15.3第1课时分式方程及其解法课件人教版数学八年级上册

15.3分式方程第1课时分式方程及其解法第十五章分式此方程的分母中含有未知数v，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.新课讲解1

分式方程的概念

观察前面所列方程：

下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．整式方程整式方程整式方程分式方程分式方程分式方程新课讲解你能试着解这个分式方程吗？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？（4）这样做的依据是什么？解分式方程最关键的是去分母.（1）如何把它转化为整式方程呢？2分式方程的解法新课讲解新课讲解方程各分母的最简公分母是：（30+x）(30-x)解：方程两边同乘（30+x)(30-x)，得检验：将x=6代入原分式方程中，左边==右边，因此x=6是原分式方程的解.90（30-x)=60(30+x)，解得x=6.x=6是原分式方程的解吗？方法归纳★解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.新课讲解下面我们再讨论一个分式方程：解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得x+5=10，解得x=5.x=5是原分式方程的解吗？

检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解，实际上，这个分式方程无解.新课讲解想一想：上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？新课讲解真相揭秘：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.

我们再来观察去分母的过程:90(30-x)=60(30+x)两边同乘(30+x)(30-x)当x=6时,(30+x)(30-x)≠0新课讲解真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.x+5=10两边同乘(x+5)(x-5)当x=5时,(x+5)(x-5)=0新课讲解解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．★分式方程解的检验——必不可少的步骤检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.知识要点1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。4.写出原方程的根.简记为：“一化、二解、三检验”.“去分母法”解分式方程的步骤：新课讲解

解方程解：方程两边乘x(x-3),得2x=3x-9.解得x=9.检验：当x=9时，x(x-3)≠0.所以，原分式方程的解为x=9.例1新课讲解

解方程解：方程两边乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.例2新课讲解★解分式方程的一般步骤：分式方程整式方程去分母解整式方程x=a

检验x=a是分式方程的解

x=a不是分式方程的解

x=a最简公分母是否为零？否是关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是____________．【解析】去分母，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.∵关于x的方程的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.a＜－1且a≠－2例3新课讲解新课讲解若关于x的分式方程无解，求m的值．解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；②方程有增根，则x＝2或x＝－2，当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，∴m的值是1，－4或6.例41.下列式子中，属于分式方程的是

，属于整式方程的是

（填序号）．（2）（1）巩固练习（3）探究新知总结：这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．你能试着解分式方程吗？解分式方程知识点2问题1：这些解法有什么共同特点？问题2：探究新知（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？想一想探究新知（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．（2）利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．归纳总结例

解分式方程即解得则得到，方程两边同乘各分母的最简公分母探究新知你得到的解是分式方程

的解吗？检验：把v=6代入分式方程得：左边=

右边=左边=右边，所以v=6是原方程的解.探究新知追问：解分式方程：

是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．探究新知问题3：你得到的解是分式方程的解吗？该如何验证呢？追问1：上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程的解是分式方程的解，而整式方程x＋5=10的解

却不是分式方程的解？探究新知追问2：原因：

在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．探究新知显然，第2种方法比较简便！回顾解分式方程与的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？

探究新知问题4：基本思路：将分式方程化为整式方程.一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．2.指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程.①②解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x；

②最简公分母x2–1，去分母得2(x+1)=4；巩固练习例1

解下列方程：解分式方程解：方程的两边同乘以x(x–2)，得2x=3x–6解得：x=6检验：当x=6时，x（x–2）≠0.所以，原方程的解是x=6.探究新知素养考点1巩固练习3.解下列方程：解：方程的两边同乘以2x(x+3)，得(x+3)=4x解得：x=1检验：当x=1时，2x（x+3）≠0.所以，原方程的解是x=1.素养考点2例2解方程解：方程两边同乘

得

=3.

化简，得

=3.

解得

=1.检验：当

=1时，

=0，

因此x

=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.解含有整式项的分式方程探究新知解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.4.写出原方程的解.解分式方程的思路：分式方程整式方程去分母一化二解三检验探究新知探究新知解分式方程的一般步骤：归纳总结分式方程整式方程x=ax=a是分式方程的解x=a不是分式方程的解最简公分母不为0最简公分母为0去分母解整式方程检验4.解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（）A.2(x–8)+5x=16(x–7)B.2(x–8)+5x=8C.2(x–8)–5x=16(x–7)D.2(x–8)–5x=8解析：原方程可以变形为，两边都乘以2（x–7）得2(x–8)+5x=8×2(x–7),即2(x–8)+5x=16(x–7).A巩固练习易错易混点拨：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．(2)约去分母后，分子是多项式时，没有添括号．(因分数线有括号的作用）(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉.探究新知方法点拨

B基础巩固题课堂检测

D课堂检测基础巩固题能力提升题

已知关于x的方程

有增根，求该方程的增根和k的值.解：去分母，得3x+3–（x–1）=x2+kx，

整理，得x2+（k–2）x–4=0.因为有增根，所以增根为x=0或x=1.当x=0时，代入方程得–4=0，所以x=0不是方程的增根；当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,方程有增根x=1.课堂检测拓广探索题解方程:课堂检测解：方程可化为：课堂检测得解得x=–3，经检验：x=–3是原方程的根.课堂小结解分式方程整式方程x=ax=a是分式方程的解x=a不是分式方程的解最简公分母不为0最简公分母为0去分母解整式方程检验分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.1.解分式方程的一般步骤.

(1)

在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.

(2)解这个整式方程.

(3)

把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.

(4)写出原方程的根.利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗？导入新知

甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？

请审题分析题意设元列分式方程解应用题的步骤探究新知知识点1解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x–6）个零件，依题意得：经检验,x=18是原分式方程的解,且符合题意.答：甲每小时做18个，乙每小时做12个.由x＝18,得x–6=12解得探究新知探究新知列分式方程解应用题的一般步骤：1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位统一.3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.4.解:解这个分式方程.5.验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符

合实际意义.6.答:注意单位和语言完整.归纳总结素养考点1例1两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快?分析:甲队1个月完成总工程的

,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的

,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______.利用分式方程解答工程问题探究新知解:设乙队如果单独施工1个月完成总工程的.依题意得方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x，解得x=1.检验:x=1时，6x≠0,x=1是原分式方程的解.探究新知答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,而甲队1个月完成总工程的

,可知乙队施工速度快.巩固练习1.为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？巩固练习解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工x件产品，依题意得，解得：x=40.经检验x=40是原方程的解，所以x=60.答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.skm所用的时间为h；提速后列车的平均速度为km/h，提速后列车运行km，所用时间为h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程:例2某列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？xx+vs+50=s解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，则提速前列车行驶（s+50）x+vs+50利用分式方程解答行程问题探究新知素养考点2（x+v）去分母得：s(x+v)=x(s+50)去括号，得sx+sv=sx+50x.移项、合并同类项，得50x=xv.解得检验：由于v，s都是正数，时，x（x+v）≠0，是原分式方程的解.答：提速前列车的平均速度为km/h.探究新知巩固练习解：设学生骑车的速度是xkm/h，由题意得，方程两边同乘2x，得2s–s=2tx.解得

x=．检验：由于s，t都是正数，x=时，2x≠0，所以，x=

是原分式方程的解，且符合题意.答：学生骑车的速度是km/h．素养考点3例3关于x的方程无解,求k的值.利用分式方程的根求字母的值或取值范围探究新知解：方程的两边同时乘(x+3)(x–3)得x+3+kx–3k=k+3整理得:(k+1)x=4k,因为方程无解,则x=3或x=–3当x=3时,(k+1)·3=4k,k=3,当x=–3时,(k+1)(–3)=4k,所以当k=3或

时,原分式方程无解.巩固练习3.如果关于x的方程无解,则m的值等于（）A.–3B.–2C.–1D.3B解析:方程的两边都乘x–3,得2=x–3–m,移项并合并同类项得,x=5+m，由于方程无解,此时x=3,即5+m=3,

∴m=–2.巩固练习连接中考

A1.下列方程中属于分式方程的有（）;属于一元分式方程的有（）.

①②③④x2+2x–1=0①①基础巩固题课堂检测③2.解方程：