第十二章全等三角形中的动点问题与轴对称复习讲义人教版数学八年级上册

全等三角形中的动点问题与轴对称（最短路径）垂直平分线线段垂直平分线的概念：垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等．线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（1）“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：证明两条线段相等；（2）“到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”的作用是：判定一点在线段的垂直平分线上；（3）“如果到一条线段的两个端点的距离相等，那么，这两点所在直线是该线段的垂直平分线”的作用是：垂直平分线的判定．（4）看到垂直平分线，常用的辅助线作法是连接垂直平分线上的点与线段端点，得到等腰三角形．例1．如图，在△ABC中，AB=AC=18cm，BC=10cm，AD=2BD.（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？1．一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x﹣2y，x+2y，若这两个三角形全等，则x+y的值是．2．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动.（1）试证明：AD∥BC.（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DBG与△BFG全等.3．如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC=cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．例2．如图，△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，（1）若∠BAE＝30°，求∠C的度数；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．1.如图，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB=12cm，BC=10cm,∠A=50º，求△BCE的周长=；∠EBC=．2．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE，BE的长．3．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②CM平分∠ACE．例3．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AD平分∠BAC，且DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，求证：AD垂直平分EF．例4．如图，已知△ABC，作∠BAC的角平分线交于BC于点D（要求尺规作图，不写作法）．例5．已知△ABC中，AB=AC.（1）作AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D.（用尺规作图，保留作图痕迹）（2）连接BD，若∠A=40°，求∠BDC的度数.例6．尺规作图：画一个角等于已知角（如图），要求两角不共顶点．例7．已知：如图所示，A、B两村庄在一条小河的同一侧，要在河边建一自来水厂向A、B两村庄供水．（1）若要使厂址到A、B两村的距离相等，厂址应设在哪个位置？（2）若要使厂址到A、B两村的水管最省料，厂址应设在哪个位置？ABAB··AB··1．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．（1）如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．（2）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小；2．某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．3．如图，A、B两村和一条小河，要在河上建一座小桥连接两村，若要使两村之间铺路用料最省，小桥应选在哪个位置？请将上述情况下的小桥位置标出，并保留作图痕迹．例8．如图，在中，，边上的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，若的周长是11，则直线DE上任意一点到A，C距离的和最小为()A.7 B.10 D.281．如图，等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD＝6，则EP+CP的最小值为．2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一个动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．123．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为cm时，线段CQ+PQ的和为最小．4．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是