1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) -A基础练（解析版）

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(2)-A基础练一、选择题1.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】D【解析】因为n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°.2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.52266 B.-52266C.5【答案】A【解析】AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),而cosAB,CD=AB·CD|AB||3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】取AB的中点D,连接CD,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,3,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,根据m·AB1=0,m·AC1=0,解得m=(3,-3,2),cos<m,AA1>=m·AA14．（2020·浙江省高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，直三棱柱的底面为锐角三角形，是棱的中点，设三棱柱是棱长为的正三棱柱，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，直线与直线所成的角为，，，直线与平面所成的角为，，平面的法向量，，，设平面的法向量，则，取，得，二面角的平面角为，由图可知，为锐角，即，，，由于在区间上单调递减，，则.故选：A.5．（多选题）（2020江西宜春二中高二月考）正三棱柱中，，则（）A．与底面的成角的正弦值为B．与底面的成角的正弦值为C．与侧面的成角的正弦值为D．与侧面的成角的正弦值为【答案】BC【解析】如图，取中点，中点，并连接，则，，三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系；设；则；，，，，1，，，，，，1，；，0，，．底面的其中一个法向量为：，与底面的成角的正弦值为，；错对．的中点的坐标为，，；侧面的其中一个法向量为：；与侧面的成角的正弦值为：，；故对错；故选：．6．（多选题）（2020·江苏镇江二中高二期末）如图，已知四棱锥中，平面，底面为矩形，，.若在直线上存在两个不同点，使得直线与平面所成角都为.则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】假设在直线BC上有一点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角为，此时，易得，在中，由于，可得.所以，在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角都为，等价于在直线BC上有两个点到点A的距离为，由此可得.故选：ABC二、填空题7．（2020全国高二课时练）在直三棱柱中,若，则异面直线与所成的角等于_________.【答案】【解析】三棱柱为直三棱柱,且以点为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系设，则,,,，，又异面直线所成的角在异面直线与所成的角等于．8.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=PB,则平面PAB与平面PCD的夹角为_________.【答案】【解析】如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴AD=(0,1,0).取PD的中点E,则E0,12,12,∴AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的一个法向量,9．（2020·浙江省绍兴市阳明中学高二期中）如图，在底面边长均为2，高为1的长方体中，E、F分别为、的中点，则异面直线、所成角的大小为_______；平面与平面所成锐二面角的余弦值为__________.【答案】；【解析】以D为原点建立如图所示空间之间坐标系：则，所以，设异面直线、所成角的大小为，所以，因为，所以.又，设平面的一个法向量为：，则，即，令，则，平面一个法向量为：，设平面与平面所成锐二面角为，所以.故答案为：①；②10．（2020河北正定三中学校高二月考（理））设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记.当为锐角时，的取值范围是__________．【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，由得，则，因为为锐角，所以，解得或，又因为动点在棱长为1的正方体的对角线上，所以的取值范围为.三、解答题11.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,-2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为AB=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sinθ=|cos<SC,AB>|=|SC·AB||SC||AB(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵SC=(2,2,-2),SD=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由SC·n=0,SD·n=0⇒x+y-z=0,x-2z=0,令z=12.（2020四川南充一中高二月考）如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,且∠BCD=π4,PD⊥(1)求证:PC=PD;(2)若底面ABCD是菱形,PA与平面ABCD所成的角为π6,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值【解析】(1)如图①,过P作PE⊥BC,垂足为E,连接DE.图①因为平面PBC⊥平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.因为PD⊥BC,所以BC⊥平面PDE,所以DE⊥BC.因为∠BCD=π4,所以DE=CE.在△PED和△PECPE=PE,∠PED=∠PEC=90°,DE=CE,所以△PED≌△PEC,所以PD=PC.(2)因为BC⊥平面PDE,PE⊥平面ABCD,所以∠PAE是直线PA与平面ABCD所成的角,即∠PAE=π6,且DE⊥BC,DE⊥设PE=a,则AE=3a,PA=2a.在△DEC中,设DE=m,则EC=m,DC=2m,所以在Rt△EDA中,(3a)2=m2+(2m)2,所以m=a.以E为坐标原点,ED,EB,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图②所示的空间直角坐标系,图②则D(a,0,0),A(a,