函数的奇偶性教学设计 公开课教学设计

第三节函数的基本性质第三课时函数的奇偶性（李波）一、教学目标（一）核心素养函数的奇偶性从图形观察开始,发现图象典型特征,猜想出相关结论,通过数据验证,给出证明全过程,最后生成概念.这一过程包含了发现、猜想、证明的数学思维方式,也培育了学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数据分析等数学核心素养.（二）学习目标1.了解奇函数、偶函数的定义2.运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性3.结合函数单调性,解决函数的综合问题（三）学习重点1.理解奇函数、偶函数的概念2.判断函数的奇偶性（四）学习难点函数奇偶性的应用二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）偶函数:一般地,如果对于函数的定义域内____一个,都有_______,那么函数就叫做偶函数.（2）奇函数:一般地,如果对于函数的定义域内____一个,都有_______,那么函数就叫做奇函数.详解:（1）任意,;（2）任意,2．预习自测（1）作函数的图象,初步判断函数为奇函数还是偶函数.详解:由图象初步判断为偶函数,为奇函数(二)课堂设计1.知识回顾（1）函数的定义（2）函数的单调性2.问题探究探究一偶函数、奇函数的概念生成●活动①观察函数,图象,探求对称关系本质师:同学初中数学学习过图形的对称关系,请说出上图的对称关系生:,函数图象关于轴对称.师:如何验证,图象的对称关系？生:可以把图象画在一张白纸上,沿着轴对折,轴两边的图象重合.师:作图会有误差的情况出现,有更严谨的验证方法吗？（提示点的坐标）生:可以在图象上取若干个点来验证.师:图象是由点构成的,研究图象对称关系,其实质是研究点的坐标对应关系.因此,我们在图象上取点验证,就涉及到以下几个问题:第一,如何取点？不妨先取部分特殊点（整数点方便计算）:我们由函数解析式,取为整数时,计算相应的值,对应整数点在图象中的位置进行观察.::如下表:可以发现:为坐标的整数点位于函数图象上,且这些整数点在图象上的位置是关于轴对称.第二,如何验证？这些整数点关于轴对称,从“形”上观察:对折后“重合”,即点与点对折后合为一个点.因此在坐标系中这些点不是孤立的,是成对出现的,而且它们的相对位置“远近高低”相同一致.“远近”相同,是指点与轴的距离,即横坐标的绝对值相等.“高低”一致,高度相等,是指点与轴的距离,即纵坐标的绝对值相等.从“数”上分析:由表中数据,“远近”相同时,相应整数点横坐标是互为相反数;“高低”一致时,相应整数点纵坐标是相等的.第三,严谨性.刚才我们对部分整数点进行了验证,由特殊到一般的思想,我们可以验证:在图象上任取一点时,图象上有一个点与之对应,当两点的坐标满足且时,它们对折之后才能重合.由的任意性,确定了相对应点的任意性,只有这样我们才能说整个函数图象关于轴对称.当两点投影到轴时,的取值范围就是函数的定义域,其相互制约关系,也说明了定义域也有对称关系,即定义域关于原点对称.师:由以上探究发现,函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的.若我们在图象上任意取两个点,若它们的坐标满足且（两点任意、横相反、纵相等）,就可以说该图象关于轴对称,我们称这类函数为偶函数.【设计意图】图象的对称实质的研究,让学生更深层次体会函数图象与数量关系的本质联系,进一步加深了函数对应关系这一核心思想的理解.●活动②偶函数概念的生成师:按照函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的思想,及“两点任意、横相反、纵相等”的原则,能否定义偶函数.生:图象关于轴对称的函数为偶函数.师:函数以定义域优先的原则,从数量关系上定义更严谨,参考函数单调性的定义.生:一般地,函数,定义域内任取,满足且时,称为偶函数.师:这位同学抓住了“两点任意、横相反、纵相等”的原则,我们在此基础上进行提炼,“任取满足”可以变形为.可把这个关系简化为“与”,因此我们如下定义偶函数:一般地,函数定义域,（）都有时,那么称为偶函数.师:若为偶函数,图象满足哪些性质呢？对应到函数的定义域呢？生:图象关于轴对称.函数的定义域关于对称.师:这样说可以吗？（1）偶函数图象关于轴对称.（2）图象关于轴对称的函数是偶函数.（3）偶函数的定义域关于对称.（4）定义域关于对称的函数是偶函数.生:（1）由定义是正确的;（2）是定义推导的起源是正确的;（3）由图象在轴投影的对应关系,或由定义“两点任意、横相反”知,是正确的;（4）函数,定义域关于原点对称,图象不关于轴对称,不正确.【设计意图】图象的对称关系的实质探究,让学生从“形”定性的认识,到“数”的定量分析;研究图象,就研究其构成元素所有点的坐标关系,由特殊点再到任意点,由函数对应关系的本质,深入到定义域,值域层面研究.整个探究过程由外到内、由形到数、由整体到局部、由特殊到一般的思想,体现了数学概念生成过程趣味横生.●活动=3\*GB3③奇函数的概念生成师:由（4）知,并不是所有的函数都是偶函数,偶函数只是众多函数中较典型的一类.请同学们观察函数,图象,完成下面两个函数值对应表.师:请观察,图象,及函数值对应表特征,上图有何对称关系？如何验证？生:,图象关于原点成中心对称关系,函数图象整体围绕着旋转与原图象重合.师:由上面的推导,函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的.同学们能总结关于图象关于原点对称的本质关系吗？生:在图象上任取一点时,图象上有一个点与之对应,当两点的坐标满足且时,它们对折之后才能重合.由点的任意性,确定了相对应点的任意性,只有这样我们才能说整个函数图象关于原点对称.当两点投影到轴时,的取值范围就是函数的定义域,其相互制约关系,也说明了定义域也有对称关系,即定义域关于原点对称,也说明了值域也有对称关系,即值域关于原点对称.师:我们在图象上任意取两个点,若它们的坐标满足且（两点任意、横相反、纵相反）,就可以说该图象关于原点对称,我们称这类函数为奇函数.师:由偶函数定义,及“两点任意、横相反、纵相反”的原则,能否定义奇函数.生:一般地,函数定义域,（）都有时,那么称为奇函数.师:若为奇函数,图象满足哪些性质呢？对应到函数的定义域呢？生:图象关于原点对称.函数的定义域关于原点对称.师:这样说可以吗？（1）奇函数图象关于原点对称（2）图象关于原点对称的函数是奇函数（3）奇函数的定义域关于原点对称（4）定义域关于原点对称的函数是奇函数生:（1）由定义是正确的;（2）是定义推导的起源是正确的;（3）由图象在轴投影的对应关系,或由定义“两点任意、横相反”知,是正确的;（4）也可能是偶函数,不正确.师:我们对偶函数、奇函数的定义作了介绍,我们称函数的这类性质为奇偶性.奇偶性是一部分函数的性质,因此我们在判断函数是否奇偶性？第一,图象法.可以从图象特征观察:若图像关于轴对称,我们称之为偶函数,否则该函数不是偶函数;若图像关于原点对称,我们称之为奇函数,否则该函数不是偶函数;因此,从奇偶性的角度可以将函数分类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数（简称非奇非偶函数）.第二,定义法.也可以从数量特征观察:首先判定函数定义域是否关于原点对称,若不对称,则该函数为非奇非偶函数;若对称,再判断与关系:如果,则该函数为偶函数.如果,则该函数为奇函数.【设计意图】偶函数的概念生成,为奇函数的概念引入奠定了基础,有共同的思维方式,也有不同的内在体现,让学生对函数奇偶性的概念生成过程,及本质内涵有更深的理解.探究二:函数奇偶性的判断.●活动①定义法判断函数奇偶性.例1判断下列函数的奇偶性,并说明理由.（1）（2）【知识点】函数奇偶性【数学思想】【解题过程】解：（1）函数的定义域不关于原点对称.为非奇非偶函数（2）函数的定义域关于原点对称.为偶函数【思路点拨】由定义法判断【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数同类训练:判断下列函数的奇偶性,并说明理由.（1）（2）【知识点】函数奇偶性【数学思想】【解题过程】解：（1）函数的定义域不关于原点对称为非奇非偶函数（2）函数的定义域关于原点对称为偶函数【思路点拨】定义法灵活运用【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数【设计意图】让学生明确定义法判断函数奇偶性的步骤.●活动=2\*GB3②定义法、图象法判断函数奇偶性.例2:判断函数的奇偶性【知识点】分段函数奇偶性【数学思想】化归思想、数形结合思想【解题过程】解：的定义域关于原点对称.当时,当时,综上所述,,奇函数.【思路点拨】定义法、用图象法【答案】奇函数同类训练判断函数的奇偶性【知识点】函数奇偶性【数学思想】化归思想、数形结合思想【解题过程】解：当时,当时,综上所述,,奇函数【思路点拨】对于较熟悉的函数,可以作函数图象法判断单调性.【答案】奇函数【设计意图】定义法、图象法灵活运用,判断函数奇偶性.●活动=3\*GB3③利用性质法判断函数奇偶性.例3判断函数奇偶性.【知识点】性质法:对于两个函数在定义域关于原点对称的情形下,函数的奇偶性质,偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）仍为奇（偶）函数;一个奇函数与偶函数的积为奇函数,这样的方法称为性质法.【数学思想】化归思想【解题过程】解：函数的定义域关于原点对称.记:,函数的定义域关于原点对称.,为偶函数;,函数的定义域关于原点对称.,为偶函数.性质法:为偶函数.【思路点拨】函数的定义域必须满足定义域关于原点对称,且定义域的交集为的定义域也必须关于原点对称,判断各分函数的奇偶性,再判断复合后的奇偶性.【答案】偶函数同类训练判断奇偶性.【知识点】奇偶性判断【数学思想】化归思想【解题过程】函数的定义域关于原点对称为奇函数.【思路点拨】可由性质法证明【答案】奇函数【设计意图】在部分题目特别是选择题、填空题判断奇偶性时,性质法方便快捷,但此部分涉及到复合函数定义域的问题,对学生能力要求较高.探究三:函数综合问题●活动①奇偶函数图象问题例4如图所示为偶函数的局部图象,试比较与的大小．【知识点】函数奇偶性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：作在的图象关于轴对称的图象．由图象知【思路点拨】利用奇偶性，找出另一区间的图象【答案】同类训练如图所示为奇函数的局部图象,试比较与的大小．【知识点】函数奇偶性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：法一:由图象知,又是奇函数.,法二:因为是奇函数,故由对称性可作出时的图象,由图象知．【思路点拨】利用奇偶性，找出另一区间的图象【答案】【设计意图】由于奇函数、偶函数图象的对称性,因而如果知道一个函数是奇函数或偶函数,只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分,得出函数在一部分上的性质和图象,就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象．●活动=2\*GB3②函数奇偶性的应用例5若是定义在上的奇函数,当时,,求函数的解析式．【知识点】利用奇偶性求解析式【数学思想】转化与化归思想【解题过程】解：法一:是定义在上的奇函数,,.当时,,．∴函数的解析式为.法二:是定义在上的奇函数,,.令,若,则,且.,,即．,时,．∴函数的解析式为.【思路点拨】在未知范围内取值，利用转化到已知范围内的函数解析式求解；也可以用图象对称关系，待定系数法求解析式。【答案】同类训练若是定义在上的偶函数,且.当时,,求函数的解析式.【知识点】利用奇偶性求解析式【数学思想】转化与化归思想【解题过程】解：时,,．∴函数的解析式为【思路点拨】在未知范围内取值，利用转化到已知范围内的函数解析式求解；也可以用图象对称关系，待定系数法求解析式。【答案】【设计意图】此类问题的一般做法是:①“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,就设在哪个区间内．②要利用已知区间的解析式进行代入．③利用的奇偶性写出或,从而解出．●活动=3\*GB3③函数奇偶性与单调性的综合的应用.例6设定义在上的奇函数在区间上单调递减,若,求实数的取值范围．【知识点】奇偶性在抽象函数中的应用【数学思想】转化与化归思想【解题过程】解：在上的奇函数,且在上单调递减【思路点拨】列不等式组解得范围【答案】同类训练设定义在上的偶函数,当时,单调递减,若成立,求的取值范围．【知识点】奇偶性在抽象函数中的应用【数学思想】转化与化归思想【解题过程】解：在上为偶函数,在单减,,解得【思路点拨】利用偶函数的性质求解【答案】例7设是定义在上的增函数,且对任意都有（1）求,并证明在上是奇函数.（2）若,解关于的不等式.【知识点】奇偶性在抽象函数中的应用【数学思想】转化与化归思想【解题过程】（1）解：令,得令,对任意的实数有在上是奇函数.（2）令在上是增函数,【思路点拨】【答案】（1）0；（2）同类训练已知函数对一切,都有.（1）判断函数的奇偶性;（2）若,用表示.【知识点】奇偶性在抽象函数中的应用【数学思想】转化与化归思想【解题过程】解：（1）定义域关于原点对称.令,,得令,,即,为奇函数（2）,,为奇函数.【思路点拨】抽象函数单调性的判断方法:利用函数奇偶性的定义,找准方向（尽量构造与）,巧妙赋值,合理灵活地变形配凑,找到与关系,得出结论.【答案】（1）奇函数；（2）【设计意图】函数单调性的实质是自变量的变化与函数变化的内在统一性,解答这类题的思路是:先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“”的式子,然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．3.课堂总结知识梳理（1）探究奇函数、偶函数的概念生成（2）判断函数奇偶性（3）函数的综合应用重难点归纳（1）理解奇函数、偶函数的定义（2）判断函数奇偶性（三）课后作业基础型自主突破1.若函数,则函数在其定义域内是（）A.单调递增的偶函数B.单调递增的奇函数C.单调递减的偶函数D.单调递减的奇函数【知识点】函数奇偶性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:在单减，奇函数【思路点拨】利用图象翻折变换【答案】D2.已知函数是定义在上的偶函数,且,则下列各式一定成立的是（）A.B.C.D.【知识点】偶函数性质【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：是定义在上的偶函数∴f3【思路点拨】奇偶性与单调性相结合【答案】C3.若是偶函数,则的单调增区间是_______.【知识点】函数奇偶性、单调性【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：当时，，非奇非偶函数函数当时，为二次函数，且为偶函数，单调增区间【思路点拨】，对二次项系数分类讨论，结合一次函数、二次函数图象性质求单调区间【答案】4.下列函数中是奇函数,且在内单调递增的函数是（）A.B.C.D.【知识点】函数的奇偶性【数学思想】化归思想【解题过程】解：奇函数，在非奇非偶函数；偶函数【思路点拨】常见函数类型，其奇偶性、单调性要灵活掌握【答案】D5.函数均为奇函数,定义域都为（）,则为（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断奇偶性【知识点】抽象函数的定义域【数学思想】化归思想【解题过程】解：均为奇函数,定义域都为满足，关于原点对称的定义域为关于原点对称奇函数【思路点拨】复合函数奇偶性，定义域优先的原则，再对比关系【答案】A6.已知函数在内是减函数,函数是偶函数,则（）A.B.C.D.【知识点】函数奇偶性、图象对称性【数学思想】化归思想【解题过程】解：是偶函数，则关于对称在，离越近函数值越大【思路点拨】利用图象平移，结合奇偶性解题【答案】C能力型师生共研7.已知函数是定义在上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值为_______【知识点】函数奇偶性【数学思想】等价变换思想【解题过程】解：令：；令：；令：【思路点拨】利用函数奇偶性，代特殊值计算【答案】08.已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x|x-2|．（1）求f（-3）；（2）求当x＜0时，f（x）的解析式．【知识点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法【数学思想】等价转化思想【解题过程】解：（1）∵f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x|x-2|，∴f（-3）=-f（3）=-3；（2）∵y=f（x）是R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-（-x）|-x-2|=x|x+2|【思路点拨】【答案】（1）f（-3）=-3；（2）f（x）=x|x+2|探究型多维突破9.定义在上的函数,当时,,且对任意都有（1）求证:;（2）求证:对任意,恒有（3）若,求的取值范围【知识点】抽象函数综合问题【数学思想】化归思想【解题过程】（1）证明：;（2）证明：,则,由（1）及已知,对任意恒有（3）解：任取,且在上是增函数【思路点拨】抽象函数的奇偶性、单调性综合应用【答案】（3）10.二次函数的图象顶点为,且图象在轴上截得的线段长为8.（1）求函数的解析式;（2）令（=1\*ROMANI）求函数在上的最小值;（=2\*ROMANII）若当时,不等式恒成立,试求实数的取值范围.【知识点】二次函数综合问题【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：（1）设与轴交点坐标为,由根与系数的关系:,解得（2）（=1\*ROMANI）当a≤0时,;当a≥2时,（=2\*ROMANII）=1\*GB3①当时,恒成立,只需要,即,=2\*GB3②当时,恒成立,只需要,即,=3\*GB3③当时,恒成立,只需要即,即矛盾由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③:【思路点拨】结合二次函数图象单调区间求解【答案】（1）