DFQ全等．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，动态三角形全等问题，清晰的分类讨论是解题的关键.11．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒．（1）当t＝3秒时，BP＝cm；（2）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．【答案】（1）2；（2）2.5或4.5或7.5或9.5【解析】【分析】（1）当t＝3秒时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度；（2）根据题意，要使一个三角形与△DCQ全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间．【详解】解：（1）当t＝3秒时，点P走过的路程为：2×3＝6，∵AB＝4，∴点P运动到线段BC上，∴BP＝6−4＝2cm，故答案是：2；（2）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝，DQ＝5，∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，①当点P运动到时，C＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CD，∴点P的路程为：AB＋B＝4＋1＝5，∴t＝5÷2＝2.5s，②当点P运动到时，B＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB，∴点P的路程为：AB＋B＝4＋5＝9，∴t＝9÷2＝4.5s，③当点P运动到时，A＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB，∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋1＝15，∴t＝15÷2＝7.5s，④当点P运动到时，即P与Q重合时，D＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CD，∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋5＝19，∴t＝19÷2＝9.5s，综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段的动点问题，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．12．如图：四边形中，，，，．动点P从B向C以的速度运动，动点Q由C向D运动．（1）若P、Q运动速度相等，运动1秒后，试判断、的数量关系，并说明理由；（2）在P、Q运动过程中，若与全等，求Q点运动速度；【答案】（1），理由见解析（2）或【解析】【分析】（1）根据题意证明即可得出结论；（2）分两种情况当①时，②当时，，分别求出Q点的速度即可；解：（1）；理由如下：∵P、Q运动速度相等，当运动1秒后，，∴，∴,又∵，∴，∴；（2）与全等设运动时间为t，Q的运动速度为，①当时，则有：，∴；②当时，，∵，∴，则，解得：，则，∴；13．如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结，（1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？（2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？【答案】（1）t=1；（2）t=或t=【解析】【分析】（1）根据△DCP与△BCM全等，列出关于t的方程，解之即可；（2）分当点P在点C左侧和当点P在点C右侧，两种情况，根据PC=CM，列方程求解即可．【详解】解：（1）要使△DCP与△BCM全等，则PC=CM，由题意得：2t=4-2t，解得：t=1；（2）当点P在点C左侧时，则△DCP≌△BCM，∴PC=CM，∴4-3t=1.5t，解得：t=；当点P在点C右侧时，则△DCP≌△BCM，∴CP=CM，∴3t-4=1.5t，解得：t=，综上：当t=或t=时，△DCP与△BCM全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是抓住全等三角形的条件，得到相等线段，列出方程，注意分类讨论．14．如图，在△ABC中，高线AD，BE，相交于点O，AE=BE，BD=2，DC=2BD．（1）证明：△AEO≌△BEC；（2）线段OA=；（3）F是直线AC上的一点，且CF=BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点

P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明过程见解析；（2）6；（3）存在，或，理由见解析【解析】【分析】（1）根据AD，BE是的高，得到，再根据，得到，即可得证；（2）根据已知条件解得，再根据全等三角形的性质计算即可；（3）由题意得，，，，分点Q在线段DC上和线段DC延长线上分类计算即可；【详解】（1）证明：∵AD，BE是的高，∴，∵，∴，在和中，，∴；（2）∵，，∴，∴，∵，∴；故答案是6．（3）存在，由题意得，，，∵，∴，如图，当时，，∴，解得：；如图，当时，，∴，解得：；综上所述，当或时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用、一元一次方程，熟练掌握上述知识、准确分析计算是解题的关键．15．如图，在中，，，点是边的中点．点是边上的动点，以/秒的速度从点向点运动；点是边上的动点，同时从点向点运动．设运动时间为/秒．（1）如果点运动的速度与