随机事件及其概率

概率论与数理统计

随机事件及其概率

教学参考课件1.第一章随机事件及其概率本章教学目的与要求了解：概率论研究的对象及实际意义；随机试验与随机事件的根本定义及特征；样本空间、样本点的关系及特点。理解：频率、概率的含义和根本性质，及二者区别与联系；等可能概率模型的特点及判定方法；条件概率、事件独立性的定义；掌握：随机事件之间的关系及运算法那么；概率古典型定义及根本性质，会使用概率的加法公式及乘法公式计算根本的等可能概率问题；全概率公式、贝叶斯(逆概率)公式及其应用。2.第一章随机事件及其概率第二节样本空间、随机事件第三节频率与概率第六节独立性第四节等可能概型(古典概型)第五节条件概率第一节随机事件本章内容目录3.

随机现象

小结

概率论的诞生及应用

随机试验第一节随机事件4.1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌假设干局,且谁先赢c局便算赢家,假设在一赌徒胜a局(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本〞为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个根本概念数学期望.一、概率论的诞生及应用1.概率论的诞生5.2.概率论的应用概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎普及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等.6.在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起〞,1.确定性现象

“同性电荷必然互斥〞,“水从高处流向低处〞,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象二、随机现象

7.在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1

在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.2.随机现象“函数在间断点处不存在导数〞等.结果有可能出现正面也可能出现反面.确定性现象的特征

条件完全决定结果8.结果有可能为:1,2,3,4,5或6.

实例3

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.

实例2

用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况.结果:弹落点会各不相同.9.实例4

从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.其结果可能为:

正品

、次品.实例5

过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯.10.实例6

出生的婴儿可能是男,也可能是女.实例7

明天的天气可能是晴

,也可能是多云或雨.随机现象的特征概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.条件不能完全决定结果11.2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性

,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系

,其数量关系无法用函数加以描述.12.1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.定义三、随机试验13.说明1.随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查〞、“观察〞或“测量〞等.实例“抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况〞.分析

2.随机试验通常用E来表示.(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;14.1.抛掷一枚骰子,观察出现的点数.2.从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数.同理可知以下试验都为随机试验.(2)试验的所有可能结果:字面、花面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

故为随机试验.15.3.记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.4.考察某地区10月份的平均气温.5.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.16.四、小结

随机现象的特征:1.概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.条件不能完全决定结果.2.随机现象是通过随机试验来研究的.(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.随机试验返回本章目录17.样本空间样本点随机事件间的关系及运算随机事件的概念小结第二节样本空间、随机事件18.样本点e.

S

现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具.一、样本空间19.

实例1将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、反面T出现的情况:

S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):

在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现.那么样本空间20.实例2

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例3

记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.21.实例4

从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.实例5记录某城市120急救台一昼夜接到的呼唤次数.22.2.同一试验,假设试验目的不同,那么对应的样本空间也不同.例如对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次〞.假设观察正面H、反面T出现的情况,那么样本空间为假设观察出现正面的次数,那么样本空间为说明

1.试验不同,对应的样本空间也不同.23.说明3.建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.24.

所以在具体问题的研究中

,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.25.随机事件

随机试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件,简称事件.通常以大写英文字母A,B,C,

来表示事件。试验中,骰子“出现1点〞,“出现2点〞,…,“出现6点〞,“点数不大于4〞,“点数为偶数〞等都为随机事件.

实例

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.1.根本概念二、随机事件的概念26.实例上述试验中“点数不大于6〞就是必然事件.必然事件

随机试验中必然会出现的结果.不可能事件

随机试验中不可能出现的结果.

实例上述试验中“点数大于6〞就是不可能事件.实例“出现1点〞,“出现2点〞,…,“出现6点〞.根本领件由一个样本点组成的单点集.(相对于观察目的不可再分解的事件)27.

〔1〕当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.事件B={掷出奇数点}B发生当且仅当B中的样本点1,3,5中的某一个出现.2.几点说明28.(2)随机试验、样本空间与随机事件的关系

每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件随机事件根本领件

必然事件不可能事件复合事件两个特殊事件29.

1.包含关系假设事件A出现,必然导致B出现,那么称事件B包含事件A,记作实例“长度不合格〞必然导致“产品不合格〞所以“产品不合格〞包含“长度不合格〞.图示

B包含

A.SBA三、随机事件间的关系及运算30.2.A等于B假设事件A包含事件B，而且事件B包含事件A，那么称事件A与事件B相等，记作A=B.3.事件

A与

B的并(和事件)实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格〞是“长度不合格〞与“直径不合格〞的并.图示事件

A与

B的并.

SBA31.4.事件

A与

B的交

(积事件)32.图示事件A与B

的积事件.SABAB实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格〞是“长度合格〞与“直径合格〞的交或积事件.33.和事件与积事件的运算性质34.5.事件

A与

B互不相容(互斥)假设事件A的出现必然导致事件B不出现,B出现也必然导致A不出现,那么称事件A与B互不相容,即实例抛掷一枚硬币,“出现花面〞与“出现字面〞是互不相容的两个事件.35.“骰子出现1点〞“骰子出现2点〞图示A与B互斥.SAB互斥实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.

36.6.事件

A与

B的差

由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差.记作A-B.图示A与B的差.SABSAB实例“长度合格但直径不合格〞是“长度合格〞与“直径合格〞的差.37.设A表示“事件A出现〞,那么“事件A不出现〞称为事件A的对立事件或逆事件.记作实例“骰子出现1点〞“骰子不出现1点〞图示A与B的对立.SB假设A与B互逆,那么有A7.事件

A的对立事件对立38.对立事件与互斥事件的区别SSABABA、B对立A、B互斥互斥对立39.事件间的运算规律40.例1

设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.(1)A出现,B,C不出现;(5)三个事件都不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现;(6)不多于一个事件出现;41.(7)不多于两个事件出现;(8)三个事件至少有两个出现;(9)A,B至少有一个出现,C不出现;(10)A,B,C中恰好有两个出现.解42.43.(1)没有一个是次品;(2)至少有一个是次品;(3)只有一个是次品;(4)至少有三个不是次品;(5)恰好有三个是次品;(6)至多有一个是次品.解44.45.46.例3假设用事件A表示“甲产品畅销，乙产品滞销〞，那么事件表示〔〕。A．甲产品滞销，乙产品畅销;

B.甲、乙两产品均畅销;

Ｃ.甲产品滞销;

Ｄ．甲产品滞销或乙产品畅销.47.由（1）（2）知：A与B互为逆事件。

（2）例4、若，则A与B互为逆事件。

证明：如果

而矛盾，从而：

（1）48.随机试验样本空间子集随机事件随机事件基本事件必然事件不可能事件复合事件四、小结1.随机试验、样本空间与随机事件的关系49.2.概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论样本空间，必然事件空间不可能事件空集基本事件元素随机事件子集A的对立事件A的补集A出现必然导致B出现A是B的子集事件A与事件B相等集合A与集合B相等50.事件A与事件B的差A与B两集合的差集事件A与B互不相容A与B两集合中没有相同的元素事件A与事件B的和集合A与集合B的并集

事件A与事件B的积事件集合A与集合B的交集返回本章目录51.频率的定义与性质概率的定义与性质小结第三节频率与概率52.1.定义一、频率的定义与性质53.2.性质设A是随机试验E的任一事件,那么54.试验序号12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做

7遍,观察正面出现的次数及频率.波动最小随n的增大,频率

f呈现出稳定性55.实验者德摩根蒲丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500556.

可见,在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具有稳定性.即通常所说的统计规律性..57.例

DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率,发现各字母出现的频率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.000658.1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的开展.二、概率的定义与性质59.1、概率的定义60.证明由概率的可列可加性得2.概率的性质61.概率的有限可加性证明由概率的可列可加性得62.证明63.证明证明64.证明由图可得又由性质3得因此得65.推广三个事件和的情况n个事件和的情况66.解67.SABAB68.69.

例3

某工厂职工可以订阅两种读物—报纸和杂志，其中订阅报纸的概率为0.7，订阅杂志的概率为0.2,两种都订阅的概率为0.1.求解事件A,B分别表示“订阅报纸和订阅杂志〞(1)(1)订阅报纸而不订阅杂志的概率;(2)至少订阅一种读物的概率;(3)两种读物都不订阅的概率.(2)(3)70.

例4设A,B满足P(A)=0.8,P(B)=0.7,在何条件下，

P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解最小值在时取得.

----------最小值----------最大值最大值在时取得.

71.例5、

72.例6、设同时发生时，C必然发生，则：

解：而：73.1.频率(波动)概率(稳定).2.概率的主要性质三、小结返回本章目录74.等可能概型典型例题几何概率小结第四节等可能概型(古典概型)75.1.定义一、等可能概型(古典概型)76.设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含m个样本点，那么事件A出现的概率记为:2.古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义.

77.【注】求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的根本领件总数和对所求概率事件有利的事件个数．在考虑事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，掌握以下关于排列组合的知识是有用的：(1)加法原理：设完成一件事有k类方法，每类又分别有m1,m2,,…,mk种方法，而完成这件事只需其中一种方法，那么完成这件事共有m1+m2,+…+mk种方法．(2)乘法原理：设完成一件事有n个步骤．第一步有m1种方法、第二步有m2种方法，…第n步有mn种方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×mn种方法.78.

(3)、不同元素的选排列

从n个不相同的元素中无放回取k个的排列(k

＜n)，称为从n个不同元素中取k个元素的选排列,共有种。当n

＝k时，称n个元素的全排列．共有n！种。

例如：从3个元素取出2个的排列总数有6种79.

(4)、不同元素的重复排列例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能取法从n个不同的元索中，有放回地取k个元素进行的排列，共有种〔元素允许重复〕。80.

(5)、不全相异元素的排列在n个元素中，有m类不同元素、每类各有k1,k2,…km

个，将这n个元素作全排列，共有如下种方式：k1个元素k2个元素km个元素……n个元素因为:81.

(6)、环排列

从n个不同元素中，选出m个不同的元素排成一个圆圈的排列，共有：

(7)、组合从n个不同元素中取m个而不考虑其次序的排列（组合），共有种.4123412311242343每个排列重复了4次排列数为82.3.古典概型的根本模型:摸球模型(1)无放回地摸球问题1

设袋中有4只白球和

2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.解根本领件总数为A所包含根本领件的个数为83.(2)有放回地摸球问题2

设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.解第1次摸球10种第2次摸球10种第3次摸球10种6种第1次摸到黑球6种第2次摸到黑球4种第3次摸到红球84.根本领件总数为A所包含根本领件的个数为课堂练习1o号码问题在7位数的号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.2o

骰子问题

掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.85.4.古典概型的根本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量无限问题1

把

4个球放到

3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.

4个球放到3个杯子的所有放法86.因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为87.(2)每个杯子只能放一个球问题2

把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第1至第4个杯子各放一个球的概率.解第1至第4个杯子各放一个球的概率为88.2o

生日问题

某班有20个学生都是同一年出生的,求有10个学生生日是1月1日,另外10个学生生日是12月31日的概率.

课堂练习1o

分房问题

将张三、李四、王五3人等可能地分配到3间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.89.解二、典型例题90.在N件产品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率为解在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有91.例3在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?设A为事件“取到的数能被6整除〞,B为事件“取到的数能被8整除〞，那么所求概率为解92.于是所求概率为93.例4将

15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有94.因此所求概率为(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有因此所求概率为95.例5某接待站在某一周曾接待过12次来访,所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.

假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周内接待12次来访共有96.小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四进行的共有故12次接待都是在周二和周四进行的概率为97.例6

假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64个人中至少有2人生日相同的概率.64个人生日各不相同的概率为故64个人中至少有2人生日相同的概率为解98.说明99.我们利用软件包进行数值计算.100.

例7、有n个人排队，排成一圈，求甲、乙两人相邻的概率是多少?解：(2)排成一圈是环排列，n个人的环排列有(n－1)!种，甲、乙相邻占一个位置的环排列有(n一2)!种，考虑互换性，有利事件有2×(n一2)!种．故：

更为简单的想法是：设想一个圆周上：有n个位置，甲占了一个位置后，乙还有n一1个位置可选，其中与甲相邻的位置有2个．所以:101.

例8、从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少?

解：A

={4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}={4只鞋子中没两只鞋子配成一双}102.

例9、某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？这是一个配对问题103.解：设Ai={第i封信装入第i个信封}i=1,2,3

A={没有一封信装对地址}直接计算P(A)不易，我们先来计算={至少有一封信装对地址}那么其中：104.于是:推广到n封信,用类似的方法可得:把n

封信随机地装入n个写好地址的信封中,没有一封信配对的概率为:105.例10

利用概率模型证明恒等式〔1〕〔2〕证〔1〕构造概率模型：设一袋中有n个球，其中只有1个红球，其余全是黑球，现从袋中无放回地摸出r个球。记事件A=“摸出的r个球中有红球〞，那么由可得到等式〔1〕。106.〔2〕构造概率模型：设一袋中有n个球，其中有m个红球，n-m个黑球，现从袋中无放回地摸出r个球。记事件Ai=“摸出的r个球中有i个红球〞，那么而所以，即107.定义当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量(长度、面积、体积)相同的子区域是等可能的，那么事件A的概率可定义为说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型.三、几何概型108.

那么

两人会面的充要条件为例10

甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(t<T)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.会面问题解109.故所求的概率为假设以x,y表示平面上点的坐标,那么有110.最简单的随机现象古典概型

古典概率几何概型试验结果连续无穷四、小结返回本章目录111.条件概率乘法定理全概率公式与贝叶斯公式小结第五节条件概率112.将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面〞,事件B为“两次掷出同一面〞.现在来求事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.分析事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为1.引例一、条件概率113.同理可得为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.2.定义114.3.性质115.二、乘法定理116.例1在标有1,2,3,4,5这5个数字的卡片里,无放回地抽取两次,一次一张,求(1)第一次取到奇数卡片的概率;(2)第一次取到偶数,求第二次取到奇数卡片的概率;(3)第二次才取到奇数卡片的概率.

解

设A,B分别表示第一次和第二次取到奇数卡片这两个事件,则P(A)=

117.例2

某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?设A表示“能活20岁以上〞的事件，B表示“能活25岁以上〞的事件,那么有解118.例4五个阄,其中两个阄内写着“有〞字，三个阄内不写字，五人依次抓取,问各人抓到“有〞字阄的概率是否相同?解那么有抓阄是否与次序有关?119.120.依此类推故抓阄与次序无关.121.

例5

一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.

波里亚罐子模型b个白球,r个红球122.于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.〞b个白球,r个红球

随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.

解设Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是红球}，j=1,2,3,4123.用乘法公式容易求出

当c>0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)124.例6设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,假设第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,假设前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透镜落下三次而未打破〞.所以125.1.样本空间的划分三、全概率公式与贝叶斯公式126.2.全概率公式全概率公式127.图示证明化整为零各个击破128.说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为假设干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.129.例7有一批同一型号的产品，其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A为“任取一件为次品〞,解130.由全概率公式得30%20%50%2%1%1%131.称此为贝叶斯公式.

3.贝叶斯公式132.证明133.例8134.解135.(1)由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得136.137.解例9138.

由贝叶斯公式得所求概率为139.

上题中概率0.95是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.

而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后验概率.先验概率与后验概率140.解例10141.由贝叶斯公式得所求概率为即平均1000个具有阳性反响的人中大约只有87人患有癌症.142.1.条件概率全概率公式贝叶斯公式四、小结乘法定理143.返回本章目录144.第六节独立性两个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用小结145.显然P(A|B)=P(A)这就是说,事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.一、两事件的独立性A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设146.

由乘法公式知，当事件A、B独立时，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.147.假设两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)(1)那么称A、B相互独立，简称A、B独立.两事件独立的定义148.149.

例1

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,150.

前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},

在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

可见P(A)=P(A|B),即事件A、B独立.那么P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13151.

在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.由于“甲命中〞并不影响“乙命中〞的概率，故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击,记A={甲命中},B={乙命中}，A与B是否独立？例如〔即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率〕152.一批产品共n件，从中抽取2件，设

Ai={第i件是合格品}i=1,2假设抽取是有放回的,那么A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.假设抽取是无放回的，那么A1与A2不独立.153.两事件相互独立两事件互斥例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考二者之间没有必然联系154.由此可见两事件互斥但不独立.155.设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的选项是：

前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的选项是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习.156.=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B独立概率的性质=P(A)-P(A)P(B)仅证A与独立定理2假设两事件A、B独立,那么也相互独立.证明=P(A)P()故A与独立157.二、多个事件的独立性158.159.

对于三个事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立,那么称事件A、B、C相互独立.160.请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n>2)个事件?161.对独立事件