任意角的三角函数

数学必修4第一章三角函数任意角的三角函数重庆市奉节中学唐丽

东升西落照苍穹，影短影长角不同．昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣．

导入日出日落，寒来暑往，自然界中存在许多“按一定规律周而复始”的现象，称之为“周期现象”。我们曾学习过用“指数函数”模型刻画人口增长问题、储蓄中复利计算问题，用“对数函数”模型刻画地震的震级变化、溶液酸碱度的pH值变化.

从这节课开始，我们来学习刻画这种周期现象的数学模型之一三角函数

摩天轮的中心离地面的高度为h0，它的半径为r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点Ａ出发（如图所示）AOp

情境——选择数学模型h0

过了20秒，此时你能用r和h0写出你离地面高度h的表达式吗?20°M

h＝h０＋r∙sin20°AOph0M人距离地面的高度h＝h0+MP，其中h0是不变量，

MP表示点P到水平位置OA的距离．是变量，可以通过点P旋转的角度∠POA的大小，再结合初中锐角三角函数来计算20°AOph0M一般的，过了t秒呢？h＝h０＋r∙sin50°h＝h０＋r∙sin70°过了50秒过了70秒猜想：h＝h０＋r∙sint°对任意角α，sinα没有定义？再计算几个

过了300秒h＝h０＋r∙sin300°AOMPAOMPAOMPAOMPh＝h０＋MPh＝h０＋MPh＝h０－MPh＝h０－MP人距离地面的高度用模型：h＝h0±MP与猜想:h＝h０＋r∙sint°比较

r∙sint°＝±MP

即sint°＝±pppp小结：点P在圆周上旋转运动，引起∠POA的变化，对任一个确定的∠POA，对应着唯一点P，进而有唯一的MP，得到，

问题：何时取正值，何时取负值？根据这些特点，用怎样的一个量来代替MP或－MP，可以使上面的表述更简洁？引入直角坐标系，用点P的纵坐标y来替代MP或－MP.OMMMMxy

定义——建构三角函数模型任意角的正弦一种定义方法把角“放在”直角坐标系内，以原点为圆心，半径为r作圆，与的终边上相交于点P，得点P的坐标(x，y)，规定：能这样定义吗？这可是我们自己规定的!

xyO

P(x,y)问题2：圆的半径ｒ大小有限制吗？结论：不矛盾，而且坐标法的引入摆脱了锐角的束缚。结论：没有限制，根据相似三角形的知识，对于确定的角α

，这个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变，是唯一确定的．问题1：当α是锐角时，此规定与初中定义矛盾吗？规定合理性？

设角是一个任意角，角的终边与半径为r的圆相交于一点,点p与原点的距离任意角的三角函数：探究新知：P(x,y)Oyx那么①叫做的正弦，即：

②

叫做的余弦，即：③

叫做的正切，即：M当半径r取多少时，会使得比值更加简洁？设

是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：

（1）y叫做

的正弦，记作sin

，即

sin

＝y

（2）x叫做

的余弦，记作cos

，即

cos

＝x（3）叫做

的正切，记作tan

，即tan

＝（x≠0）

任意角的三角函数的定义P(x,y)OA(1,0)xy任意角的三角函数可以用单位圆上点的坐标来表示。

所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们称为三角函数.

解：xyBAO例1求

的正弦、余弦和正切值.实例剖析：所以MP(x,y)点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。0合作探究：填表010-1010-101例2.已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.＼

于是，解:由已知可得实例剖析：点评：若已知角α的终边上一点的坐标，则可直接利用定义求三角函数值。变式：于是xyoy=2x已知角的终边在射线上，求角的正弦、余弦和正切值.解:在角的终边上取一点则

这节课你的收获有哪些？1.任意角的三角函数的定义课堂小结：2.体现的数学思想：一般

特殊数形结合的思想类比的思想必做题：

选作题：感谢各