【高一同步】第13讲 函数应用教师版

高一数学同步辅导讲义 高一数学同步辅导讲义PAGE1第13讲函数应用【必备知识】1函数的零点：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．备注1：方程的实数解函数的零点函数的图象与轴的交点的横坐标．备注2：函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解．2二分法；对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3常见函数模型函数模型函数解析式一次函数模型反比例函数模型二次函数模型指数型函数模型对数型函数模型幂函数型模型【题型精讲】【题型一求函数零点】【题1】函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】分解因式求解方程的根.【详解】函数的零点，即方程的实数根.由解得，或.故函数函数的零点个数是.故选：D.【题2】函数的零点为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据零点的定义即可求解.【详解】令，得，则．故选：A【题3】函数的零点是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解方程，即可得出答案.【详解】解方程，即，解得或，因此，函数的零点为.故选：.【题4】设是函数的两个零点，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得到是函数的根，再利用韦达定理求解即可.【详解】因为是函数的根，由题意，，，故选：D.【题5】函数的零点是.【答案】/0.5【分析】直接令，解出即可.【详解】令，解得，故答案为：.【题6】已知函数则函数的零点为【答案】【分析】结合函数的解析式分类讨论求解即可．【详解】当时，由，即，解得或（舍），当时，由，解得，综上可得，函数的零点为．故答案为：．【题7】已知函数则函数的所有零点构成的集合为．【答案】【分析】本题即求方程的所有根的集合，先解方程，得到，然后再解方程，可得所求．【详解】函数的零点，即方程的所有根，令，根据函数，方程的解是，则方程的根，即为方程的根，当时，，由，，当时，，由，，综上，函数所有零点构成的集合是.故答案为：.【题8★】已知是函数的零点，则.【答案】【分析】根据题意列出方程，进而得到进行求解即可.【详解】由题可知，，所以，所以，所以，所以.故答案为：【题型二判断零点所在区间】【题1】函数一定存在零点的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数零点存在定理知识可求解判断.【详解】对于A项：，，得：，故区间上不一定存在零点，故A项错误；对于B项：，，得：，故区间上不一定存在零点，故B项错误；对于C项：，，得，故区间上一定存在零点，故C项正确；对于D项：，，得，故区间上不一定存在零点，故D项错误；故选：C.【题2】已知函数，则下列区间中含有的零点的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断在上递增，再根据零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数在上都递增，所以在上递增，又因为，，所以，所以区间含有的零点，故选：B.【题3】函数的零点一定位于区间（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用零点存在性定理即可判定函数的零点所在区间.【详解】因为，所以，，又在上连续不间断，且单调增，所以的零点一定位于区间，故选：B.【题4】函数的零点一定位于下列哪个区间（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用零点的存在性定理进行分析判断即可.【详解】在上为单调递增函数，又，故，所以的零点一定在内.故选：B.【题5】如果是函数的零点，那么一定在下列哪个区间中（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数零点存在性定理进行计算即可.【详解】因为，易得是上的递增函数，因为，所以函数的唯一零点在区间内，故选：【题6】设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则下列必有方程的根的区间为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】C【分析】根据零点存在定理判断．【详解】由题可知函数为增函数，结合零点存在定理知在区间上必有根．故选：C．【题7】函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.【详解】函数为增函数，，，，，所以函数的零点所在的区间为.故选：B【题8】函数的一个零点在内，另一个零点在（

）内.A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意结合零点存在性定理列不等式组求解即可.【详解】因为函数的一个零点在内，所以，又因为函数在连续不断，根据零点存在性定理另一个零点在内.故选：C.【题9】(多选)已知函数的零点所在的区间可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】确定函数有两个零点，计算，，，，得到答案.【详解】，，故函数有两个零点，，，故上有零点；，，故上有零点；故零点所在的区间为，.故选：AD【题10】(多选)若函数图象是连续不断的，且，，则下列命题不正确的是（

）A．函数在区间内有零点B．函数在区间内有零点C．函数在区间内有零点D．函数在区间内有零点【答案】ABC【分析】根据零点存在定理分析判断.【详解】因为，则中有一个小于0，另两个大于0，或三个都小于0.若，又，则，所以函数在区间内有零点；若，又，则，，所以函数在区间，内有零点；若，又，则，所以函数在区间内有零点；若，又，则，所以函数在区间内有零点，综上，函数在区间内必有零点，因此ABC错误，D正确.故选：ABC.【题11】设为方程的解，若，则的值为.【答案】【分析】令，根据函数的单调性，结合零点存在定理，即可得出答案.【详解】由题意可知是方程的解，所以，令，因为，为R上的增函数，根据零点存在定理可得.根据，可得.故答案为:.【题12】已知方程的根在区间，上，则．【答案】【分析】移项作差构造函数后，根据零点定理即可求解.【详解】原问题转化为的零点所在区间问题，函数是增函数，所以，，所以，函数的零点在之间，函数的零点在区间，上，，故答案：．【题型三根据零点求参】【题1】若不等式的解集为，则函数的零点为（

）A．和 B．和 C．2和 D．和【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解，然后根据零点的定义求解即可.【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和2，且，则，解得，故函数，则与轴的交点坐标为和，所以零点为和.故选：D.【题2★】已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】转化为与的图象有2个不同的交点，结合图象可得答案.【详解】函数的图象如下图，方程有且只有两个不相等的实数根可看作的图象与的图象有2个不同的交点，可得.故选：A.【题3】已知的零点为1和3，则．【答案】【分析】根据根与系数的关系求解即可.【详解】因为的零点为1和3，即的两根为1和3，所以，解得，所以，故答案为：【题4】若函数只有一个零点，则实数的值是．【答案】或【分析】分和讨论，当时，利用求解可得.【详解】当时，由得，满足题意；当时，因为只有一个零点，所以，解得.综上，实数的值为或.故答案为：或【题5】已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围是.【答案】【分析】用两个零点表示所求关系式即可求解.【详解】记题设的两个零点为，则由知所以,所以故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将用两个零点表示，结合零点的范围可得答案.【题6★】已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】画出函数和的图像，根据图像知且，解得答案.【详解】，画出函数和的图像，如图所示：不等式恰有一个整数解，则这个整数解为，故且，解得.故答案为：【题7★】已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】令，分析可知，方程有三个不等的实根，由可得，其中，令，其中，则函数和的图象有三个交点，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】令，若函数有三个不同的零点，则方程有三个不等的实根，令，可得，其中，令，其中，则，作出函数和的图象如下图所示：由图可知，当时，直线和的图象有三个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.【题8★】已知函数，若存在非零实数，使得，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，转化为在上存在根，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解.【详解】设，则，使得成立，即在上存在根，设，则的图象与的非负半轴有公共点，因为对称轴的方程为，只需，即，设，则，使得成立，即，即在上存在根，设，则的图象与的负半轴有公共点，因为对称轴的方程为，只需，即，综上可得，实数的取值范围为．故答案为：．【题9】已知定义在的函数，其中．(1)若方程有解，求实数a的取值范围；(2)若对任意实数，不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由题意可将原方程变形为，利用转化的思想可知函数的图象有交点，结合二次函数的性质即可求解；（2）易知函数在区间上为减函数，则、，结合恒成立问题，列出不等式组，解之即可求解.【详解】（1）已知，当时则.要使方程有解有解，即方程有根；转化为函数的图象有交点；又函数的函数值大于，故实数a的取值范围为.（2）由可知，函数在区间上为减函数，；故函数在区间上的最大值为：，最小值为：对于任意实数，不等式在区间上恒成立，等价于：，即，解得，对任意实数恒成立，即，解得：.故实数a的取值范围为.【题10★】已知，(1)若定义在上的函数是奇函数，求a的值；(2)若函数在上有两个零点，求a的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据题意，结合，得出方程，进而求得实数的值；（2）令，得到，得到，令，转化方程可化为上有两个不相等的根，方法一：设，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；方法二：把方程化为，求得，结合，即可求解.【详解】（1）解：因为是奇函数，所以，可得，即恒成立，因为，所以且，所以．（2）解：由，令，可得，所以，两边同乘以并整理，得．令，因为，所以，于是方程可化为，（*）问题转化为关于的方程（*）在上有两个不相等的根，显然，方法一：设，抛物线的对称轴为，．若，由知，必有一个零点为负数，不合题意；若，要使在上有两个零点，由于对数轴，故只需，即，解得．综上可得，实数的取值范围是．方法二：方程（*）可化为，若，则，矛盾，故，故，所以，即或，①;此时，，即，其中，则，即，即，可得，解得②由①②得a的取值范围是．【题型四二分法求方程近似解】【题1】在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据“二分法”的处理过程写出第二次所取区间即可.【详解】由题意，根据二分法取值，即判断或的符号，所以第二次所取区间可能是或.故选：A【题2】下列函数中不能用二分法求零点的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】能用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论.【详解】易知函数的零点为，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，不是异号的，故不能用二分法求函数的零点；而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点；故选：C【题3】判断函数在区间内有无零点，如果有，求出一个近似零点（精确度0.1）？【答案】有，【分析】根据题意，利用零点存在定理可判断函数在区间内有零点，再由二分法求近似解可将零点近似限定在内，即可求得其近似零点.【详解】因为，，且函数的图象是连续的曲线，由零点存在定理可知它在区间内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值1.251.3751.31251.34375由于，所以函数的一个近似零点为.【题4】已知函数在区间内有零点，求方程在区间内的一个近似解．（精确度为0.1）【答案】1.2【分析】根据题意，函数在区间上的零点就是方程在区间内的解，由二分法求出函数在区间上的零点，即可得答案．【详解】根据题意，函数在区间上的零点就是方程在区间内的解，由于函数和均为单调递增函数，所以在区间上递增，，，，则的零点在上，又由，而，则的零点在上，又由，而，则的零点在上，又由，而，则的零点在上，此时满足精确度为0.1，则函数在区间上的零点近似为1.2，故方程在区间内的近似解为1.2．【题型五函数模型的应用】【题1】如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为（

）A．16小时 B．24小时 C．36小时 D．72小时【答案】D【分析】根据给定条件求出解析式，再将代入求值即可.【详解】由题设，，所以时，，此时小时.故选：D【题2】一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：）（

）A．5小时后 B．7小时后C．9小时后 D．11小时后【答案】B【分析】设小时后减少到，依题意可得，两边同时取对数，再根据对数的运算法则计算可得.【详解】设小时后减少到，则，则，即，则，则，则注射时间需小于小时.故选：B．【题3】在一次物理实验中某同学测量获得如下数据：123455.38011.23220.18434.35653.482下列所给函数模型较适合的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由数据中y随x的变化情况，分析适用的函数模型.【详解】由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A中的函数增长速度保持不变，B中的函数增长速度越来越慢，C中的函数是随x的增大而y减小，D中的函数符合题意.故选:D．【题4】红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，面积，再利用二次函数的性质解答即可．【详解】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，面积，墙长，所以，解得，对称轴方程，抛物线开口向下，，函数在上递减，当时，最大为（），故选：C．【题5】2022年12月7日，国务院发布了精准防控新冠疫情的十条最新措施，以减轻疫情防控对企业经营和民众生活带来的损失．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为10万元，最大产能为10