专题12一元一次方程的应用（2个知识点15种题型2个易错点）七年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练沪科版

专题12一元一次方程的应用（2个知识点14种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.列方程解应用题一般步骤（重点）知识点2.列一元一次方程解应用题的常见题型（重点）【方法二】实例探索法题型1.增长率问题题型2.配套问题题型4储蓄问题题型5.工程问题题型6.和、差、倍、分问题题型7.数字问题题型8.比例分配问题题型9.比赛积分问题题型10.日历问题题型11.行程问题题型12.对话信息问题题型13.方案决策问题题型14.古代问题中的一元一次方程【方法三】差异对比法【方法四】成果评定法【学习目标】能用一元一次方程解决某些实际问题。通过列方程解决实际问题，培养学生应用数学知识的能力，体会数学与实际生活的联系。【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.列方程解应用题一般步骤（重点）列方程解应用题的步骤：

①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系

②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）

③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系

④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值

⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）知识点2.列一元一次方程解应用题的常见题型（重点）一、配套问题配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比.二、工程问题工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。三.销售问题销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售．四、比赛积分问题①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分）②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x）③.寻找等量关系胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分五.行程问题1.行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。关系式为：①路程=速度×时间；②速度=；③时间=。2.顺逆风（水）速度之间的关系：①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。3.追击问题的一个最基本的公式：追击时间速度差追击的路程．相遇问题的基本公式为：速度和相遇时间路程．六.数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．若是一个两位数，可表示为10b+a，若是一个三位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字之间或新数与原数之间的关系找等量关系列方程．七、日历问题关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7.八、方案选择问题借助方程先求出相等的情况。再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。九、利息问题等量关系利息=本金利率期数；税后利息=本金利率期数（1利息税率）；本利和=本金+利息；税后本利和=本金+税后利息．【方法二】实例探索法题型1.增长率问题【例1】“爱玛电动车”商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的，第二季度乙、丙两种型号车的销售额比第一季度减少了，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了，且甲型车的销售额比第一季度增加了，则a的值为（）A．8 B．6 C．3 D．2【答案】D【分析】把第一季度的销售额看作单位1，根据题意可得关于a的方程式，求解可得答案．【详解】解：把第一季度的销售额看作单位1；则有，解可得：；故选：D．【点睛】这里注意要把第一季度的销售额看作整体1．根据两种不同的表示方法表示第二季度的销售额列方程求解．题型2.配套问题【例2】2020年为了应对武汉新冠肺炎疫情，需要快速建立医院，某车间连夜加班生产医用设备，现共有60个工人可以生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和每3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好都配套？【分析】设应分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个，可列方程求解．【解析】解：设分配人生产甲种零件，则共生产甲零件个和乙零件，依题意得方程：，解得，（人．答：应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套．【点睛】本题考查一元一次方程的应用和理解题意的能力，关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．【例3】11.11购物节期间，小明妈妈在网上某品牌服装店按标价八折拍到一件学生外套，支付了120元．爱思考的小明进行了下列研究：（1）该学生外套在网上的标价是______元．（2）妈妈告诉小明她在网上买到的学生外套商家可以获得20%的利润．根据妈妈的说法，一件学生外套的进价是多少元？【分析】（1）直接利用卖价÷80%＝标价，进而得出答案；（2）设一件学生外套的进价是x元，利用进价×20%＝利润，列出方程，进而得出答案．【解析】解：（1）由题意可得：120÷80%＝150（元）；故答案为：150；（2）设一件学生外套的进价是x元，根据题意得：120−x＝20%x，解得：x＝100，答：一件学生外套的进价是100元．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解进价与标价、打折之间关系是解题关键．题型4储蓄问题【例4】小明的父亲将一笔年终奖金存入银行，一年后取出本金和利息，并扣除利息税90元，如果银行的定期储蓄的年利率为2.25%，问小明的父亲存入银行的本金为多少元？（利息税=利息20%）【答案】小明的父亲存入银行的本金为20000元．【解析】设小明的父亲存入银行的本金为元，由题意可得：，解得：．答：小明的父亲存入银行的本金为20000元．【总结】考察列方程解决利率问题，注意对利息税的正确理解．题型5.工程问题【例5】一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成．如果甲先单独做4天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，可以得出甲每天做整个工程的，乙每天做整个工程的，根据文字表述得到题目中的相等关系是：甲完成的部分+两人共同完成的部分=1．【解析】解：设整个工程为1，根据关系式甲完成的部分+两人共同完成的部分=1列出方程式为：，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程式的运用，解决这类问题关键是找到等量关系．题型6.和、差、倍、分问题【例6】．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）在甲处工作的有31人，在乙处工作的有20人，现在调来18人分别派往甲，乙两处，使在甲处工作的人数是乙处的两倍，应往甲、乙两处派去多少人？【答案】应往甲处调去15人，应往乙处调去3人【分析】设应往甲处调去人，应往乙处调去人，根据调来人后，在甲处干活的人数是在乙处干活的人数的2倍；可得出方程组，解出即可．【详解】解：设应往甲处调去人，应往乙处调去人，由题意，解得．∴(人)答：应往甲处调去15人，应往乙处调去3人．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，难度一般．题型7.数字问题【例7】．（23·24七年级上·天津和平·期中）一个两位数，十位上的数是，个位上的数是．把与对调，新两位数比原两位数大．根据题意列出的方程为（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题目所给条件，首先表示出这个两位数，然后表示出新的两位数，根据题意列出方程，解之即可．【详解】解：由题意得：原两位数为，新两位数为，则，故选：．【点睛】此题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．题型8.比例分配问题【例8】．（22·23七年级上·广东河源·期末）在甲处工作的有132人，在乙处工作的有108人，如要使乙处工作的人数是甲处工作人数的，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调x人到甲处，则下列方程中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】用含x的式子表示出调动后甲处和乙处的人数，再根据等量关系列方程即可．【详解】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人．根据“乙处工作的人数是甲处工作人数的”列方程得：，故选D．题型9.比赛积分问题【例9】某学校组织四名学生参加知识竞赛，知识竞赛共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中2名学生参赛后的得分情况．参赛者答对题数答错题数得分1828617379（1）参赛学生得72分，他答对了几道题？答错了几道题？为什么？（2）参赛学生说他可以得94分，你认为可能吗？为什么？【分析】（1）设学生答对一题得分，根据答错一题的得分相等，得出学生答对一题得5分，答错一题得分，再设参赛学生C答对了y道题，答错了（20y）道题，根据答对的得分+加上答错的得分=72分建立方程求出其解即可；

（2）假设学生答对题，答错题，根据答对的得分+加上答错的得分=94分建立方程求出其解即可．【解析】解：（1）设学生答对一题得分，则答错一题得：解方程得：即学生答对一题得5分，答错一题得分．由于学生得分72分，所以设这名学生答对题，答错题．∴解方程得，∴参赛学生答对16了题，答错了4题．（2）假设学生答对题，答错题，得分94分，且为自然数．则解方程得：不是自然数∴学生的说法不可能出现．【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，根据已知量得出学生答对一题得5分，答错一题得分是解题的关键．题型10.日历问题【例10】．（23·24七年级上·福建厦门·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，在本月历中这5个数的和可能的是（

）四五六日123456789（阴影）1011（阴影）1213141516（阴影）17（阴影）18（阴影）19202122232425262728293031A．64 B．75 C．86 D．126【答案】D【详解】设“”型框中的五个数分别为、、、、．由5个数的位置关系，可用含的代数式表示出，，，，令由5个数之和为选项中的数字，解之可得出值，结合图形即可得出结果．【分析】解：设“”型框中的五个数分别为、、、、，则，，，，所以．A、当时，，不符合题意；B、当时，，不符合题意；C、当时，，位于“”型框的左边，不符合题意；D、当时，，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．题型11.行程问题【例11】（列方程解应用题）双“11”期间，某快递公司的甲、乙两辆货车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶时，甲车先到达配货站C地，此时两车相距，甲车在C地用配货，然后按原速度开往B地；乙车继续行驶时，乙车也到C地，但未停留直达A地．（1）乙车的速度是_______，B、C两地的距离是______．（2）求甲车的速度．（3）乙车出发_______小时，两车相距．【分析】（1）根据距离=速度×时间可得答案；（2）根据BC的距离以及AB的距离，可得AC的距离，根据距离=速度×时间即可得到结果；（3）分两车相遇前相距65km和相遇后相距65km两种情况，根据距离=速度×时间即可解答．【解析】解：（1）甲车先到达配货站CC地，∴乙车的速度是35÷0.5=70（km/h），∵乙车从B地到达C地共用2.5h，∴B、C两地的距离是70×2.5=175（km），故答案为：70，175；（2）∵AB两地相距335km，B、C两地的距离是175km，∴A、C两地的距离是335175=160（km），∵行驶2h时，甲车先到达配货站C地，∴160÷2=80（km/h），答：甲车的速度是80km/h；（3）设乙车出发xh两车相距65km，①两车相遇前相距65km时，70x+80x+65=335，解得：x=1.8，②两车相遇后相距65km时，∵甲车在C地用1h配货，∴甲车行驶（x1）h，∴70x+80（x1）65=335，解得：x=3.2，答：乙车出发1.8h或3.2h时，两车相距65km．【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及一元一次方程的应用，根据题意正确得出等量关系列出方程，并灵活运用分类讨论的思想是解题的关键．题型12.对话信息问题【例12】．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）新华书店准备订购一批图书，现有甲、乙两个供应商，均标价每本40元．为了促销，甲说：“凡来我处购书一律九折．”乙说：“如果购书超出100本，则超出的部分打八折．”(1)若新华书店准备订购150本图书，请分别求出去甲、乙两处需支付的钱数；(2)若新华书店去甲乙两处订购了相同数量的图书并且付了相同数量的钱，请问新华书店去甲乙各定了多少本书？【答案】(1)去甲处需支付的钱数为5400元；去乙处需支付的钱数为5600元(2)当订购200本图书时，去两个供应商处的进货价钱一样【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）列出方程，进行计算即可．【详解】（1）解：由题意得：甲：（元）；乙：（元），答：去甲处需支付的钱数为5400元；去乙处需支付的钱数为5600元；（2）解：设该书店准备订购本图书，由题意得：，解得：，答：当订购200本图书时，去两个供应商处的进货价钱一样．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意正确的列出代数式，再根据题意正确的列出方程是解题的关键．题型13.方案决策问题【例13】甲、乙两家体育用品商店出售同样的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价80元，羽毛球每盒20元，现在两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一刷羽毛球拍赠一盒羽毛球：乙店的优惠办法是：按定价的九折出售．某校的体育组需购买羽毛球拍4副，羽毛球若干盒（不少于4盒）；（1）当购买羽毛球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款________元；在乙店购买需付款________元（用含x的代数式表示）；（2）当购买几盒羽毛球时，甲、乙两商店的付款金额是一样的，请用计算说明；（3）当购买20盒羽毛球时，到________（填甲或乙）商店比较合算，你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款多少元？（4）当购买x盒羽毛球时，最省的费用是多少，请用x的代数式表示．【分析】（1）分别根据两店的优惠政策计算即可；（2）根据（1）中结果得到关于x的方程，解之即可；（3）分别将x=20代入计算，再比较；可在甲店购买羽毛球拍，在乙店购买羽毛球，从而计算费用．（4）根据（3）中方案列出式子即可．【解析】解：（1）甲店购买需付款为：4×80+20×（x4）=20x+240（元）；在乙店购买需付款为：（4×80+x×20）×0.9=18x+288（元）；（2）令20x+240=18x+288，解得x=24，∴购买24盒羽毛球时，甲、乙两商店的付款金额是一样的；（3）当x=20时，甲店：20×20+240=640元，乙店：18×20+288=648元，640＜648，即当购买20盒羽毛球时，到甲商店比较合算；更省钱的购买方案为：在甲商店够买4副羽毛球拍，在乙商店够买（204）盒羽毛球，所需费用为：4×80+（204）×20×0.9=608元；（4）由题意可得：当购买x盒羽毛球时，最省的费用是4×80+（x4）×20×0.9=18x+248（元）．【点睛】本题考查列代数式及代数式求值问题，以及一元一次方程，得到两个商店付费的关系式是解决本题的关键．题型14.古代问题中的一元一次方程【例14】．（2023上·辽宁大连·七年级统考期中）我国的《九章算术》中记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为．【答案】【分析】根据人数为x，每人出9钱，会多出11钱，可知买鸡共花费，由每人出6钱，又差16钱，可知买鸡共花费，根据买鸡的花费相同，可列方程．本题考查了一元一次方程的应用．根据买鸡的花费相同，正确的列方程是解题的关键．【详解】解：由题意知，可列方程为，故答案为：．【方法三】差异对比法1．（23·24上·武汉·期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x；O为原点，①若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；②数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；③当点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点P到点A、点B的距离相等．（直接写出结果）【答案】①1；②存在，或；③分钟或分钟【分析】①根据数轴的性质建立方程，解方程即可得；②分三种情况：点在点的左侧、点在点和点的中间、点在点的右侧，分别根据数轴的性质建立方程，解方程即可得；③设分钟时点到点、点的距离相等，则此时点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，建立方程，解方程即可得．【详解】解：①由题意得：，∴，∴或，解方程得：方程无解，解方程得：，所以点对应的数是1．②当点在点的左侧时，则，解得，符合题设；当点在点和点的中间时，则，舍去；当点在点的右侧时，则，解得，符合题设；综上，存在这样的点，此时的值为或．③设分钟时点到点、点的距离相等，此时点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，则，即，或，解得或，答：分钟或分钟时点到点、点的距离相等．【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．【方法四】成果评定法一、单选题1．（23·24七年级上·湖北武汉·期中）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率恰好为10％，则该商品可以打（

）折（）A．7 C．8 【答案】D【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可，理解题意列出一元一次方程是解题关键．【详解】解：设打x折，由题意得，解得：；故选D．2．（23·24七年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）如图，数轴上一点A向左移动2个单位到达点B，再向右移动5个单位到达点C．若点C表示的数为1，则点A表示的数是（

）A．7 B．3 C． D．【答案】D【分析】设点A表示的数为x，再由题意得到关于x的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设点A表示的数为x，则由题意得：，解之得：，故选D．【点睛】本题考查数轴上的动点问题，分清运动方向及根据题意列出方程是解题关键．3．（23·24七年级上·广东广州·阶段练习）一个正方形的边长增加了，面积相应增加了32平方厘米。则这个正方形的边长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设正方形的边长是，根据面积相应地增加了，即可列方程求解．【详解】解：设正方形的边长是，根据题意得：，解得：．故选：D．【点睛】本题考查了列方程解应用题，正确列方程是关键．4．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）通乡商店新进某种衬衫，以利润率标价，逢店庆八折出售，仍可获利20元，则该衬衫进价为（

）A．80元 B．100元 C．120元 D．150元【答案】B【分析】设该件衬衫的进价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设该件衬衫的进价为元，根据题意得：，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键．5．（23·24七年级上·广东珠海·期中）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（

）A．49 B．60 C．84 D．105【答案】D【分析】设中间的数为x，则上一行3个数分别是，下一行3个数分别是，然后列方程求解即可．【详解】解：设中间的数为x，则上一行3个数分别是，下一行3个数分别是，∴这7个数的和为，A．若，则，不符合题意；B．若，则，不符合题意；C．若，则，不符合题意；D．若，则，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确表示出这7个数的和是解答本题的关键．6．（23·24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点的距离相等，B，C，D对应的数分别为a，b，c，d，且满足和，则数轴的原点应是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【答案】B【分析】先根据，得出数轴上每相邻两个点代表2个单位长度，设d为x，则可以表示a，根据列方程求解，进而判断原点的位置．【详解】解：∵，∴数轴上，每两个相邻的点的距离为2个单位长度，设，则，∵∴，解得，∵B，D距离为8个单位长度∴数轴的原点是B点．故选：B．【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，根据列出方程是解题的关键．7．（22·23七年级上·浙江金华·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x和y的和是（）A．9 B．20 C．11 D．32【答案】D【分析】由图知，第一行和为：，根据每一横行、每一竖列和相等规则，用关于字母的代数式表示其它空格值，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等的规则建立方程求解得字母值，进而求解．【详解】解：由图知，第一行和为：，故其它空格如图，根据题意可得：，整理得：，，整理得：，，整理得：，则，解得：，则，解得：，∴x和y的和是，故选：D．【点睛】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的求解；根据题意建立方程是解题的关键．8．（22·23上·哈尔滨·阶段练习）为了节约用水，某市规定，每户居民每月用水不超过，按每立方米2元收费，超过，则超过部分按每立方米4元收费，某户居民5月份交水费72元．该居民5月份实际用水（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先可判断该户村民实际用水超过20立方米，设实际用水为x，根据共交水费72元，可得出方程，解出即可．【详解】解：设实际用水为x立方米，由题意得，实际用水量超过20立方米，，解得：．即该户居民九月份实际用水28立方米．故选：C【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，涉及了阶级收费分问题，注意分段表示每部分所花费的钱数，利用方程思想解出答案．9．（22·23上·哈尔滨·期中）甲班学生人，乙班学生人，要使两班人数相等，设从甲班调人到乙班，则得方程（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，从甲班调人到乙班，则甲班还有（）人，乙班则有（）人，此时两班人数相等，即可列出方程．【详解】设从甲班调人到乙班，则甲班现有人数为（）人，乙班现有人数为()人，根据题意得，，故选：．【点睛】此题考查了列一元一次方程解决问题的能力，根据题意找到等量关系式是解题的关键．10．（23·24九年级上·湖南长沙·阶段练习）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛50场比赛，设参加比赛共有个队，根据题意，所列方程为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】设共有个球队参赛，根据每两队之间都进行一场比赛，且共比赛50场，即可得出关于的一元二次方程，此题得解；【详解】设共有个球队参赛，依题意，得：故选D【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键二、填空题11．（23·24七年级上·湖北武汉·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个三阶幻方．如图（2）是一个末完成的三阶幻方，直接写出x的值．【答案】3【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据幻方的特征找到等量关系．【详解】解：由图（2）可知：，解得：，故答案为：3．12．（23·24七年级上·广东深圳·期中）如图，已知数轴上的点C表示的数为9，点A表示的数为，点B是的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度．【答案】或【分析】本题考查了数轴上动点问题，进行分类讨论是解题关键，先根据线段中点坐标公式求出点B表示的数，再分别表示出运动秒时P、Q两点表示的数，然后分P在Q的左边与P在Q的右边两种情况进行讨论，根据列方程，求解即可．【详解】解：∵点C表示的数为9，点A表示的数为，点B是的中点，∴点B表示的数为，由题意可得：运动t秒时，P表示的数为：，Q表示的数为：，点P与点Q之间的距离为2个单位长度时，分两种情况：P在Q的左边，∵，∴，解得：；P在Q的右边，∵，∴，解得：；综上所述：当t为或秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度，故答案为：或．13．（23·24七年级上·广东深圳·期中）如图是一数值转换机，要使输出的值为59，则输入的最小正整数为．【答案】7【分析】读懂题意，按照输入的顺序列方程求出一次输出为59的x的值，再求如果小于50，返回此时的输出值为上一次x的值，找最小正整数．【详解】解：，解得，当，解得，当时，，当时，，当时，，∴输入x的最小正整数为7．故答案为：7．【点睛】本题考查了流程图与一元一次方程，解题的关键是读懂题意，根据新定义列出方程分情况计算可能的取值．14．（23·24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）按下面的程序计算：若输入，输出结果是501，若输入，输出结果是631，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为531，则开始输入的值可能是．【答案】4或21或106【分析】根据输出的结果是531，可知根据程序计算一次后得531，即，解出x；当531是根据程序计算两次后得到的结果时，要把第一次求得的x值再按程序得到一元一次方程，求得x值，依次类推，直到x值不符合题意为止。【详解】解：一次输出结果为531，可得，解得，是正整数；第二次输出结果为531，可知，解得，是正整数；第三次输出结果为531，可知，解得，是正整数；第四次输出结果为531，可知，解得，不是正整数；故答案为：4或21或106．【点睛】本题考查了程序流程图求代数式的值与解一元一次方程．解题的关键在于正确的列方程求解．15．（21·22七年级上·安徽淮北·期末）某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后由乙地逆流而上到丙地，共用2小时，若水流速度为，船在静水中的速度为，已知甲乙丙三地在同一直线上，甲地与丙地间的距离为，则甲乙两地间的距离为km．【分析】分类讨论当丙地在甲乙两地之间和不在甲乙两地之间的情况．【详解】解：设甲乙两地间的距离为为km若丙地在甲乙两地之间则有：解得：若丙地不在甲乙两地之间则有：解得：【点睛】本题考查一元一次方程的应用．注意顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度．三、解答题16．（23·24上·沈阳·阶段练习）定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称它是其他两点的“2距点”．如下图，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点就是点，的一个“2距点”．(1)点，的其他三个“2距点”所表示的数是______，______，______；(2)若点表示数，点表示数4，数，，0，2，10所对应的点分别是，，，，，其中不是点，的“2距点”的是点______；(3)若点表示的数是，点表示的数是15，点为数轴上的一个动点．①若点在点左侧，且点是点，的“2距点”，求此时点表示的数；②若点从点以每秒3个单位长度的速度沿轴正方向出发，当点，，中有一个点恰好是另外两个点的“2距点”时，请直接写出点的运动时间的值．【答案】(1)，，(2)(3)①或或②秒或秒或秒【分析】（1）设“2距点”所表示的数为，则有①当此点在的左侧时，，②当此点在与之间时，③当此点在的右侧时，解方程即可求解；（2），，所以，可判断是点，的“2距点”，依次进行判断即可求解；（3）设点表示的数为，①（ⅰ）点在点与点之间，当时，当时，（ⅱ）点在点的左侧，此时，列方程即可求解；②可得点表示的数是，（ⅰ）当时，（ⅱ）当时，（ⅲ）当时，即可求解．【详解】（1）解：设“2距点”所表示的数为，则有①当此点在的左侧时，，解得：；②当此点在与之间时，解得：；③当此点在的右侧时，解得：；故答案：，，．（2）解：由题意得，，所以，故是点，的“2距点”；，，所以，故不是点，的“2距点”；，，所以，故是点，的“2距点”；，，所以，故是点，的“2距点”；，，所以，故是点，的“2距点”；故答案：．（3）解：设点表示的数为，①（ⅰ）点在点与点之间，当时，解得：；当时，，解得：；（ⅱ）点在点的左侧，此时，解得：；故点表示的数为或或；②解：由题意得此时点表示的数是，（ⅰ）当时，解得：；（ⅱ）当时，，解得：；（ⅲ）当时，，解得：；故点的运动时间秒或秒或秒．【点睛】本题考查了“2距点”新定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解新定义，根据新定义列出方程是解题的关键．17．（23·24上·蓟州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下：（消费按月份结算，表示立方米）价目表每月用水量价格不超过元超出不超出的部分元超出的部分元(1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为和，则应收水费分别是________元和________元．(2)若该户居民3月份用水量为（其中），则应收水费多少元？（用含的式子表示，并化简）．(3)若该户居民4月份交水费元，求该户居民4月用水多少？【答案】(1)，(2)应收水费元(3)该户居民4月用水．【分析】本题考查列代数式，整式的加减的应用，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键．（1）月份用水，则按第一档缴费；月份用水，则按第二档缴费；（2）由于月份用水量(其中)，根据缴费的形式得到化简即可；（3）设月份用水，根据题意可得，列出一元一次方程，解方程即可求解．．【详解】（1）解：该用户月份用水，应交水费：元；该用户月份用水，应交水费：元；故答案为：，；（2）由依题意得：元答：应收水费元；（3）解：设月份用水，当时，由（2）可得应收水费解得：，不合题意，∴；解得：答：该户居民4月用水．18．（23·24上·全国·专题练习）如图，线段，点从点出发以每秒的速度在射线上向点方向运动；点从点出发，先向点方向运动，当与点重合后立即改变方向与点同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为秒．(1)若点点同时出发，且当点与点重合时，求的值．(2)若点点同时出发，在与相遇前，若点是线段的三等分点时，求的值．(3)若点点同时出发，点与点相遇后仍然继续往点的方向运动到点后再返回，求整个运动过程中为时的值．【答案】(1)5秒(2)3秒或秒(3)秒或7秒或9秒或21秒【分析】本题考查了一元一次方程的应用：（1）相遇时，根据路程相等列出方程即可求解；（2）分两种情况列方程求解即可：①当时，②当时；（3）分四种情况列方程求解即可：①相遇前，②相遇后未到达点前，③相遇后到达后返回未追上时，④相遇后到达后返回追上时；解题的关键是理清题意，运用分类讨论思想解决问题．【详解】（1）解：依题意得：，解得：（秒）．（2）①当时，即，（秒）；②当时，即，（秒），即当点是的三等分点时的值为3秒或秒．（3）①相遇前，即，（秒），②相遇后未到达点前，即（秒），③相遇后到达后返回未追上时，即，（秒），④相遇后到达后返回追上时，即，（秒），综上所述当时，秒或7秒或9秒或21秒．19．（23·24上·金华·阶段练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为－20(1)请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？(3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动．请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？【答案】(1)40(2)28(3)50秒或70秒【分析】（1）根据数轴和题意可以求得点M对应的数；（2）根据题意可以列出相应的方程，求出点C表示的数；（3）分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可．【详解】（1）设到点A和点B的距离相等的点M对应的数为m，，解得，；（2）由题意可得，，解得，，∴C点表示的是：，即C点表示的是28；（3）相遇前：（秒），相遇后：（秒）．故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用数形结合的思想解答．20．（23·24上·黄石·期中）已知数轴上的点和点之间的距离为16个单位长度，点在原点的左边，距离原点4个单位长度，点B在原点的右边．(1)点所对应的的数是______，点B对应的数是______

．(2)若已知在数轴上的点E从点出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，求当时，点E对应的数(3)若已知在数轴上的点M从点A出发向右运动，速度为每秒a个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2a个单位长度，设线段的中点为P（O为原点），在运动过程中，线段的值减去线段的值是否变化？若不变，求其值；若变化，说明理由【答案】(1)，(2)或(3)为定值，定值为【分析】（1）根据题意找出点和点对应的数即可．（2）设经过秒时，，分两种情况进行讨论．（3）设运动时间是秒，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：根据题意得点所对应的的数是，点B对应的数是，故答案为：，；（2）解：设经过秒时，，①相遇前，根据题意得，解得，故点E对应的数为，②相遇后，根据题意得，解得，故点E对应的数为，综上所述，点E对应的数为或；（3）解：设运动时间是秒，则，，则，则为定值，定值为．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题目的意思，根据题意找到等量关系列出等式是解题的关键．21．（23·24上·大连·期中）阅读材料：在数轴上，点M表示有理数为m，点N表示有理数为n，当时，点M，N之间的距离记作：；当时，点M，N之间的距离记作：，例如：，，则．根据以上知识解决下列问题：如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为，9．动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．(1)，点P表示的数为（用含t的式子表示）；(2)动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发．①若点P，Q两点到原点的距离相等，求t的值；②已知式子的值不随时间t的变化而变化，求出m，n满足的数量关系．【答案】(1)12，(2)①的值为1或3；②【分析】（1）根据给定的定义即可求得和点P即为P点到数轴原点的距离．（2）点P、Q两点到原点的距离相等，有点P、点Q位于原点两侧和点P、点Q位于原点同一侧两种情况，列出代数式即可求得时间；先求得和距离列出，因为值不随时间t的变化而变化，则令t的系数为零即可．【详解】（1）解：，点P即为P点到数轴原点的距离：，（2）①t秒时，点Q表示的数为，点P，点Q到原点的距离相等，当点P，点Q位于原点两侧时，互为相反数时，，解得．当点P，点Q位于原点同一侧重合时，，．的值为1或3．②秒时点M表示数为，，，，，，，．式子的值不随时间t的变化而变化，，．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．22．（23·24上·哈尔滨·期中）某糕点厂中秋节前要制作20吨月饼出售，若在市场上直接销售，每吨利润为10000元，经简装加工后销售，每吨利润可达35000元，经精包装工后销售，每吨利润涨至75000元该工厂的加工生产能力是：如果对月饼进行简装加工，每天可加工1.6吨，如果进行精包装加工，每天可加工0.6吨．但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，工厂必须在15天将这批月饼全部销售或加工完毕，为此工厂研制了三种可行方案：方案一：将月饼全部进行简装加工，方案二：尽可能多地对月饼进行精包装加工，没来得及进行加工的月饼，在市场上直接销售，方案三：将部分月饼进行精包装加工，其余月饼进行简装加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？【答案】方案三获利最多，理由见解析【分析】方案一、方案二利用有理数的混合运算计算即可得到获得的利润，对于方案三，设精包装加工吨，则简包装加工吨，根据题意得：，求出的值，再利用有理数的混合运算，进行计算即可得到所获利润，比较大小即可得到答案．【详解】解：根据题意得：方案一获利为：（元），方案二获利为：（元），设精包装加工吨，则简包装加工吨，根据题意得：，解得：，，方案三获利为：（元），，方案三获利最多．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，有理数的比较大小，理解题意，找准等量关系，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．23．（23·24上·厦门·期中）仔细观察下列有关联的三行数：第一行：，……；第二行：，……；第三行：，……．回答下列问题：(1)第一行数的第8个数是______；(2)第一行数的第个数是______，第二行数的第个数是______；(3)取每行的第个数，是否存在这样的的值，使得这三个数