5.1~5.4走进图形世界图形的运动三视图（重难点突破）

突破~走进图形世界【知识点一、几何图形】1．定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形，几何图形由点、线、面组成.2．分类：几何图形包括立体图形和平面图形（1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等.（2）平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．（3）常见的立体图形有两种分类方法：①按形状分类 ②按构成分类3．棱柱、棱锥的相关概念：在棱柱、棱锥中，任何相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱．棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点．棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点．通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图）棱锥也是同理.4．点、线、面、体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体；包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系．此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体．【知识点二、展开与折叠】有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．注意：（1）不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．（2）不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．【知识点三、主视图、左视图、俯视图】一般地，我们把从正面看到的图形，称为主视图；从左面看到的图形，称为左视图；从上面看到的图形，称为俯视图.一个物体的三视图由主视图、左视图和俯视图组成.其中，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图所示．

(一)丰富的图形例1．（2022春·六年级单元测试）下列立体图形中，有六个面的是（

）A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱【答案】C【分析】根据各项中几何体的上下底面和侧面综合进行判断即可．【详解】解：三棱柱有5个面，故A错误；圆锥有一个曲面和一个平面组成，故B错误；四棱柱有6个面，故C正确；圆柱有一个曲面和两个平面组成，故D错误，故选：C．【变式训练1－1】、（2023·全国·七年级专题练习）已知长方形的长为，宽为，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形．(1)得到的立体图形的名称是______；(2)求这个几何体的表面积．（结果保留）．【答案】(1)圆柱；(2)圆柱的表面积为或【分析】（1）根据面动成体解答即可；（2）分长方形的长为轴旋转和以长方形的宽为轴旋转两种情况根据圆柱的表面积公式计算即可求解．【详解】（1）由题意可知，得到的立体图形的名称是圆柱．故答案为：圆柱．（2）①以长方形的长为轴旋转，则圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的表面积为（）．②以长方形的宽为轴旋转，则圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的表面积为（）．综上可得圆柱的表面积为或．【变式训练1－2】、（2022秋·山西晋城·七年级校考期末）综合与实践新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：操作探究：(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分：多面体顶点数（）面数（）棱数（）四面体4六面体86八面体812十二面体2030通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；探究应用：(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是棱柱；(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．【答案】(1)表见解析，；(2)五；(3)6【分析】（1）通过观察，发现棱数顶点数面数；（2）根据棱柱的定义进行解答即可；（3）由（1）得出的规律进行解答即可．【详解】（1）解：填表如下：多面体顶点数（）面数（）棱数（）四面体446六面体8612八面体6812十二面体201230顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，故答案为：；（2）解：一个棱柱只有七个面，必有2个底面，有个侧面，这个棱柱是五棱柱，故答案为：五；（3）解：由题意得：棱的总条数为（条），由可得,解得：，故该多面体的面数为6．例2．（2023秋·七年级课前预习）一个正方体的截面不可能是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．七边形【答案】D【分析】用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，据此判断即可．【详解】用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形，故选D．【变式训练2－1】、（2022春·九年级单元测试）图中几何体的截面（图中阴影部分）依次是、、、．【答案】圆形三角形六边形圆形【分析】根据图形即可得出答案．【详解】解：（1）的截面是圆形，（2）的截面是三角形，（3）的截面是六边形，（4）的截面是圆形；故答案为：圆形，三角形，六边形，圆形．【变式训练2－2】、（2022秋·北京海淀·七年级校联考期末）用一个平面去截一个正方体，所得的截面的形状不可能是．（填序号）【答案】①③④⑦⑨【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形．【详解】解：当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形，当截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形，当截面为五边形时，不可能出现正五边形，当截面为六边形时，可能出现正六边形．故答案为：①③④⑦⑨．(二)图形的运动例3．（2022秋·全国·七年级专题练习）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（

）A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转【答案】A【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意；B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意；C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意；D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意；故选：A．【变式训练3－1】、（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）夜晚时，我们看到的流星划过属于（

）A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对【答案】A【分析】把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理．【详解】∵把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理，∴选A．【变式训练3－2】、（2023春·上海·六年级专题练习）如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱⊥面．【答案】【分析】根据直线与平面垂直的定义进行判断即可．【详解】解：∵面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，∴棱面，故答案为：．【变式训练3－3】、（2023·全国·七年级专题练习）如图所示，由直角三角形和正方形拼成的四边形．(1)将这个四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是（选择正确的一项序号）①点动成线；②线动成面；③面动成体．(2)求得到的立体图形的体积．（，，r为圆柱和圆锥底面半径，h为圆柱和圆锥的高，结果保留π）【答案】(1)③；(2)【分析】（1）由四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形可知是面动成体；（2）分别求出圆柱体和圆锥体的体积，作差即可【详解】（1）∵四边形是平面图形，绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形∴是面动成体故选③（2）∵∴(三)展开与折叠例4．（2021秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）下列不是三棱柱展开图的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．【详解】解：B、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图；A围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故A不能围成三棱柱，故选：C．【变式训练4－1】、（2023春·云南昭通·七年级校联考期末）在下列四个正方体中，只有一个是用左图所示的纸片折叠而成的，那么这个正方体是（

）A．

B．

C．D．

【答案】D【分析】根据正方体的侧面展开图特点一一排除即可．【详解】∵、的正方体展开后，黑点所在的面分别在小三角形所在面的上面和右边，与所给纸片不符，∴排除和；对于，小圆圈的右边是空白，同样与所给纸片不符合，也可排除；故答案为：．【变式训练4－2】、（2022秋·四川巴中·七年级校考阶段练习）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后（外表面朝上），得到的图形是(

)A． B． C．D．【答案】C【分析】根据平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．注意带图案的三个面相交于一点．【详解】解：由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C．故选：C．【变式训练4－3】、（甘肃省白银市20222023学年七年级上学期期末数学试题）如图，这是一个正方体的表面展开图．如果将其折叠成正方体，那么“白”字对面的字是．【答案】广【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：因为正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以“白”字对面的字是“广”，“银”字对面的字是“民”，“人”字对面的字是“场”，故答案为：广．【变式训练4－4】、（2023春·吉林长春·七年级长春外国语学校校考开学考试）一个正方体的平面展开图如图所示，若将展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则的值为．【答案】【分析】将展开图还原成正方体后，可得：与在相对面上，与在相对面上，与在相对面上，即可求解．【详解】解：将展开图还原成正方体后，可得：与在相对面上，与在相对面上，与在相对面上，因为相对面上的两个数互为相反数，所以，，，所以；故答案：．例5．（2023秋·全国·七年级专题练习）两个完全一样的圆柱，能拼成一个高的圆柱（如图），但表面积减少了．原来一个圆柱的体积是．【答案】【分析】先求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积=底面积×高，即可求解．【详解】解：（立方分米）答：原来一个圆柱的体积是立方分米．故答案为：．【变式训练5－1】、（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）【综合与实践】我们在《几何图形初步》这一章的课题学习中探究了“如何制作长方体纸盒”．小明和小亮在课后对“如何制作正方体纸盒”又进行了探究：【动手操作】小明用一张正方形的纸板，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．小亮用一张长方形的纸张，按如图2所示的方式在纸板的四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，剩余部分折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒．【问题解决】现有一块长为，宽为的长方形纸张，请探究：(1)若，按图1所示的方式剪去的小正方形边长为，做成一个无盖的正方体纸盒，你发现与之间存在的数量关系为_________．(2)若，按如图2方式裁剪，做成一个有盖的正方体纸盒，你发现与之间存在的数量关系为_________．(3)在（2）的条件下，若，求有盖正方体纸盒的表面积．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）分析得出做成的无盖正方体纸盒的棱长是，进而可得；（2）根据图形和正方体棱长都相等的性质可得，，化简得到，（3）然后求出时的值，再根据正方体的表面积公式计算即可．【详解】（1）解：由题意可知，做成的无盖正方体纸盒的棱长是c，故可得：，故答案为：；（2）如图所示由图形可得：，，∴，∴，故答案为：．（3）∵，∴当时，，∴此时有盖正方体纸盒的表面积为：．【变式训练5－2】、（2022秋·河北唐山·七年级统考期末）如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题：(1)与标有B、C的面分别相对的面上标的字母为______和______．(2)若，，，，且相对两个面上代数式的和都相等，求E、F分别代表的代数式．【答案】(1)F、E；(2)，【分析】（1）利用正方体及其表面展开图的特点解题；（2）相对两个面所表示的代数式的和都相等，可得：，从而可求解．从而可求解．【详解】（1）解：由图可得：面A和面D相对，面B和面F，面C和面E相对，故答案为：F、E；（2）由题意得，因为，，，，所以，，解得，．(四)三视图例6．（2023·山东潍坊·统考中考真题）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得．【详解】解：卯的俯视图是

，故选：C．【变式训练6－1】、（2023春·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】根据题意，观察图形，从三视图可知底层有6个小正方体；从主视图看有两层，结合俯视图，可知在第2、3列有两层（从左往右观察）；从左视图看有两层，结合俯视图，可知在第2行有两层（从左往右观察）；即在第二层的第2行的第2、3列有小方块，问题随之得解．【详解】从三视图可知底层有6个小正方体，从主视图看有两层，结合俯视图，可知在第2、3列有两层（从左往右观察）；从左视图看有两层，结合俯视图，可知在第2行有两层（从左往右观察）；即在第二层的第2行的第2、3列有小方块，∴第二层有2个小方块，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（块）．故选：A．【变式训练6－2】、（2023春·安徽安庆·九年级校考阶段练习）如图，这是一个几何体的主视图，则该几何体可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据主视图的概念求解即可．【详解】A.主视图中应该有正方形，选项不符合题意；B.主视图中间竖直方向没有实线和虚线，选项不符合题意；A.主视图中间竖直方向有虚线，选项符合题意；A.主视图中间竖直方向没有实线和虚线，选项不符合题意；故选：C．例7．（2021秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，请在方格纸中用实线画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．【答案】详见解析【分析】三视图的具体画法及步骤为：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”.画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．【详解】解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如下图所示，【变式训练7－1】、（2023·浙江金华·统考一模）如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．(1)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．(2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】（1）根据物体形状即可画出左视图有三列以及主视图、俯视图都有三列，进而画出图形；（2）可在最左侧前端放两个，后面再放一个，即可得出答案．【详解】（1）解：画出图如图所示：

；（2）解：保持主视图和俯视图不变，可在最左侧前端放两个，后面再放一个，最多还可以再搭3块小正方体，故答案为：3．【变式训练7－2】、（2023秋·河南南阳·七年级校联考期末）综合与实践如图①所示的几何体是由边长为1的8个相同小正方