2024年高考数学第二轮复习 专题08 一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数零点（方程的根）问题全题型压轴题）（教师版）

专题08一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）（全题型压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①判断零点（根）的个数 1②已知零点（根）的个数求参数 9③已知零点（根）的个数求代数式的值 17更多资料添加微信号：DEM8008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：①判断零点（根）的个数1．（2023·全国·高二专题练习）已知关于的方程在上解的个数为（

）A．1个 B．8个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】关于的方程在上解的个数，即为关于的方程在上解的个数，令，，则，则当时，单调递增；当时，单调递减.又，，在同一坐标系内作出与在上的图像，两图像有1个交点则关于的方程在上解的个数为1.故选：A.8．（2023·云南·校联考模拟预测）已知.(1)当时，求函数的单调区间；(8)当时，证明：函数有且仅有一个零点.【答案】(1)函数的单调递增区间为,，单调递减区间为,(8)证明见解析【详解】（1）当时，，，由得或，解得或由得或，解得或，故函数的单调递增区间为,，单调递减区间为,.（8）当时，，定义域为，，设，，所以在区间上是增函数，，存在唯一，使，即，当时，，即；当时，，即；当时，，即，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数，当时，取极大值为，设，，所以在区间上是减函数.在内无零点，，在内有且只有一个零点，综上所述，有且只有一个零点.3．（2023春·江西赣州·高二统考期末）已知函数.(1)求函数的最值；(8)讨论函数的零点个数.【答案】(1)最大值，无最小值(8)当时，函数没有零点，当或时，函数只有1个零点，当时，函数有两个零点.【详解】（1）由函数，，得，令，则恒成立，所以在上单调递减，且，所以时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即当时，取得最大值，无最小值；（8）函数的零点个数就是方程的解的个数，整理得，令，，由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，恒大于0且趋近于0，作出函数图象如图：

由图知，当时，函数没有零点，当或时，函数只有1个零点，当时，函数有两个零点.4．（2023春·重庆·高二校联考期末）已知函数．(1)当时，求函数的极值；(8)讨论函数的零点个数．【答案】(1)极小值，无极大值.(8)当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有8个零点.【详解】（1）当时，，，令，则；令，则；故函数的单调递增区间是，单调递减区间为；当时，函数取极小值，无极大值.（8）令，因为，所以，记，有，令，则；令，则，故在上单调递增，在上单调递减，从而，因此当时，直线与的图像没有交点；当或时，直线与的图像有1个交点；当时，直线与的图像有8个交点.综上：当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有8个零点.5．（2023春·福建宁德·高二统考期末）已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；(8)讨论函数的零点个数．【答案】(1)(8)答案见解析【详解】（1）∵，∴，∴．∵，∴切点坐标为，∴函数在点处的切线方程为，即，∴切线与坐标轴交点坐标分别为，，∴所求三角形面积为．（8）解法一：设函数，当时，，在上单调递增，而，，所以存在唯一，使得；即只有一个零点．当时，令，解得，（舍），当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，，设，在单调递减，且，当，解得，所以没有零点，即没有零点；当，解得，所以只有一个零点，即只有一个零点；当，解得，，所以在只有一个零点，因为，，当时，，在单调递增，所以，所以，所以在只有一个零点，所以有两个零点．综上：当或时，只有一个零点；当，有两个零点；当，没有零点．解法二：由，得，设，，设，在单调递减，，当，解得；当，解得，在单调递增，在单调递减，所以，又因为当趋向于时，趋向于，趋向于，趋向于，根据图象知：

当或时，只有一个零点；当，没有零点；当，有两个零点．解法三：令，，则．设函数与相切于点，则解得，．由，可解得，所以在上单调递增，由可解得，所以在上单调递减．如图所示，当或时，与只有一个交点，所以有一个零点；当时，与只有两个交点，所以有两个零点；当时，与没有交点，所以无零点．

6．（2023春·四川眉山·高二统考期末）已知函数，其中为自然对数的底数．(1)当时，证明：;(8)当时，求函数零点个数．【答案】(1)证明见解析；(8)8.【详解】（1）当时，，，求导得，显然，当时，，则，当时，，则，因此函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，，所以.（8）当时，，，求导得，当时，，则，当时，，则，当时，函数都递增，即函数在上单调递增，而，因此存在，使得，当时，，当时，，从而当时，，当时，，即有函数在上单调递减，在上单调递增，，而，于是函数在，各存在一个零点，所以函数零点个数是8.7．（2023·湖南·校联考二模）已知函数．(1)求的最小值；(8)证明：方程有三个不等实根．【答案】(1)0(8)证明见解析【详解】（1）设，，则，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增，故的最小值为，因为在定义域内单调递增，所以的最小值为；（8）由可得，整理可得，设，令，，则，由得．因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增．由于，故，又由，由零点存在定理，存在，使得，∴有两个零点1和，方程有两个根和，

则如图，时，因为，故方程有一个根，下面考虑解的个数，其中，设，结合的单调性可得：在上为减函数，在上为增函数，而，，，故在上有且只有一个零点，，设，故，故即，而，故在上有且只有一个零点，故有两个不同的根且，综上所述，方程共有三个不等实根②已知零点（根）的个数求参数1．（2023春·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是．【答案】【详解】解：当时，，所以，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，且，，，当时，，当时，，当时，与一次函数相比，函数增长更快，从而，当时，，所以，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且，，当时，，当时，，当时，与对数函数相比，一次函数增长更快，从而当，且时，，根据以上信息，可作出函数的大致图象：

令，得或，由图象可得没有解，所以方程的解的个数与方程解的个数相等，而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点．故答案为：8．（2023春·安徽合肥·高二统考期末）若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是．【答案】【详解】由已知可知关于的方程有三个不等实数根，即函数的图象与直线有三个公共点，构造函数，求导，令，解得当时，，故在区间上单调递增，当时，，故在区间和上单调递减，且，，当或时，，且当时，，当时，，画出的大致图象如图，要使的图象与直线有三个交点，需，即，即的取值范围是．故答案为：

3．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期末）设，若关于x的方程有3个不同的实根，则的取值范围是.【答案】【详解】记，令，得或，由得或，此时为增函数，由得，此时为减函数，即当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，即，因为关于的方程有三个不同的实根，所以函数有三个不同零点，因此，只需，即，解得，即关于的方程有三个不同的实根的范围是．故答案为：.4．（2023春·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考期末）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则a的取值范围是．【答案】【详解】当时，，此时，所以不是方程的根．当时，方程可化为：，设，方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有3个交点．当时，，此时单调递增，且，当时，，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减，且，作出的图象如图，由图可知，当，即时，直线与函数的图象有3个交点，所以方程有三个不同的实数根时，实数的取值范围为．故答案为：．5．（2023春·山西忻州·高二统考期中）已知函数.(1)若曲线在点处的切线方程为，求m，n；(8)若在上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围.【答案】(1)(8)【详解】（1）因为，所以，因为，所以，由，得．（8）因为，，所以，（1）若，则，在上为增函数，所以在上只有一个零点，不合题意；（8）当，设，，当时，，即在上单调递增，，①若，因为，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，所以在上有且只有一个零点，不合题意；②若，则，易知，，，且在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以根据零点存在性定理，在上有且只有一个零点，又在上有且只有一个零点0，所以，当时，在上有两个零点；③当时，，，，，且在上单调递减，在上单调递增，因为在上有且只有一个零点0，所以，若在上有两个零点，则在上有且只有一个零点，又，所以，即，所以，即当时，在上恰有两个零点，综上所述，m的取值范围为.6．（2023春·江西九江·高二统考期末）已知函数.(1)求的极大值与极小值之差；(8)若函数在区间上恰有8个零点，求的取值范围.【答案】(1)(8)【详解】（1），令，解得或.当或时，单调递增；当时，单调递减.所以的极大值为，极小值为.所以的极大值与极小值之差为.（8）由（1）知：在上单调递减，在上单调递增，所以，又，因为函数在上恰有8个不同的零点，所以，即，解得，即实数的取值范围为.7．（2023·广东梅州·统考三模）已知函数，，为函数的导函数.(1)讨论函数的单调性；(8)若方程在上有实根，求的取值范围.【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增(8)【详解】（1），令，则当时，，函数在上单调递增；当时，，得，，得.所以函数在上单调递减，在上单调递增.（8）由（1）知，，方程在上有实根等价于方程在上有实根.令，则当时，，函数在上单调递增，，不合题意；当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减，，不合题意；当时，，得，，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，所以综上所述，的取值范围为8．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）设，，且a、b为函数的极值点(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；(8)若曲线在处的切线斜率为，且方程有两个不等的实根，求实数m的取值范围.【答案】(1)在区间，上单调递增，证明见解析.(8)【详解】（1）依题设方程，即方程的两根分别为a、b∴∴因为，且，则，∴，∴当且时，，∴在区间，上单调递增.（8）由，得，∴，∴，时或，当x在上变化时，，的变化情况如下：00++0极小值极大值∴的大致图象如图,∴方程有两个不等根时，转化为直线与函数的图象有两交点，则.

③已知零点（根）的个数求代数式的值1．（2023·四川成都·三模）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】定义域为，显然，若是零点，则，，所以也是零点，函数有三个零点，不妨设，则，所以，，当时，结合定义域和判别式易知恒成立，即函数在上单调递增，不符合题意；当时，设的两根分别为，易知，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，，，，当，，所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意.综上，的取值范围是故选：B8．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知和是函数的两个不相等的零点，则的范围是．【答案】【详解】和是函数两个不相等的零点，不妨设，，两式相减得，令，，，令，所以，令恒成立，在是单调递增，恒成立，在是单调递增，恒成立，，，故答案为：．3．（2023春·湖南怀化·高二统考期末）已知是方程的一个根，则.【答案】3【详解】因为是方程的一个根，则，所以，即，令，则，所以在单调递增，又，即，所以，所以.故答案为：34．（2023春·辽宁大连·高三瓦房店市高级中学校考开学考试）已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为.【答案】【详解】函数的定义域为，由可得，令，可得，即，构造函数，其中，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，当时，，当时，，且，作出函数的图象如下图所示：若使得方程由三个不等的实根、、，且满足，则关于的方程有两个不等的实根、，设，由韦达定理可得，则，由图可知，，因此，.故答案为：.5．（2023春·浙江·高二期中）已知函数，.(1)若不是函数的极值点，求a的值；(8)当，若有三个极值点，，，且，求的取值范围.【答案】(1)(8)【详解】（1），则一个根，即，验证当时，，设，，得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，【答案】(1)(8)，最小值为【详解】（1）解：（1）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.