数列求和及综合应用

第四节数列求和及综合应用·最新考纲·1．掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决与前n项和相关的问题．·考向预测·考情分析：数列分组求和、错位相减求和、裂项相消求和仍是高考考查的热点，题型仍将是以解答题为主．学科素养：通过非等差、等比数列求和问题考查逻辑推理、数学运算的核心素养．必备知识—基础落实

2．裂项相消法求和把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法．3．错位相减法求和(1)适用的数列：{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q≠1的等比数列．(2)方法：设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(*)，则qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(**)，(*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和．4．倒序相加法求和如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项之和，可把正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，例如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．5．分组求和法求和若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化求和法，分别求和而后相加减．例如已知an＝2n＋(2n－1)，求Sn.6．并项求和法求和把数列中的若干项结合到一起，形成一个新的可求和的数列，此时，数列中的项可能正、负相间出现或呈现周期性．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两个项合并求解．例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.

答案：B

2．[必修5·P61T4(1)改编]若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为_____________．2n＋1－2＋n2

关键能力—考点突破考点一分组转化法或并项法求和[例1]

(1)[2022·湖北大冶六中月考]已知数列{an}的前n项和为Sn＝1－4＋7－10＋…＋(－1)n－1(3n－2)，则S21＝(

)A．30

B．31C．－30

D．－31答案：(1)B解析：(1)因为数列{an}的前n项和为Sn＝1－4＋7－10＋…＋(－1)n－1(3n－2)，所以S21＝1－4＋7－10＋…－58＋61＝1＋10×(－4＋7)＝31.

答案：C

(2)求(a1＋b1)＋(a3＋b3)＋(a5＋b5)＋…＋(a2n－1＋b2n－1)．

考点二错位相减法求和[综合性][例2]

[2022·湖南省永州市测试]已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，a1＝2，a2＝4，(1)求数列{an}的通项公式；解析：(1)∵Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＝2(Sn－Sn－1)(n≥2)，∴an＋1＝2an(n≥2)，又a2＝4＝2a1，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)求数列{(2n－1)·an}的前n项和Tn.

反思感悟1．掌握解题“3步骤”2．注意解题“3关键”(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．3．谨防解题“2失误”(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和.【对点训练】[2022·河南高三月考]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＋2＝0.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(2)由(1)知an＝2－2n－1，可得bn＝nan＝2n－n·2n－1，则

Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2×1＋2×2＋2×3＋…＋2n)－(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1)＝n(n＋1)－(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1)．令t＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，则2t＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，所以－t＝1×20＋1×21＋1×22＋…＋1×2n－1－n×2n，所以t＝1－2n＋