2021年广东省深圳市中考数学模拟试卷（三）

2021年广东省深圳市中考数学模拟试卷（三）

1.3的相反数是（）

3.下列计算正确的是()

A.(—a3)2=—a6B.a3-a2=a6C.(2a)2=2a2D.a3a2=a

4.若关于x的一元二次方程（k-l）x2+x+l=0有两个实数根，则k的取值范围是

（）

A./c<7B.fc>7C.且k羊1D.kW：且％力1

4444

5.如图，已知A40B与AaOBi是以点O为位似中心的位似图形.且相似比为1：2,

点B的坐标为（一2,4）,则点a的坐标为（）

B.2个

C.3个

D.4个

7.下列命题中，正确的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.平行四边形的对角线平分且相等

C.8V3

D.9V3

9.如图，PA,P8与。0分别相切于点A,B,PA=2,NP=60。，则4B=()

和PFMM面积分别为S「S2.则下列结论:①B。=8；②点尸在运动过程中,PE+PF

的值始终保持不变，为26;③S1+S2的最小值为6；④当PH：PN=5：6时，

则。W：4G=5：6.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.2021年3月5日召开了第十三届全国人民代表大会第四次会议，在做府工作报告

J）中指出：我国经济运行总体平稳，2020年国内生产总值达到101598600000000

元.将101598600000（X）0用科学记数法表示为.

12.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的

□

高度，已知标杆BE高为1.5m,测得48=3m,AC=10m,□

□

第2页，共20页R

则建筑物CD的高是m.

13.已知“，b为有理数，如果规定一种新的运算“团”，规定：a助=3b—5a,例如:

102=3x2-5x1=6-5=1,计算：（2团3）团5=

14.如图，在平面直角坐标系中，菱形043C的边。4在x

轴上，。4=5,tanZ.COA=*若反比例函数y=>

0,x>0）经过点C,则k的值等于.

15.如图，矩形ABCO中，AE=^AD,将△4BE沿BE

折叠后得到AGBE,延长BG交CQ于F点，若CF=

FD=3,则BC的长为.

16.计算：（I）-1-2tan450+4sin60°-2712.

0•化简分式（鼻+曰+爵并在2,3,4,5这四个数中取一个合适的数作为

。的值代入求值.

18.在刚刚结束的“东门68小时不打洋”活动中，某商场为了扩大销售额，举办抽奖

活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相

同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖

品.

(1)如果顾客只有一次摸球机会，求顾客获得奖品的概率；

(2)如果顾客有两次摸球机会(摸出后不放回)，求顾客获得2份奖品的概率.(请用

“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)

19.如图，E是正方形ABC。对角线8。上一点，连接AE,CE,

并延长CE交4。于点£

(1)求证：AABE^CBE；

(2)若N4EC=140°,求NDFE的度数.

20.如图，在AABC中，AB=AC,以A8为直径的00交AC于点D,交8C于点E,

延长AE至点凡使EF=4E,连接尸B,尸C和。E.

(1)求证：四边形AB尸C是菱形；

(2)若CD=1,BE=2,求。0的半径.

第4页，共20页

21.某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲

种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800

元.

(1)求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元.

(2)经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500

棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的;，求甲种树苗数量的取值范围.

4

(3)在(2)的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？

22.在平面直角坐标系中，抛物线丫=a/+bx+c经过点A、8、C,已知4(一1,0),B(6,0),

C(0,-6).

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)若点。为第四象限内抛物线上一动点，当△BCD面积最大时，求ABC。面积的

最大面积；

(3)在x轴上是否存在点M,使N0CM+N4C。=45。，若存在，求出点M的坐标;

若不存在，请说明理由.

第6页，共20页

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：3的相反数是-3,

故选：D.

根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“一”号，求解即可.

本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数

的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒

数的意义混淆.

2.【答案】C

【解析】解：A、该长方体从正面、侧面、上面看，都能看到长方形，故本选项不合题

忌--?r.；

8、该圆柱从正面和侧面，都能看到长方形，故本选项不合题意；

C、圆锥从正面看所得到的图形是等腰三角形，从侧面看所得到的图形是等腰三角形、

从上面看所得到的图形是圆，故本选项符合题意；

。、该几何体上面看，能看到长方形，故本选项不合题意；

故选：C.

根据各个几何体从正面、侧面、上面看到的形状进行判断即可.

本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体三视图的形状是正确判断的前提.

3.【答案】D

【解析】解：4结果是a6,故本选项不符合题意；

注结果是a5,故本选项不符合题意；

C.结果是4a2,故本选项不符合题意；

D结果是“，故本选项符合题意；

故选：D.

根据幕的乘方与积的乘方，同底数基的乘法，同底数暴的除法分别进行计算，再逐个判

断即可.

本题考查了暴的乘方与积的乘方，同底数募的乘法，同底数事的除法等知识点，能灵活

运用知识点进行计算是解此题的关键.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式

4>0,找出关于”的一元一次不等式组是解题的关键.根据二次项系数非零及根的判

别式420,即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出左的取值范围.

【解答】

解：••・关于x的一元二次方程(k-I)%2+x+1=0有两个实数根，

J/c-1*0

"(ZJ=I2-4x(/c-1)x1>0'

解得：上勺：且/£,1.

4

故选D.

5.【答案】A

【解析】解：与△&OBi是以点。为位似中心的位似图形.且相似比为1：2,

点8的坐标为(一2,4),

二点的坐标为:(—2x(—2),4x(―2))GP(4,—8).

故选：A.

根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为那么位似

图形对应点的坐标的比等于Z或-k,即可求得答案.

此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

6.【答案】C

【解析】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴-1(尤<0,图象与y轴的交点c>0,

.-.a<0,-£<0,c>0,

・•・bV0,

Aabc>0,故①正确；

•・•函数与x轴有两个不同的交点，

.•・△=b2-4ac>0,故②错误；

2a<b,故③错误;

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当x=1时，y<0,即a+b+c<0；

当x=-1时，y>0,即a-b+c>0；

22

A(a+£>+c)(a-fa+c)<0,BP(a+c)<b-,故④正确;

"x=—:时，y>0,

•••^a—1b+c>0,即a—2b+4c>0,故⑤正确；

故选：C.

由函数图象可知a<0，对称轴-l<x<0,图象与y轴的交点c>0,函数与x轴有两

个不同的交点；即可得出b-2a>0,b<0；△=b2-4ac>0；再由图象可知当x=l

时，y<0,即a+b+c<0；当x=-1时,y>0,即a—b+c>0；当x=时,y>。，

B|jia-ib+c>0,即可求解.

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息,

推导出a,b,c,△,对称轴的关系是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；

8、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；

C、平行四边形的对角线平分，原命题是假命题，不符合题意；

。、顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，是真命题，符合题意；

故选：D.

根据矩形、菱形的判定和平行四边形的性质判断即可.

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命

题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

8.【答案】B

【解析】解：连接AC.

・・•菱形A3CO〜菱形AEFG,

・•・乙B=4E=Z-AGF=60°,AB=BC,

•••△4BC是等边三角形，设4B=8C=4C=Q,则BH=Q—7,BG=a—3,

・•・乙ACB=60°,

・••乙AGB=Z.AGH+Z-BGH=乙ACG+^CAG,

・・•乙4GH=Z.ACG=60°,

・•・乙BGH=Z.CAG,

v乙B=Z.ACG,

BGH~ACAG9

BG_BH

••瓦一~CG9

a—3a—7

—=—

・•・a2-10a+9=0,

・•・a=9或1（舍弃），

・•・AB=9,

故选：B.

连接AC,首先证明△力BC是等边三角形，再证明△BGH—SG,推出器=瞿，由此

构建方程即可解决问题.

本题考查相似多边形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正

确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

9.【答案】B

【解析】解：如图，连接。尸交A8于。，/一

-PA,P8与。0分别相切于点A,B,乙4PB=60。，/

0-万一/…少p

Z.APO=乙BPO=2PB=30°,OP1ABS.AD=\

BD,、----B

.-.AD=-2AP.

•­-AB=2AD=AP=2.

故选：B.

先根据切线长定理得到乙”。=4BPO=:乙4PB=30°,再利用垂径定理得OP1AB且

AD=BD,然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算A。的长.

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本题主要考查了切线的性质和垂径定理，根据题意求得乙4P。=30。是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：①vsinzCOZ)=

•••乙COD=60°,

•.•四边形48co是矩形，

0A=0C=0D=0B,

：.△4。8和AC00是等边三角形，

BD=20A=2AB=8,故①正确；

②连接OP,由①知BD=8,

•.•矩形ABCD的两边4B=4,BC=4百，

"S矩形ABCD=AB,BC=16v5，

SMOD=*矩形ABCD=4曲,OA=OD=4,

•••S.AOD=S-OP+SADOP=\OA-PE+\OD-PF=\OA{PE+PF)=：义4X(PE+

PF)=4V3.

PE+PF=2V3.故②正确；

③•••(PE-PF/=PE2+PF2-2PE-PF>0,

PE2+PF2>2PE-PF,

22222222

•••Sx+S2=PE+PF=1(PE+PF+PE+PF)>|(PE+PF+2PE-PF)=

*PE+PF)2=6,

当且仅当PE=PF=百时，等号成立，故③正确；

(4)•••Z.AEP=Z.DFP,乙PAE=4PDF,

・•・△APE7DPF,

.AE_PE_EG_PH_5

,・DF~PF~FM~PN~6’

_AE—__A_G_+_GE

,DF-DM+FM9

嗡=|,故④错误.

综上所述，其中正确的结论有①②③，3个.

故选：C.

①由矩形A8CD的性质和特殊角三角函数可得△408和AC。。是等边三角形，进而可以

判断；

②连接OP.由SMOO=S-OP+SAOOP求得答案；

③利用完全平方公式变形，当且仅当PE=PF=b时，等号成立，即可判断；

④根据已知条件证明△APESADPF,对应边成比例即可判断.

此题考查了正方形的性质、矩形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、完

全平方公式、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识.

11.【答案】1.015986X1014

【解析】解：将101598600000000用科学记数法表示为9.91x1013.

故答案为：1.015986x1014.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1<|a|<10,n为整数.确定n的值时，

要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10'的形式，其中1W

|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

12.【答案】5

【解析】解：EB1AC,DCLAC,

EB//DC,

ABE~hACDf

••・——AB=一BE,

ACCD

・・•BE=1.5m,AB=3m,AC=10m,

・•・——3=——1.5,

10DC

解得，DC=5,

即建筑物CO的高是5m,

故答案为：5.

根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出C。的长，从而可以解答本题.

此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键.

13.【答案】20

第12页，共20页

【解析】解：(203)05

=(3x3-5x2)05

=(9-10)05

=(-1)05

=3x5—5x(-1)

=15+5

=20.

故答案为：20.

原式利用新定义计算即可得到结果.

此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

14.【答案】12

【解析】解：如图，作CD_L。/于。,

vOA=5,

•・•四边形0ABe为菱形，

••・OC=OA=5,

在中，•：tan^COA=-=

Rt△OCDOD4

・・・设8=3%,OD=4%,

•・・。。2=0。2+亦，

・•・52=(4x)2+(3x)2,解得％=1,

ACD=3,OD=4,

•♦・C(4,3),

把C(4,3)代入y=绸k=3x4=12.

故答案为12.

作CDJ.04于。，如图，利用菱形的性质得OC=。4=5,在Rt△OCD中利用正弦的定

义以及勾股定理计算出CD=3,0D=4,从而得到C(4,3),然后根据反比例函数图象

上点的坐标特征确定上的值.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=[(k为常数，kRO)的图

象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值无，即xy=k.也考查了菱形的性

质.

15.【答案】6V6

:・AD=BC,AD//BC,/.A=Z-BCF=90°,

・•・乙H=(CBF,

在ABC尸和△HD尸中，

(乙CBF=Z.H

乙BCE=乙DFH,

(CF=DF

:・BC=DH,

・••将△48E沿BE折叠后得到△GBE,

乙

・•・AA=BGE=90°,AE=EGf

・♦・乙EGH=90°,

-AE=-AD

3f

・•・设4E=EG=%,则4D=BC=DH=3%,

:.ED=2%,

•♦.EH=ED+DH=5x,

在RtAEGH中，sinzH=—=^=i

EH5%5

.厂r»厂CF1

・•・sinZ-CBF=—=

BF5

.3_1

,•——f

BF5

BF=15,

BC=>JBF2-CF2=V152-32=6限

故答案为：6>/6-

延长BF交A。的延长线于点H,证明ABCF三△HDF(44S),由全等三角形的性质得出

BC=DH,由折叠的性质得出乙4=NBGE=90。，AE=EG,设4E=EG=x,贝必1。=

BC=DH=3x,得出EH=5x,由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案.

第14页，共20页

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股

定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

16.【答案】解：原式=2-2x1+4x/-2x2代

=2-2+2V3-4A/3

=—2V3.

【解析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幕的性质、二次根式的性质化简得出答

案.

此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键.

17.【答案】解：原式=总枭一+湍云

a2(Q+3)(Q—3)

=CL(—--3-0C-L-—--3-7)---C-L-—--2-o---

CL—2(a+3)(Q—3)

CL—3d—2

=a+3,

•••a力一3、2、3,

a=4或a=5,

则a=4时，原式=7.

【解析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法

则及分式有意义的条件.先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式

有意义的«的值代入计算可得.

18.【答案】解：(I)、•袋子中有2个黑球和2个红球，

••.顾客获得奖品的概率为：=

42

故答案为：

(2)根据题意画图如下:

开始

黑球

黑球红球红球

/N小/\\

黑球红球红球黑球红球红球黑球黑球红球黑球黑球红球

共有12种等情况数，其中顾客获得2份奖品的有2种,

则顾客获得2份奖品的概率是白=

【解析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据

概率公式即可得出答案.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的

结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识

点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.【答案】（1）证明：•••四边形ABC。是正方形，

AB=CB,/-ABC=Z.ADC=90°,/.ABE="BE=/.ADB=工x90。=45°,

2

在MBE和△CBE中，

（AB=CB

JZ.ABE=乙CBE,

（BE=BE（公共边）

*0•△CBE（^SAS'）；

（2）,也ABE"CBE,

・•・Z-AEB=（CEB,

又「^LAEC=140°,

・•・乙CEB=70°,

•:乙DEC+乙CEB=180°,

:.（DEC=180°一乙CEB=110°,

•・・乙DFE+^ADB=乙DEC,

:.乙DFE=乙DEC-Z-ADB=110°-45°=65°.

【解析】（1）由“SAS”可证△ABE三△CBE；

（2）由全等三角形的性质可求NCEB=70°,由三角形的外角的性质可求解.

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键.

20.【答案】（1）证明：••・4B为。。的直径，喙----------^F

•••^AEB=90。（直径所对的圆周角是直角），[

：.AFLBC.A\~~OP

•.•在△ABC中AB=ACACE=8E（等月要三角形/

三线合一），

第16页，共20页

•・,AE=EF,

二四边形ABFC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

又mBC,

.QABFC是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

（2）解：•••圆内接四边形ABEQ,

^ADE+^ABC=180。（圆内接四边形的对角互补）.

•••Z.ADE+Z.CDE=180°,

/.ABC=Z.CDE.

•••乙4cB=/EC。（公共角）.

ECDf4cB（两角分别对应相等的两个三角形相似）.

•••筝=案（相似三角形的对应边成比例）.

••・四边形48FC是菱形，

•••BE=CE=-BC=2.

2

・•・2CE=BC=4.

21

AC4

:.AC=8.

:.AB=AC=8.

.•・o。的半径为4.

【解析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据

对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；

（2）根据菱形的性质和相似三角形小ECDfACB的对应边成比例解答.

本题考查菱形的判定和性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质等知识，属于中

考常考题型.

21.【答案】解：（1）设购买的甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的单价为y元.依题意

得：

<50x+2Oy=5000

（30x+10y=2800,

解这个方程组得：;队，

答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元;

(2)设购买的甲种树苗〃棵，则购买乙种树苗(500-Q)棵，由题意得，

(60a+100(500-a)<42000

(500-aN-a

解得，200<a<400.

二甲种树苗数量a的取值范围是200<a<400.

(3)设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗(500-a)棵，总费用为W,

IV=60a+100(500-a)=50000-40a.

-40<0,

二小值随。值的增大而减小，

•••200<a<400,

.••当x=400时,W取最小值,最小值为50000-40x400=34000元.

即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低.

【解析】(1)设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元，根据：“购买50棵甲种树苗和

20棵乙种树苗共需5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需2800元”列方程

组求解可得：

(2)设购买的甲种树苗。棵，则购买乙种树苗(500-a)棵，由题意列出一元一次不等式

组，则可得出答案；

(3)设购买的甲种树苗。棵，则购买乙种树苗(500-a)棵，总费用