《求解二元一次方程组(加减法)》教案-(公开课)2022年

5.2求解二元一次方程组〔二〕加减法●教学目标(一)教学知识点1．用加减消元法解二元一次方程组．2．进一步了解解二元一次方程组时的“消元〞思想，“化未知为〞化归思路．(二)能力训练要求1．会用加减消元法解二元一次方程组．2．根据不同方程的特点，进一步体会解二元一次方程组的根本思路——消元．(三)情感与价值观要求1．进一步体会解二元一次方程组的消元思想，在化“未知为〞的过程中，体验学习的快乐．2．根据方程组的特点，培养学生学习教学的创新、开拓的意识．●教学重点1．掌握加减消元法解二元一次方程组的原理及一般步骤．2．能熟练地运用加减消元法解二元一次方程组．●教学难点1．解二元一次方程组的根本思路消元即化“二元〞为“一元〞的思想．2．数学研究的“化未知为〞的化归思想．●教学方法启发——比较——自主探索相结合．由一个引例启发学生除可以利用代入消元法可以消去一个未知数，获得问题的解答．通过观察比较可以发现如果某个未知数的系数相反或相同，这时我们就可以依据等式的性质将方程两边相加或相减，从而消去一个未知数，从而更进一步引导学生自主探索解二元一次方程组的加减消元法直至熟练掌握．●教具准备投影片一张：问题串(记作§5.2.2A)．●教学过程Ⅰ．提出疑问，创设问题情景，引入新课［师］怎样解下面的二元一次方程组呢？［生1］解：把②变形，得x=③把③代入①，得3×+5y=21，解得y=－3．把y=3代入②，得x=2．所以方程组的解为［生2］解：由②得5y=2x+11③把5y当做整体将③代入①，得3x+(2x+11)=21解得x=2把x=2代入③，得5y=2×2+11y=3所以原方程的解为［师］我们可以发现第二种解法比第一种解法简单．有没有更好的解法呢？也就是说，我们上一节课学习了用代入的方法可以消元，从而使“二元〞变为“一元〞．那么有没有别的消元方法也可以使“二元〞变为“一元〞．［生］我发现了方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据互为相反数的和为零，如果能将方程①和②的左右两边相加，根据等式的性质我们可以得到一个含有x的等式，即一元一次方程，而5y+(－5y)=0消去了y．［师］很好．这正是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法．Ⅱ．讲授新课［师］下面我们就用刚刚这位同学的方法解上面的二元一次方程组．解：由①+②，得(3x+5y)+(2x－5y)=21+(－11)，即3x+2x=10，x=2，把x=2代入②中，得y=3．所以原方程组的解为［师生共析］一个方程组我们用了三种方法，从中可以发现，恰当地选择解法可以起到事半功倍的效果．回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？哪些题我们用加减消元法简单？我们分组讨论，并派一个代表阐述自己的意见．［生］我们组认为课本P113的随堂练习的(3)(4)小题用加减消元法简单．［师］你们组能派两位同学有加减消元法把这两个方程组解一下吗？［生］可以．(学生黑板板演，接着听其他组讨论的结果)［生］我们组认为习题5.2第1题中(2)也可以用加减消元法，我可以到黑板上做．［生］老师，习题5.2第1题中(4)把方程组变形后，得也可以用加减消元法．我在黑板上做．［师］下面，我们讲评一下刚刚这几位同学解方程组的方程．(1)(2)这两个方程组中，y的系数都是互为相反数，因此这两位同学都用了用方程组中的两个方程相加，从而把y消去，将二元转化为一元，最后解出了方程的解，很好．(3)我们观察此方程y的系数都是1，因此这位同学想到了用②－①，得x=3，代入①就解出y=2．这位同学将方程组整理，得由②－③得8n=－16，n=－2，把n=－2代入②便得m=5．这几位同学的解法很好，同学们已经发现了方程组中如果一个未知数的系数相反或相同，我们就可以用加减消元法来解方程组．［生］老师，我有一个问题：习题5.2的(3)小题，用代入消元法解，较麻烦．用加减消元法解，x、y的系数不相同也不相反，没有方法用加减消元法．是不是还有别的方法．［师］这个同学提的问题太好了．能发现问题是我们学习很重要的一个方面，同学们应该向他学习．接下来，同学们分组讨论，方程组不用代入消元法如何解？［生］老师，我们组想出了一个方法，能不能用等式的性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等(或相反)呢？［生］可以．我只要在方程①和方程②的两边分别除以3和4，x的系数不就变成“1〞了吗？这样就可以用加减消元法了．［生］我不同意．这样做，y的系数和常数项都变成了分数，比代入消元法还麻烦．我觉得应该找到y的系数－2的绝对值和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得9x－6y=－12③，在方程②两边同乘以2，得8x+6y=－22④，然后③+④，就可以将y消去，得17x=－34，x=－2．把x=－2代入①得，y=－1．所以方程组的解为［师］同学们为他鼓掌，他的想法太精彩了，我们祝贺他．其实在我们学习数学的过程中，不一定二元一次方程组中未知数的系数刚好是1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反．我们遇到的往往就是像习题5．2．1．(3)题这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，到达消元的目的．下面我们看一个例子．解方程组分析：未知数的系数没有绝对值是1的，也没有哪一个未知数的系数相同或相反．我们观察可以发现，x的系数绝对值较小，因此我们找到2和3的最小公倍数6，然后①×3，②×2，便可将①②的x的系数化为相同．解：①×3得6x+9y=36③②×2，得6x+8y=34④③－④，得y=2．将y=2代入①，得x=3．所以原方程组的解是［师］我们根据上面几个方程组的解法，接下来讨论下面两个问题：出示投影片(§5．2．2A)(1)加减消元法解二元一次方程组的根本思路是什么？(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？(由学生分组讨论、总结)［师生共析］(1)用加减消元法解二元一次方程组的根本思路仍然是“消元〞．(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤．第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边分别相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数的绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)．通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑．Ⅲ．随堂练习课本用加减消元法解以下方程组：1．解：①+②，得16x=－16x=－1把x=－1代入①，得y=－5所以原方程的解为②－①，得6y=－18y=－3把y=－3代入①，得x=－2所以原方程组的解为①－②×2得5t=15t=3把t=3代入②，得s=－1所以原方程组的解为①×2－②×3，得－11x=33x=－3把x=－3代入①得y=－4所以原方程组的解为注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，不必强调解答过程统一．Ⅳ．课时小结关于二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法我们全部学完了．比较这两种解法我们会发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元〞为“一元〞．Ⅴ．课后作业1．课本习题5.32．阅读读一读·你知道计算机是如何解方程组吗．Ⅵ．活动与探究解三元一次方程组：过程：解二元一次方程组的实质是消元，即通过消去一个未知数，由“二元〞变为“一元〞，于是我们联想，能否借助解二元一次方程组消元的思路，将三元一次方程组消元，由“三元〞消为“二元〞，不就是我们刚学过的二元一次方程组吗．我们观察这个方程组②中不含未知数z，如果能利用①和②消去z，不就又得到一个和②一样只含x，y的二元一次方程④，将②和④联立成二元一次方程组．也就将三元一次方程组消元，由“三元〞变为“二元〞．结果：解：由①－③得－x+2y=8④联立②、④得由②+④得y=9把y=9代入②，得x=10把x=10、y=9代入①得z=7所以三元一次方程组的解为：●板书设计求解二元一次方程组(二)一、学生板演解法一：代入消元法解法二：(加减消元法)解法三：(整体代入法)二、加减消元法的思路和步骤三、例题(用加减消元法求解)四、课时小结●备课资料一、参考例题［例1］解方程组：分析：这个方程组比较复杂，应先化简，然后再观察系数的特点，利用加减消元法或代入消元法求解．解：化简方程组，得③×2+④×3，得19x=38x=2把x=2代入③，得y=2所以原方程组的解为评注：当方程组比较复杂时，应通过去分母，去括号，移项，合并同类项等，使之化为的形式(同类项对齐)，为消元创造条件．［例2］解方程组分析：可以仿例1将方程化简，也可根据方程组的特点考虑把(x+y)、(x－y)看成一个整体，这样会给计算带来方便．解法一：原方程化简为：②×3－④，得32y=－64，y=－2把y=－2代入④，得x=5所以原方程组的解为解法二：把(x+y)、(x－y)看成整体①－②×3得x+y=3③把③代入②，得2(x－y)－5×3=－1即x－y=7④由③、④联立方程组，得解得评注：在解法二中突出了方程的特点，表达了数学中的“整体〞思想．［例3］方程组的解适合x+y=8，求a的值．分析一：把方程组成的解用含a的代数式表示出来，再代入x+y=8，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a．分析二；将方程2x+3y=a代入3x+5y=a+2，即用2x+3y代替方程3x+5y=a+2中的a，可得到3x+5y=2x+3y+2，整理得x+2y=2，将新得到的方程与x+y=8组成方程组解方程组即可求出x、y的值，然后把x、y的值代入2x+3y=a，便可求出a的值．解法一：①×2，得6x+10y=2a+4②×3，得6x+9y=3a③－④，得y=4－a，把y=4－a代入②，得2x+3(4－a)=a解得x=2a－所以代入x+y=8，得(2a+6)+(4－a解得a=10解法二：把②代入①，得3x+5y=2x+3y+2，整理，得x+2y=2③把方程③与x+y=8组成方程组，③－④，得y=－6把y=－6代入④，得x=14所以把代入②中a=2×14+3×(－6)=10所以a=10评注：顺利解决此题的关键是理解二元一次方程组的解和二元一次方程的解的概念；二是灵活运用加减法或代入法解二元一次方程组．二、参考练习1．填空题(1)3ay+4b3x－1与－3a2x－2b1－2y是同类项，那么x=_________，y=_________(2)假设(5x+2y－12)2+｜3x+2y－6｜=0，那么2x+4y=_________．(3)假设3x3m+5n+9+9y4m－2n+3=5是二元一次方程，那么=_________(4)在代数式mx+n中，当x=3时，它的值是4，当x=4时，它的值是7，那么m=_________，n=_________．答案：(1)2－2(2)0(3)1(4)3－52．选择题(1)用加减消元法解方程组时，有以下四种结果，其中正确变形是()① ②③ ④A．只有①和②B．只有③和④C．只有①和③D．只有②和④(2)那么x－y的值是()A．1B．0C．－1D．不能确定(3)方程组的解x和y的值相等，那么k的值等于()A．9B．10C．11D．12答案：(1)B(2)A(3)C3．用加减消元法解方程组：(1)(2)(3)x+2y=(4)答案：(1)(2)(3)(4)平行四边形的性质总体说明〔1〕本节的主要内容包含平行四边形的性质。教学中可以通过让学生举实际生活中的例子，以加深学生对平行四边形的认识。〔2〕教学中应引导学生通过操作与探索，发现平行四边形是中心对称图形，在此根底上认识平行四边形的性质。〔3〕探索平行四边形的性质，熟练的运用平行四边形的性质解决问题。第一课时重点：平行四边形的概念和性质难点：探索平行四边形的性质解决过程环节1：学生举生活中平行四边形的实例；回忆概念“两组对边分别平行的四边形，叫平行四边形〞并据此性质从图16.1.1中找出平行四边形。环节2：【探究】学生操作探索：如图16.1.2，在方格纸上画一个平行四边形。如图16.1.2，用剪刀把ABCD从方格纸上剪下，再在一张纸上沿ABCD的边沿，画出一个四边形，记为EFGH。在ABCD中连接AC、BD，它们的交点记为O。用一枚图钉在O点穿过，将ABCD绕点O旋转180度。观察旋转后的180度和纸上所画的EFGH是否重合。根据观察结果，运用上一章所学的知识，你能探索出ABCD中存在哪些相等的边与相等的角？ 让学生用数学语言描述观察和探索的结果，再试用文字总结，得“平行四边形的对边相等，对角相等〞。【注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．〔教学时要结合图形，让学生认识清楚〕】【〔相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和七年级学的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．〕】环节3：理解和稳固：例1如图16.1.4，在ABCD中，∠A=40度，求其他各个内角的度数。例2如图16.1.5，在ABCD中，AB=8，周长为24，求其余三条边的长环节4、〔随堂练习〕1．填空：〔1〕在ABCD中，∠A=，那么∠B=度，∠C=度，∠D=度．〔2〕ABCD中，∠A—∠B=240°，那么∠A=，∠B=，∠C=，∠D=．〔3〕如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB=cm，BC=cm，CD=cm，CD=cm．〔4〕在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有．第2课时重点、难点重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算二解决过程环节11．复习提问：〔1〕什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：〔2〕平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质〔内角和是〕．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边分别平行且相等．环节2【探究】：在像上节课有图16.1.3那样的旋转过程中，让学生探究OA与OC、OB与OD的关系〔1〕平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；〔2〕平行四边形的对角线互相平分注意：教学时要讲明线段互相平分的意义和表示方法．如图，设平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，假设AC与BD互相平分，那么有OA＝OC，OB＝OD．环节3：理解和稳固：例3如图16.1.6，在ABCD中，对角线AC和BD相交与点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？环节4、〔随堂练习〕1、如图，ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC=8，OB=6，那么OA=，OC=OD=BD=2、在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC＋BD=24,且AC=3BD,那么OA=OB=3、在平行四边形ABCD中，周长等于48，一边长12，求各边的长AB=2BC，求各边的长对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长第3课时：平行线间距离处处相等的性质一、重点：平行线间距离处处相等的性质难点：平行四边形性质与平行线间距离处处相等性质的应用二、解决过程环节1：学生回忆：平行四边形的性质环节2：平行四边形性质的应用：例1平行四边形的一个内角比它的邻角大42度，求四个内角的度数。例2如图，在ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足。如果∠B=42°,那么∠D与∠DAE分别等于多少度？例3如右上图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，两条对角线的和为36厘米，CD的长为5厘米，求三角形OCD的周长。环节3：学生实践操作：在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取假设干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间的垂线段的长度。学生探索：你发现什么结论？在其中一条直线上再取一点，验证一下。教师给出概念“两条平行线之间的距离〞学生试总结平行线的性质：平行线之间的距离处处相等。环节4：学生稳固：n例4如图，如果直线m∥n,那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的。你能说出理由吗？你还能在两条平行线m、n之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗？n第4课时：平行四边形的综合练习一、重点：平行四边形的性质的综合应用难点：开展学生进一步的推理能力和解决问题的能力二、解决过程环节1：学生回忆：平行四边形性质。题组一：〔复习〕在ABCD中，