九年级数学配套课件：一元二次方程根与系数的关系

第二十一章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练

学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）

新课导入1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac<0时,方程无实数根.思考：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？复习回顾

解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两根关系x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x-2=0-4123-2x1+x2=-3x1·

x2=-4x1+x2=5x1·

x2=6

新知探究x1·

x2=-1猜一猜

（2）通过上表猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？

新知探究x1x2=

（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？结论：如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.把方程(x-x1)(x-x2)=0，化成一般形式，得到x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，由x2+px+q=0得x1+x2=-p,x1·x2=q.

新知探究证一证

新知探究一般的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)中，二次项系数a未必是1，前面我们猜想的它的两根的和、积与系数的关系成立吗？如何证明呢？根据求根公式：

新知探究

新知探究

新知探究如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系x1x2=一元二次方程的根与系数的关系是法国数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理.

新知探究在使用根与系数的关系时，注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用时，,注意“－”不要漏写；(3)满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.另外几种常见的变形求值:

新知探究一元二次方程的根与系数的关系的应用例1

利用根与系数的关系，求下列方程的两根x1

，x2的和与积.（1）x2+7x+6=0;解：x1+x2=-7,

x1x2=6.

新知探究（2）2x2-3x-2=0.解：

x1+x2=1.5,x1x2=-1.例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2

.所以：x1·x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=－7.答：方程的另一个根是，k=－7.

新知探究例3不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根x1

，x2的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知：

新知探究根与系数的关系内容如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么应用

课堂小结x1x2=

课堂训练

1.设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2=

,(2)x1·x2=

,(3)

,

(4)

.411412

课堂训练2.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m

=____.-33.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和

1，则：p=

,

q=

.1-24.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中：

3

-19

+m=0.

解得m=16,设另一个根为x1,则：

1×

x1=

解得：x1=

课堂训练5.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；

（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系

所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=

解得：k=-7；

（2）因为k=-7,所以则：

课堂训练6.设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0

即-8k+4≥0.由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2