华师大版八年级数学上册勾股定理单元测试

第14章勾股定理单元测试一、单选题（共10题；共30分）1.以下列线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（）A、a=3,b=4,c=6B、a=1,b=,c=C、a=5,b=6,c=8D、a=，b=2，c=2.直角三角形边长为a,b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（

）=h2+b2=h2C.D.+=3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行(

)A、8米B、10米C、12米D、14米

3题4题8题4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的最小值为（

）A、5B、4C、3D、25.在四边形ABCD中，∠A＝60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的周长（）.A、B、C、D、​6.列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A、5B、12C、14D、167.以下可以用来说明命题“任何奇数都是3的倍数”是假命题的反例是（）A、9B、7C、8D、158.如图，一圆柱高8cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）9.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足=0，则三角形的形状是（

）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形10.如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是（

）A、2B、C、2D、4二、填空题（共8题；共24分）11.在直径为10cm的圆中，弦的长为8cm，则它的弦心距为________cm.12.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF=3，AE=5，则矩形ABCD的面积是________

．

12题15题16题18题17题13.点P（-3，-4）到原点的距离为________.14.三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形是________三角形（直角、锐角、钝角）．15.如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm．16.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有________个．17.如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为________．18.如图，在□ABCD中，AB=cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长________cm．

三、解答题（共5题；共36分）19.

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上．（1）若∠BDA=70°，求∠BAC的度数．

（2）若BC=8，AC=6，求△ABD中AD边上的高．

20.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点.

(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若∠A=60°,AB=2AD=4,求BD的长.21.已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD的延长线，垂足为E．

（1）若BD是AC边上的中线，如图1，求BDCE的值；

（2）若BD是∠ABC的角平分线，如图2，求BDCE的值.22.我们运用图（Ⅰ）中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c3+4（12ab），即（a+b）2=c2+4（12ab）由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．

（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．

（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y）2=x2+4xy+4y2．23.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，求证：AD2=CD•BD．

四、综合题（共1题；共10分）24.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四边形ABCD的周长为32．

(1)求∠BDC的度数；(2)四边形ABCD的面积．

答案解析一、单选题1、【答案】B

【考点】勾股定理的逆定理

【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【解答】A、∵32+42=25≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；

B、∵12+（)2=3=（)2，∴能构成直角三角形，故本选项正确；

C、∵52+62=61≠82，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；

D、∵（)2+22=7≠（)2，∴不能构成直角三角形，故本选项正确．

故选B．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．2、【答案】D

【考点】三角形的面积，勾股定理

【解析】【分析】根据直角三角形的面积的计算方法，以及勾股定理就可解得．

【解答】根据直角三角形的面积可以导出：c=．

再结合勾股定理：a2+b2=c2．

进行等量代换，得a2+b2=．

两边同除以a2b2，得+=．

故选D．

【点评】熟练运用勾股定理、直角三角形的面积公式以及等式的性质进行变形．3、【答案】B

【考点】勾股定理

【解析】【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出。

如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，

过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，

∴EB=4米，EC=8米，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m米，

在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=10（米）。

故选B.4、【答案】C

【考点】勾股定理，垂径定理

【解析】【分析】过O作OM⊥AB于M，此时线段OM的长最短，连接OA，根据垂径定理求出AM，根据勾股定理求出OM即可．

过O作OM⊥AB于M，此时线段OM的长最短，连接OA，

∵OM过O，OM⊥AB，

∴AM=12AB=12×8=4，

在Rt△AMO中，由勾股定理得：OM=OA2-AM2=52-42=3，

故选C．5、【答案】A

【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，矩形的判定与性质

【解析】【解答】如下图所示，延长BC、AD交于O，∵∠A＝60°，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠B＝∠CDO＝90°，∠O＝30°，∵AB＝4，CD＝2，∴OA＝2AB＝8，CO＝2CD＝4，由勾股定理得：，，∴，，∴AB＋AD＋DC＋BC＝，故选A．

【分析】延长BC、AD交于O，求出OA、OD、OC、OB的值，求出BC、AD，即可求出答案．6、【答案】C

【考点】反证法

【解析】【解答】解：，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，

∴不能作为假命题的反例；

故答案A错误；

，

∵12是4的倍数，

∴不能作为假命题的反例；

故答案B错误；

，

∵14是偶数，不是4的倍数，

∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是14，

故答案C正确；

，

∵16是偶数，且也是4的倍数，

∴不能作为假命题的反例；

故答案D错误；

故选：C．

【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．7、【答案】B

【考点】反证法

【解析】【解答】解：，∵9是奇数，但9是3的倍数，

∴不能作为假命题的反例；故选项A错误；

，

∵7是奇数，但7不是3的倍数，

∴可以用来说明命题“任何奇数都是3的倍数”是假命题的反例是7，故此选项正确；

，

∵8是偶数，且不是3的倍数，

∴不能作为假命题的反例；故选项C错误；

，

∵15是奇数，但是3的倍数，

∴不能作为假命题的反例；故选项D错误；

故选：B．

【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．8、【答案】C

【考点】平面展开-最短路径问题

【解析】【解答】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：12×2π×6π=6（cm），展开得：

∵BC=8cm，AC=6cm，

根据勾股定理得：AB=82+62=10（cm）．

故选C．

【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．9、【答案】D

【考点】平方根，算术平方根，勾股定理的逆定理，绝对值的非负性

【解析】【解答】解：∵（a﹣6）2≥0，≥0，|c﹣10|≥0，

∴a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0，

解得：a=6，b=8，c=10，

∵62+82=36+64=100=102，

∴是直角三角形．

故选D．

【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．10、【答案】C

【考点】勾股定理，等腰直角三角形

【解析】【解答】解：如图，连接BE，则BE就是PA+PE的最小值，∵Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，

∴CE=2cm，

∴BE==2，

∴PA+PE的最小值是2．

故选C．

【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值．二、填空题11、【答案】3

【考点】勾股定理，垂径定理

【解析】【解答】据垂径定理和勾股定理可以计算出弦心距为3.

【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点.12、【答案】21

【考点】勾股定理，矩形的性质

【解析】【解答】∵EF⊥AD，EF=3，AE=5，

∴AF=AE2-EF2=52-32=4，

在矩形ABCD中，∠ADC=∠C=90°，

又∵EF⊥AD，

∴∠DFE=90°，

∴四边形CDFE是矩形，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE，

∵矩形ABCD的对边AD∥BC，

∴∠ADC=∠CED，

∴∠CDE=∠CED，

∴CD=CE，

∴矩形CDFE是正方形，

∵EF=3，

∴DF=EF=3，

∴AD=AF+DF=4+3=7．

∴矩形ABCD的面积=3×7=21

【分析】利用勾股定理列式求出AF，根据矩形的四个角都是直角可得∠ADC=∠C=90°，然后求出四边形CDFE是矩形，再根据角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC=∠CED，然后求出∠CDE=∠CED，根据等角对等边的性质可得CD=CE，然后根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形CDFE是正方形，根据正方形的四条边都相等求出DF，再根据AD=AF+DF求出AD的长，继而求出矩形ABCD的面积．13、【答案】5

【考点】勾股定理的应用

【解析】【解答】∵点A的坐标为（-3，-4）到原点O的距离：OP==5

【分析】1.勾股定理；2.坐标与图形性质．

根据点P的横纵坐标的绝对值与到原点的距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可．14、【答案】直角

【考点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=2ab，

∴a2+2ab+b2﹣c2=2ab，

∴a2+b2=c2，

∴三角形是直角三角形．

故答案为直角．

【分析】先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．15、【答案】8

【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：设AH=a，则DH=AD﹣AH=8﹣a，

在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=a，EH=DH=8﹣a，

∴EH2=AE2+AH2，即（8﹣a）2=42+a2，

解得：a=3．

∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，

∴∠BFE=∠AEH．

又∵∠EAH=∠FBE=90°，

∴△EBF∽△HAE，

∴C△EBFC△HAE=BEAH=AB-AEAH=23．

∵C△HAE=AE+EH+AH=AE+AD=12，

∴C△EBF=23C△HAE=8．

故答案为：8．

【分析】设AH=a，则DH=AD﹣AH=8﹣a，通过勾股定理即可求出a值，再根据同角的余角互补可得出∠BFE=∠AEH，从而得出△EBF∽△HAE，根据相似三角形的周长比等于对应比即可求出结论．本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是找出△EBF∽△HAE．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过勾股定理求出三角形的边长，再根据相似三角形的性质找出周长间的比例是关键．16、【答案】8

【考点】等腰三角形的判定，勾股定理

【解析】【解答】解：如图：

分情况讨论．

①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；

②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．

故答案为：8．

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．17、【答案】3

【考点】勾股定理，垂径定理

【解析】【解答】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，

∵OC⊥AB，

∴AC=BC=AB=×8=4，

在Rt△AOC中，OA=5，

∴OC===3，

即圆心O到AB的距离为3．

故答案为：3．

【分析】作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=4，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．18、【答案】4

【考点】勾股定理，平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵在▱ABCD中，

∴AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，

又∵AC⊥BC，

∴AC=6cm，

∴OC=3cm，

∴BO=5cm，

∴BD=10cm，

∴△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4cm，三、解答题19、【答案】解：(1)由旋转得△ACB≌△DEB

∴BD=BA

∴∠BAD=∠BDA=70°

∴∠ABD=40°

∴∠ABC=∠ABD=40°

∵∠C=90°

∴∠BAC=50°

(2)∵BC=8，AC=6，∠C=90°

∴

∵∠DEB=∠C=且BE=BC=8，DE="AC"=6

∴AE="AB"–BE=2

在Rt△DEA中，

设AD边上的高为h

∴

∴

【考点】三角形的面积，三角形内角和定理，勾股定理，旋转的性质

【解析】【解答】该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题.

【分析】解题的关键是抓住旋转变换过程中的不变量，灵活运用全等三角形的性质来分析、解答．20、【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB‖CD且AB=CD,

∵E,F分别是AB,CD的中点,

∴AE=12AB,DF=12DC

∴AE=DF,

∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）解：过点D作DG⊥AB于点G．

∵AB=2AD=4,

∴AD=2．

在Rt△AGD中,∵∠AGD=90°,∠A=60°,AD=2,

∴AG=AD×cos60°=1，DG=AD×sin60°=3

∴BG=AB-AG=3

在Rt△DGB中,∵∠DGB=90°,DG=3,BG=3,

∴BD=DG2+GB2=3+9=23

【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质，特殊角的三角函数值

【解析】【分析】(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,证明四边形AEFD是平行四边形；

(2)过点D作DG⊥AB于点G,利用已知条件和锐角三角函数以及勾股定理即可求出BD的长．21、【答案】解：设AB=AC=1，CD=x，则0＜x≤1，BC=2，AD=1-x．

在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=1+（1-x）2=x2-2x+2．

由已知可得Rt△ABD∽Rt△ECD，

∴CEAB=CDBD，即CE1=xx2-2x+2，∴CE=xx2-2x+2.

∴BDCE=x2-2x+2xx2-2x+2=x2-2x+2x=x+2x-2，0＜x≤1.

（1）若BD是AC的中线，则CD=AD=x=12，得BDCE=52.

（2）若BD是∠ABC的角平分线，则Rt△ABD∽Rt△EBC，

∴CEAD=BCBD，得xx2-2x+2∶（1-x）=2∶x2-2x+2，即2(1-x)=x，解得:x=2-2.

∴BDCE=2-2+22-2-2=2.

【考点】三角形的角平分线、中线和高，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形

【解析】【分析】设AB=AC=1，CD=x，应用勾股定理和相似三角形的判定和性质，把用x来表示，

（1）若BD是AC的中线，则CD=AD，据此求出的值；

（2）若BD是∠ABC的角平分线，则由Rt△ABD∽Rt△EBC得，据此求出的值.22、【答案】解：（1）S阴影=4×12ab，S阴影=c2﹣（a﹣b）