2022年福建省高考数学考前预测试卷（含解析）

器也堵焉考猿学考嗡登制被基

一、单选题(60分)

1.已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且满足/(1)=1,/(2)=3,则

/⑻一/(5)=

A.-4B.-2C.2D.4

2.满足｛2018｝oAc｛2018,2019,2020)的集合A的个数为

A.1B.2C.3D.4

2-i

3.复数一r在复平面内对应的点位于

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.题目略长，不要彷徨，套路不深，何必当真.荆州某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、

丁4名志愿者，随机安排2人到A展区,另2人到B展区维持秩序，则甲、乙两人同时被

安排到A展区的概率为

11-11

A.—B・一C.D.—

12632

5.己知等差数列｛4｝的前〃项和为S,.若$5=7,S]o=21,则S]5=

A.35B.42C.49D.63

,x-y+2>0,

6.已知实数羽y满足，x+2y-740,贝i」2x+3y的最大值为()

.”1，

A.1B.11C.13D.17

7.为了得到函数y=cos2%—sin2x+l的图象,只需将函数y=(sinx+cosx)2的图象

TT

A.向右平移；个单位长度B.向右平移;个单位长度

24

TT

C.向左平移一个单位长度D.向左平移四个单位长度

24

8.执行如图所示的程序框图，若输入x=64,则输出的结果为

9.如图，网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视

图，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则这个儿何体的体积可能是

c8

B.2万+一

3

D.8万+8

，4G=4,4a=5,AA,=2,则其外接

球与内切球的表面积之比为

C.—D.29

2

12.己知直线/：依-丁-22+1=。与椭圆6交于4、B两点，与圆

G：(x-2)2+(y-l)2=l交于c、Q两点.若存在々e[-2,—l],使得恁=丽，则椭圆G

的离心率的取值范围是()

二、填空题(20分)

13.已知向量云=(一1,3),B=(l,r),若他一2b)，万，则向量之与向量5的夹角为.

14.已知双曲线的渐近线方程为3x±4y=O,焦点坐标为(±5,0),则双曲线的方程为一.

15.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x3-2x2,曲线

>=/(x)在点(1,7(D)处的切线方程为.

16.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂,

但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即

一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1,线段的

长度为a,在线段A3上取两个点C,。，使得AC=£）8=以C0为一边在线段A3

4

的上方做一个正六边形，然后去掉线段C。，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段

作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第"个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为S“，现给出有关数列｛S,｝的四

个命题：

①数列⑸｝是等比数列；

②数列｛S,,｝是递增数列；

③存在最小的正数4,使得对任意的正整数〃，都有5“>2018；

④存在最大的正数“，使得对任意的正整数〃，都有S“<2018.

其中真命题的序号是（请写出所有真命题的序号）.

三、解答题（70分）

17.在AABC中，C=60°,BC=2AC=2瓜

（1）求证：AABC是直角三角形；

（2）若点。在8C边上，且sin/8AO=2包，求CO.

7

18.如图1所示，在梯形3CDE中，DE//BC,且。七=，6。，NC=90。，分别延长

2

两腰交于点A，点尸为线段CO上的一点，将闻）£沿。E折起到△AOE的位置，使

A.FA.CD,如图2所示.

(1)求证：A1F1.BE；

(2)若8C=6,AC=8,四棱锥4一BCOE的体积为126，求四棱锥A-BCDE的

表面枳.

19.某公司计划购买1台机器，且该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次

性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支

付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，

则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一

次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期间的维修次数，得

如下统计表：

维修次数89101112

频数1020303010

记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，)表示1台机器在维修上所需的费用(单位：

元)，”表示购机的同时购买的维修服务次数.

(1)若〃=10,求y关于％的函数解析式；

(2)若要求“维修次数不大于〃”的频率不小于0.8,求”的最小值；

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务或每台都购买11次维修服

务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1

台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？.

20.已知抛物线C：V2Px(p>0),且。(g,0),,N(〃,4)三点中恰有两点

在抛物线C上，另一点是抛物线C的焦点.

(1)求证：。、M、N三点共线；

(2)若直线/过抛物线C的焦点且与抛物线C交于A、8两点，点A到x轴的距离为4,

点B到y轴的距离为4，求4*+d；的最小值.

21.已知函数/1(x)=lnx+x2-av.

(1)若a>0,求函数/(x)的极值点；

(2)若函数/(X)有两个极值点X1,x2,且为<々，

求证：1(％)一4/)之11112.

x=cos(p,

22.在直角坐标系X。)，下，曲线G的参数方程为《,(9为参数)，曲线C,的

y=1+sin°,

x-tcosa,TI

参数方程为<(f为参数，且f»0,Q<a<-),以坐标原点。为极点，x轴

y=fsma,2

的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线a的极坐标方程为0=2rcos6,常数r>0,曲线

C?与曲线G，G的异于。的交点分别为A，B.

(1)求曲线G和曲线G的极坐标方程；

⑵若+臼的最大值为6,求/•的值.

23.设函数/(x)=|2x+l|+|x-a|(a>0).

(I)当a=2时，求不等式/*)>8的解集；

3

(2)若HxeR,使得了COW］成立，求实数〃的取值范围.

答案

1.D

2.C

3.A

4.B

5.B

6.C.

7.D

8.C

9.B

10.A

11.A

12.C

7T

13.一

4

【详解】

•.•@=（一1,3）,5=（1,。，

则2=（T3）-2（/）=（-33-2,）,

一26）_1_&,二（无一25）•万=0,

即3+3x（3-2/）=0,解得r=2,

.-.5=（1,2）,

则M・石=-1+6=5，

a-b5也

则cos4,6

同间y/lOxy/52，

7C..,7t

又,:a,be[0,万],r.a,b=—，故答案为二.

44

详解：将3x±4y=0化为'±2=0,

43

22

设以汽士2=0为渐近线的双曲线方程为三-二=4,

43169

又因为该双曲线的焦点为(±5,0),

所以164+92=25,

22

解得2=1,即双曲线方程为工-二二1.

169

15.7x-y-4=0

16.®@

【解析】

由题意，得图1中线段为"，即S1=。；

图2中正六边形边长为晟，则S2=B+~|x4=E+2a；

图3中的最小正六边形边长为；，则S3=S2+£x4=S2+a；

图4中的最小正六边形边长为q，则S4=S3+@x4=S2+色；

882

a

由此类推，

2^

所以｛S,｝为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确;

因为S〃=S]+(S2-51)+(53—S2)H----F(Sn-Sn_})=a+2a+a+--\---卜

2。(一)

ciH----------j----=a+4。(1-<5a,

1--

2

201Q

即存在最大的正数。=「三，使得对任意的正整数〃，都有S“<2018,

即④正确；③错误，

综上可知正确的由②④.

17.（1）直角三角形；（2）空

3

【解析】

分析：（1）先利用余弦定理得到A3的值，再利用勾股定理进行证明；（2）先利用诱导公式

和两角和的正弦公式求出相关角的正弦值，再利用正弦定理进行求解.

详解：（1）在AABC中，C=60°,6c=26，AC=6

由余弦定理，得AB?=AC2+8C2-2AC-BC-COSC=9

所以AB=3,

所以他2+4。2=8。2,所以ABLAC,

所以4=90°,所以AABC是直角三角形.

(2)设=则sina=迫，ADAC=90°-a,0°<a<90°,

7

所以sinZDAC=sin(90°一a)=cosa=

在AACD中，ZADC=1800-ZZMC-C=180o-(90o-a)-60o=a+30°,

sinZADC=sin(a+30°)=sinacos300+cosasin300

277V372113x/21

=----X----1----X—=-----,

727214

CDAC

由正弦定理得,

sinZDAC~sinZADC

ACsinZDAC_273

所以CD=

sinZAPC3

18.(1)见解析；(2)36+473+2739

【解析】

分析：（1）先利用直角三角形和线线平行的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理

和性质得到线面垂直和线线垂直；（2）分析四棱锥的各面的形状，利用相关面积公式进行求

解.

详解：(1)因为NC=90。，BMC1BC,ii.DE//BC,

4

所以OE_LAC,则。E_L£)C,DEIDA],

又因为。Cr)D4=。，所以。平面AQC

因为AiFu平面AiDC,所以。E_LA|E

又因为4F_LCZ),CDHDE=D,所以A|F_L平面BCDE,

又因为8Eu平面3C£>E,所以4凡LBE.

(2)由已知£>E〃BC,KDE=^BC,得。，E分别为AC,AB的中点，

22

在RtAABC中，AB=76+8=10'则A|E=EB=5,AtD=DC=4,

则梯形BCDE的面积Si=gx(6+3)x4=18,

四棱锥4—BCDE的体积为V=lx|8xA,F=12x/3，即4尸=2铺，

在RSAQF中，。厂=，42—(2百『=2，即/是CZ)的中点，

所以A|C=4Q=4,

因为。E〃BC,OE_L平面AQC,

所以8CL平面4OC,所以BCLAC,所以4§=&7斤=2Ji耳，

在等腰AABE中，底边A山上的高为,52-(而『=26，

所以四棱锥Ai—BCDE的表面积为S=S|+S.A"+S.”c++^A,B£

=18+；x3x4+Ix4x2.j3+卜6'4+；x2JHx2#=36+4#+2屈

50x+2000,x<10,

19.(1)y=vxeN；(2)见解析；(3)10次.

500x-2500,x>10,

【详解】

200xl0+50尤,x<10,

（1）>=<

250xl0+500（x-10）,x>10,

50x+2000,x<10,

即y=<XGN

500x-2500,x>10,'

10+20+30^0,6<0,8,

（2）因为“维修次数不大于10”的频率=

100

10+2°+3°+3°=。强。.8,

“维修次数不大于11”的频率=

100

所以若要求“维修次数不大于〃”的频率不小于0.8,则n的最小值为11.

（3）若每台都购买10次维修服务，则有下表:

维修次数X89101112

频数1020303010

费用y24002450250030003500

此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为

2400x10+2450x20+2500x30+3000x30+3500x10=273。（元）

乂=

100

若每台都购买11次维修服务，则有下表:

维修次数X89101112

频数1020303010

费用y26002650270027503250

此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为

2600x10+2650x20+2700x30+2750x30+3250x10=275。（元）

%=

100

因为乂<J、，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务.

20.（1）见解析；（2）8.

【解析】

分析：（1）先根据三点坐标判定三点与抛物线的位置，再确定三点坐标，利用两直线的斜率

相等判定三点共线；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于y的一元二次

方程，利用根与系数的关系、基本不等式进行求解.

详解：⑴由条件，可知11,N（〃,4）在抛物线C上，Q（q,O）是抛物线。的焦点.

(一吁=2p1

p=2,

所以<42=2pm解得<q=1,

〃=4,

所以。(1,0),N(4,4),

-1-04

k=—___=_4_04

所以113，左QN=~一~=彳，所以="QN，

,一］4-13

4

所以。、M>N三点共线.

（2）由条件可知勺。0,可设/:x=冲+1,

代入C:y2=4x,得9一4根〉一4=0,

A=16m2+16>0，解得mcR.

设则%%=-4,

所以i—+—：+a2K1=2谏1=8,

%=也

当且仅当y：=。,BP-乂=一省时,M+4)=8

L或7cle\/nun

y2=-2v2y2=2y2

21.（1）见解析；（2）见解析

详解：（1）/（力的定义域为（0,+8），f\x）=2V~aX+i

①若()<a<20，则△="一840,

所以当x>0时，/'3=2'二少+!"0,

所以/（x）在（0,+8）上单调递增,

所以/（x）无极值点.

②若a>2行,则△>（），

由r（x）=0得玉/

当x的值变化时，尸（x）,/（X）的值的变化情况如下：

（o，x）（%2，+8）

X再（西,工2）%2

/1«+0-0+

/（X）/极大值极小值/

2

所以/（X）有极大值点X1=a7：_g,极小值点々=a+'：-8

（2）由（1）及条件可知

八a-Ja1-82<2_1

0<X,-,-----4「---1-），

4a+^Ja2-83+j3--82

i1cl

且玉+々=彳a，3七=5,即£~~,a^2%+一，

2

所以/（玉）_/（々）-lax,+x--ax}-lax2-x2+ax2=21riX|+ln2x]+,

i己g（x）=21nx+ln2-x2+^ly,xw（°，；，

因为当时，g<x）=--2x-----=（2%1）<0，

12」x2x2x3

所以g（x）在［og上单调递减，

i<]\33

因为0<x〈e，所以g（x）Ng],J=j—ln2,即/（3）_/（X2）Nw