因式分解拓展 公开课教学设计

因式分解拓展授课人：朱珊珊授课时间：11月8日因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是互逆的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中都有着重要的作用。因式分解的方法较多，在课本中我们已经学习了提公因式法、公式法进行因式分解，而运用立方和、立方差、分组分解法及十字相乘法等在以后的数学学习中经常要用到。因此，这两节课将对上述因式分解方法进行补充拓展。运用乘法公式法（平方差、完全平方公式、立方和、立方差公式）经常地，一道因式分解题目会同时考查提公因式法、公式法，要特别注意的是因式分解要分解完全。例1：立方和、立方差公式计算：（1）（2）所以我们可以得到；这两个公式特征：两项式，都是立方项，注意比较两个公式的不同点。例2：分解因式（1）（2）（3）（4）分组分解法对于多项式因式分解，如果不能提公因式，也不能直接用公式法分解，该怎么分解呢？如多项式，无法用我们已经学过的几种方法来分解，但我们发现，这四项中，若把它们中的某两项分一组，可以分成两组，前2项为一组，并提出公因式，后两项为另一组，可提出公因式，由于与又有公因式，于是可以提出，从而得到。这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。分组分解法的关键在于如何分组。上述多项式还有其它分组的方法吗？请你尝试一下。例3：把分解因式练习：把下列多项式分解因式（1）（2）说明：用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解。课后巩固：把下列各式分解因式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（11）因式分解拓展（二）------十字相乘法授课人：朱珊珊授课时间：一、十字相乘法分解因式的意义利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法．（1）∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)如图（1）（2）又∵(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2∴a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)如图（2）图（1）图（2）二、为什么学习十字相乘法？学习关键是什么？十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式．这种方法的关健是把二次项的系数a可以分解成两个因数a1，a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么它可以分解因式：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.若二次项系数a=1，对于二次三项式x2+bx+c，如果能够把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1·c2，并使c1+c2正好是一次项系数b，那么它可以分解因式：x2+bx+c=(x+c1)(x+c2),三、例题分析例1.把下列各式分解因式：(1)x2+2x-15(2)x2-6x+8(1)分析：常数项(-15)＜0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2．在分解时，可用下面的式子进行验算．说明：在竖式验算后写分解结论时千万不要对角写，应横向写，否则，当二次项系数不为1时，会出现错误的.(2)分析：常数项8可以分解为两个同号整数的积，即为8=1×8，8=(-1)(-8)；或8=2×4，8=(-2)(-4)．其中只有-2与-4的和为-6.解：x2-6x+8=(x-2)(x-4)例2.把下列各式分解因式：(1)2x2-5x-3(2)5x2-21x+18(1)分析：我们要把这个多项式分解成形如()·()的形式，这里的a1a2=2，c1c2=-3，a1c2+a2c1=-5，由十字相乘法竖式（怎么写？）可知关键问题在于确定二次项系数2的两个因数a1和a2、常数项-3的两个因数c1和c2.二次项系数2可分解为2×1，常数项-3＜0可分解为两个异号整数的积即为(-3)×(1)，3×(-1)，最后考虑一次项系数-5，它是十字相乘法寻找这四个数的关键，因为-5＜0，所以a1c2+a2c1＜0.而a1＞0，a2＞0，所以，的寻找就相对容易了.解：2x2-5x-3=(x-3)(2x+1)说明：通过十字相乘的验算公式后写结果时要横向写，不要对角写结论，注意避免出现2x2-5x-3=(x+1)(2x-3)这样的错误.(2)分析：因为二次项系数为质数5，可分解为1×5竖式中可将左边先固定，再分解常数项18，18＞0，∴18=(1)(18)，18=(-1)(-18)，18=2×9，18=(-2)×(-9)，18=3×6，18=(-3)(-6)．根据一次项系数为-21，所以只可选用(-3)(-6).解：5x2-21x+18=(x-3)(5x-6)例3.把下列各式分解因式：（1）(x+y)2+2(x+y)-24（2）a2-5ab-24b2（1）分析：把(x+y)看成一个整体，这样，这个多项式就是关于(x+y)的二次三项式，很容易依照前面的方法分解：解：(x+y)2+2(x+y)-24=[(x+y)+6][(x+y)-4]=(x+y+6)(x+y-4)（2）分析：把原式变形为式a2-(5b)a-24b2，即把-5b看作a的系数，把-24b2看作常数项，这样可将原式看成a的二次三项式，用十字相乘法分解.解：a2-5ab-24b2=a2-(5b)a-24b2=(a+3b)(a-8b)说明：要注意避免a2-5ab-24b2=(a+3)(a-8)这类的错误，也要避免a2-5ab-24b2=(a+8b)(a-3b)这类的错误.例4.把下列各式分解因式：(1)x4-3x2-4(2)x4-10x2y2+9y4(1)分析：把原式写成(x2)2-3(x2)-4，它仍旧是x2的二次三项式，可以用十字相乘法分解．-4=(-4)×1而-3=-4+1解：x4-3x2-4=(x2)2-3(x2)-4=(x2-4)(x2+1)=(x2+1)(x+2)(x-2)(2)分析：原式可变形为(x2)2-10y2(x2)+9(y2)2即可看成x2的二次三项式，再采用十字相乘法分解因式．解：x4-10x2y2+9y4=(x2)2-10y2(x2)+9(y2)2=(x2-y2)(x2-9y2)=(x+y)(x-y)(x+3y)(x-3y)说明：应用十字相乘法分解后原式为(x2-y2)(x2-9y2)，要再对它进行分解后方为最后结果（两个因式都分别应用平方差公式即可）四、把下列多项式因式分解（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（10）（11）（12）证明：当n为大于2的整数时，