南侨中学2018届高三适应性测试试卷

南侨中学2018届高三适应性测试试卷数学(理科)一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合,，则等于A．B．C．D．2．设为虚数单位，则复数QUOTE的虚部为A. B. C. D.3．在QUOTE中，QUOTE是QUOTE边的中点，QUOTE，QUOTE，则QUOTEA.QUOTEB．QUOTEC．QUOTED．QUOTE4．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（）A．5B．6C．4D．35．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：①；②函数是偶函数；③任意一个非零有理数，对任意恒成立；④存在三个点，使得为等边三角形.第6题图其中第6题图A．4B．3D．16．函数的部分图象如图所示，若，且，则A．B．C．D．7．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是A.B.C.D.8．在平面直角坐标系中，“线QUOTE与线QUOTE平行”是“QUOTE”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件9．如图，空间四边形QUOTE中，点QUOTE分别QUOTE上，QUOTE，则QUOTEA．QUOTEB．QUOTE第10题图C．QUOTED．QUOTE第10题图10．A. B. C. D.11．关于曲线C：，给出下列四个命题：①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C上的点到原点距离的最小值为；③曲线C的长度满足；④曲线C所围成图形的面积满足.上述命题中，真命题的个数是A．4 B．3C．2 D．112.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13．平面向量不共线，且两两所成的角相等，若，则．14．若、满足约束条件，则的最大值为．15.在中，，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为．16．数列满足，则前项的和．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17题图17（本小题满分12第17题图如图，已知中，角的对边分别为，．（Ⅰ）若，求面积的最大值；（Ⅱ）若，求.18（本小题满分12分）已知两数列，满足()，，其中是公差大于零的等差数列，且，，成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.19.（本小题满分12分）设函数．求的极值.20（本小题满分12分）第20题图如图，在四棱锥中，底面是长方形，侧棱底面，且，过D作于F，第20题图过F作交PC于E.（Ⅰ）证明：平面PBC；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）已知，设函数.（Ⅰ）存在，使得是在上的最大值，求的取值范围；（Ⅱ）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围.理科数学参考答案一、选择题(共12小题，每小题5分)4.C9.A10.B二、填空题（共4小题，每小题5分）13.114.15.三、解答题17(12分)解：（Ⅰ）由余弦定理得,……2分，当且仅当时取等号；解得，…4分故，即面积的最大值为.………………6分（Ⅱ）因为，由正弦定理得，…………8分又，故，，…………10分，.………………12分18(12分)解：（Ⅰ）第6小组的频率为1－＋＋＋＋＝，∴总人数为(人)…2分∴第4、5、6组成绩均进入决赛，人数为＋＋×50＝36(人)X012P即进入决赛的人数为36.…………………4分（Ⅱ）=0,1,2,进入决赛的概率为∴～，，.6分所求分布列为，两人中进入决赛的人数的数学期望为.………8分(Ⅲ)甲比乙远的概率”满足的区域为，如图所示.…………10分∴由几何概型.即甲比乙远的概率为.……12分19(12分)解：（Ⅰ）因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以.而，所以.………2分又因为，所以平面.而，所以.………4分又，，所以平面.………6分(2)如图2,由，所以是平面的一个法向量；……8分由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量……10分设平面与平面所成二面角为则，故面与面所成二面角的余弦为.12分20.解：（1）由题意得，得椭圆方程为：4分（2）i)当斜率都存在且不为0时，设，由消得，同理得，故7分当斜率一个为0，一个不存在时，得综上得，得证。…8分（未讨论斜率这扣1分）ii)当斜率都存在且不为0时， 又所以..11分当斜率一个为0，一个不存在时,综上得…12分（未讨论斜率这扣1分）21.（1）由得故在上单调递增，………………3分当时，由上知，即，即，得证.5分（2）对求导，得，…6分记，．由（Ⅰ）知，函数区间内单调递增，又，，所以存在唯一正实数，使得．于是，当时，，，函数在区间内单调递减；当时，，，函数在区间内单调递增．所以在内有最小值，由题设即．…9分又因为．所以．根据（Ⅰ）知，在内单调递增，，所以．令，则，函数在区间内单调递增，所以，即函数的值域为．12分22(10分)解：（Ⅰ）因为，所以，即为圆C的普通方程．……3分所以所求的圆C的参数方程为(为参数)…………5分（Ⅱ）解法一：设，得代入整理得(*)，则关于方程必有实数根…………7分∴，化简得解得，即的最大值为11.………………