第14讲一元一次方程应用题解法方法分类总结训练(原卷版)

第14讲一元一次方程应用题解法方法分类总结训练【知识点睛】一元一次方程应用题解题一般步骤：步骤“点睛”“审”（审题）“审”题目中的已知量、未知量、基本关系；“设”（设未知数）一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较大的量“列”【列方程】找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程“解”【解方程】根据一元一次方程的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答中体现“验”（检验）（非必须）检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题意“答”（写出答案）最后的综上所述类型一销售问题【常用等量关系】利润=售价进价售价=标价×折扣利润率=利润=进价×利润率售价=进价×（1＋利润率）总利润=单件利润×数量【例题】1．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设有x个人共同买鸡，依题意可列方程为（）A．9x﹣11＝6x+16 B．9x+11＝6x﹣16 C． D．2．某个体商户在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是270元，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，在这次买卖中商户（）A．赔36元 B．赚18元 C．不赚不赔 D．赚36元3．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买一只羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设羊价为x钱，所列方程是．4．综合与实践北京时间2022年11月20日，卡塔尔世界杯开幕式在卡塔尔举行．世界杯期间，人们对足球的需求量增加．市场调研：某班数学组对东东商场进行调研后了解到如下信息：信息一东东商场从厂家购进了A品牌足球7个，B品牌足球5个，共付款920元．已知每个B品牌足球比每个A品牌足球进价贵40元．信息二东东商场将B品牌足球按信息一中的进价提高50%后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B品牌足球仍可获利35元．问题解决：（1）设每个A品牌足球进价x元，则每个B品牌足球进价元，根据题意可列方程；（2）由（1）求得每个A品牌足球进价元，每个B品牌足球进价元；问题延伸：（3）利用一元一次方程求出信息二中B品牌足球的打折数．【练习】5．某商品的标价为126元，若降价以九五折出售（优惠5%）仍可获利5%（相对于进货价）则该商品的进货价是（）A．114元 B．元 C．元 D．112元6．某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠；小敏在该超市两次购物分别付了90元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（）元A．288 B．296 C．312 D．3207．本人三年前存了一份3000元的教育储蓄，今年到期时的本利和为3243元，请你帮我算一算这种储蓄的年利率．若年利率为x%，则可列方程．（年存储利息＝本金×年利率×年数，不计利息税）8．甲，乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒定价5元．而甲，乙两店的促销方案不同，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？（2）若购买15盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪一家商店购买？为什么？9．学校为了丰富同学们的学习生活，在六年级开展读书活动，现购买一批科技书和故事书，科技书有400本，科技书本数比故事书本数多．（1）求学校购买了多少本故事书；（2）已知书店里一本故事书的价格恰好比一本科技书的价格少，若购买这批图书共花费21500元，求购买一本科技书和一本故事书各需多少元；（3）在（2）的条件下，通过调查反馈，六年级学生非常喜欢读书活动，因此学校决定在七年级也开展读书活动，学校再购买131本故事书和若干本科技书，并使得第二次购买的两种书总数与第一次购买的故事书的数量之比为147：100，同时书店给予一定的优惠：当购买总数超过400本时，每本书的单价优惠，第二次买书学校一共花了多少元？类型二行程类问题【常用等量关系】基本等量关系：速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度；相遇问题：S甲＋S乙=S总；同时出发→时间×速度和=S总；追及问题：S快S慢=S相距；同时出发→时间×速度差=S相距；航行问题：V顺水=V船＋V静水；V逆水=V船V静水；V顺风=V机＋V风；V逆风=V机V风；此类问题中，船的速度和水流的速度是不变的，两地间的路程也不变，这都可以成为表示数据或者列方程的等量关系；飞机问题分析同上。行程类问题，要特别注意所给路程、速度、时间的单位是否统一，不统一时，需先化成统一形式之后再代入计算。【例题】1．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（）A．240x＝150x+12×150 B．240x＝150x﹣12×150 C．240（x﹣12）＝150x+150 D．240（x﹣12）＝150x+150×122．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（）A．（+）x＝1 B．（﹣）x＝1 C．（9﹣7）x＝1 D．（9+7）x＝13．某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需6小时，水流速度是2千米/小时，求两个码头之间距离x的方程是（）A． B． C． D．4．甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地骑车相向而行，甲骑车的速度是10千米/时，乙骑车的速度是8千米/时，甲先出发1小时后，乙骑车出发，乙出发后x小时两人相遇，则列方程为．5．在东西走向的适园路上，有A、B两个共享单车投放点，A在B的西面．（1）某天小明骑共享自行车从A地出发行驶，他行驶里程记向东为正，向西为负，单位：千米如下：+4，+1，﹣3，﹣2，+2．问最后小明停下的C地距离A地多远？（2）现从甲、乙两厂家向A、B两地运送自行车．已知甲有14辆自行车，乙有22辆自行车；A地需20辆自行车，B地需16辆自行车．甲、乙两家向A、B两地的运费如下表．当甲、乙两厂家各运往A、B两地多少辆自行车时，总运费等于703元？运往运费（元/辆）甲厂家乙厂家A地2418B地2516（3）已知A，B两处相距12km，小明在（1）中的C处自行车出现损坏，只能下车以4km/h的速度从C向B推行，此时在A处南南借了一辆自行车以10km/h的速度从A到B骑行，同时在B处的浔浔借了一辆电动车以20km/h的速度从B到A骑行，问：在浔浔到达A处前，其中一人位置是另外两人位置中点时，浔浔行驶了多少时间？【练习】6．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．＝ B．＝﹣12 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）7．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟．现乙从B地先发出1分钟后，甲才从A地出发，问多久后甲、乙相遇？设乙出发x分钟时，甲、乙相遇，则可列方程为（）A． B． C． D．8．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，3小时后甲船能比乙船多航行60千米，设水流速度是x千米/时，则可列方程．9．A、B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时走60千米，一列快车从B地出发，每小时走105千米．（1）两车同时出发相向而行，x小时相遇，可列方程；（2）两车同时出发相背而行，x小时后两车相距620千米，可列方程；（3）慢车出发1小时后快车从B地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？10．小北同学在校运动会400米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为65秒．请问：（1）小北同学冲刺的时间有多长？（2）如果他想把成绩提高1秒（即减少1秒钟），他需要提前几秒开始最后冲刺？11．如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且（a+53）2+|b﹣79|＝0．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动．（1）AB＝132（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；（2）点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使MA+MB＝MC，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由；（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？类型三工程类问题【常用等量关系】工作量=工作效率×工作时间；工作效率=总工作量÷工作时间工作时间=总工作量÷工作效率完成某项工作的各工作量的和=总工作量=1【例题】1．有一项城市绿化整治任务交甲、乙两个工程队完成，已知甲单独做10天完成，乙单独做8天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作x天后，共同完成任务，则可列方程为（）A． B． C． D．2．一件工程单独完成甲要10小时，乙要15小时，则甲、乙合作完成所需的时间是（）A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时3．为打造绿色生态环境，一段长为2400米的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时80天．已知甲队每天整治32米，乙队每天整治24米．（1）根据题意，小李、小张分别列出如下的一元一次方程（尚不完整）：小李：32x+24（）＝2400；小张：＝80；请分别指出上述方程中的意义，并补全方程：小李：x表示；小张：x表示．（2）求甲、乙两队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程）4．哈市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要10天完成；若乙队单独做需要15天完成．（1）若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？（2）在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为10万元，问甲队和乙队各得报酬多少钱？【练习】5．一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管3小时可注满一池水，单独开放乙管6小时可注满一池水，单独开放丙管4小时可放尽一池水．若甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管，则还需（）小时可注满水池．A． B． C．3 D．46．一个打字员打一篇稿件，第一天打了总数的，第二天打了总数的40%，第二天比第一天多打了6页，这篇稿件共有多少页？7．学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多．（1）求乙工厂每天加工这种校服多少件？（2）若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？（3）在（2）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？类型四分配与配套问题【常用等量关系】分配类问题紧抓一点：两种分配形式下，总数不变。配套问题思考步骤根据人数的等量关系设未知量，设一个表示一个；列表分别表示出两类物品的总数；写出配套关系中两类物品的数量关系（或倍数关系）；根据分析中的数量关系列出方程求解；【例题】1．某车间有68名工人，每人每天能生产8个甲种部件或5个乙种部件，2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，为使每天生产的两种部件刚好配套，设有x名工人生产甲种配件，列方程正确的是（）A．8x＝5×（68﹣x） B．5x＝8×（68﹣x） C．3×8x＝2×5×（68﹣x） D．2×8x＝3×5×（68﹣x）2．服装厂生产一批学生校服，已知生产1件上衣需要布料米，生产1条裤子需要布料1米．因为裤子旧得快，要求1件上衣和2条裤子配一套．生产这批校服共用了2016米布料，共生产了套校服．3．二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形按某种规律组成的一个大正方形．现有25×25格式的正方形如图，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下有一个5×5的B型黑白相间正方形（A，B型均由C型黑白两色小正方形组成），除这4个正方形外，其他的C型小正方形黑色块数正好是白色块数的3倍多53块，则该25×25格式的二维码中除去A，B型后，有100块C型白色小正方形，整个二维码中共有块C型白色小正方形．4．某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需2个甲种零件和4个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在20天中使所生产的零件刚好配套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少天生产乙种零件恰好配套？小明在解决这个问题时设应安排x天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题．工效（个/天）天数（天）数量（个）甲种零件450x②乙种零件300③5．某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．（1）求调入多少名工人；（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？【练习】6．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（）A． B． C． D．7．鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡有只，兔有只．8．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高度的圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在10cm高度处连通（即管子底部离容器底10cm），现三个容器中，只有乙中有水，水位高4cm，如图所示．若每分钟同时向甲和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，甲的水位上升3cm．则开始注入分钟水量后，甲的水位比乙高1cm．9．某厂用铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒．为了充分利用材料，要求制成的盒身和盒底恰好配套．现有151张铁皮，最多可做多个包装盒？为了解决这个问题，小敏设计一种解决方案：把这些铁皮分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖．（1）请探究小敏设计的方案是否可行？请说明理由；（2）若是你解决这个问题，怎样设计解决方案，使得材料充分利用？请说明理由．10．列方程解应用题元旦期间，七（1）班的小明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题：（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由．（3）买完票后，小明发现七（2）班的张小涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来买票，请你为他们设计出最省的购票方案，并求出此时的买票费用．类型六日历问题【常用等量关系】日历问题中，每横行相邻两数之间相差1，每竖列相邻两数之间相差7；日历上一个竖列上相邻3个数的和最小值为24，最大值为72，且这个和必为3的倍数；日历上每月的天数是不尽相同的，每月有31天的月份：一、三