平面向量的数量积讲义 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量的数量积【知识梳理】一、两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.二、向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.三、投影向量在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.四、平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.五、平面向量数量积的运算律1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)【学习目标】理解实向量的数量积的物理意义，能够计算两个向量的数量积掌握向量数量积的运算律与常用公式数形结合解决向量综合问题

【例题分析】例1.（1）若与是相反向量，且=3，则等于（）A．9 B．0 C．-3 D．-9（2）已知向量、满足，与的夹角为，则（）A． B． C． D．巩固.若的夹角为，则___________.例2.已知向量与的夹角为120°，||＝2，||＝3，求：（1）(＋)·(－)；（2）|－|．巩固.若平面向量，满足，，，则___________．已知向量与满足，，与的夹角大小为60°，则______．已知向量，满足，，，则与的夹角为__________.例3.已知，且，则向量在向量上的投影向量的模等于________．巩固.已知向量，，若，则向量在方向上的投影为______.例4.已知为边长为2的正方形的边DC上任一点，则的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．10巩固.设圆C半径为r，若A，B两点都是⊙C上的动点，求的最大值．【课时训练】一、单选题1．下面给出的关系式中正确的个数是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．42．若，则的值不可能是（）A．0 B． C．2 D．33．若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（）A． B． C． D．4．已知均为单位向量，，则与的夹角为（）A． B． C． D．5．已知，则（）A．1 B． C．2 D．或26．已知，的夹角为，则以为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）A．15 B． C．14 D．167．若向量，满足且，则（）A．4 B．3 C．2 D．08．已知，如果，那么的值为（）A． B． C． D．9．若向量满足：则（）A．2 B． C．1 D．10．在同一平面内，线段为圆的直径，动点满足，则点与圆的位置关系是（）A．点在圆外部 B．点在圆上 C．点在圆内部 D．不确定11．在边长为1的等边三角形中，设，则（）A． B．0 C． D．3二、填空题12．已知两个单位向量的夹角为，若向量，则_____________.13．已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_____________.14．已知为一个单位向量，与的夹角是.若在上的投影向量为，则_____________.15．已知，且，则与的夹角的取值范围是__________.16．已知，，则与的夹角为.17．已知向量与的夹角为，且