人教版高数选修第2讲：导数的计算

导数的计算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、几个常用函数的导数：1．函数的导数根据导数定义，因为所以函数导数表示函数图像（图）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数的导数因为所以函数导数表示函数图像（图）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数的导数因为所以函数导数表示函数图像（图）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．4．函数的导数因为所以函数导数（2）推广：若，则二、基本初等函数的导数公式：函数导数2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点导数运算法则1．2．3．推论：（常数与函数的积的导数，等于：）提示：积法则,商法则,都是前导后不导,前不导后导,但积法则中间是加号,商法则中间是减号.类型一：利用公式及运算法则求导数例1．求下列函数的导数：（1）； （2）（3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4解析：（1）.（2）.（3）∵，∴.（4）总结升华：①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）；（2）（3）y=6x3―4x2+9x―6【答案】（1）.（2）∴.（3）例2．求下列各函数的导函数（1）； （2）y=x2sinx;（３）y=； （４）y=解析：（1）法一：去掉括号后求导.法二：利用两个函数乘积的求导法则=2x(2x－3)+(x2+1)×2=6x2－6x+2（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx（３）=（4）==举一反三：【变式1】函数在处的导数等于()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D法一：∴.法二：∵∴∴.【变式2】下列函数的导数（1）； （2）【答案】（1）法一：∴法二：=+（2）∴【变式3】求下列函数的导数.（1）；（2）；（3）.【答案】（1），∴.（2），∴.（3）∵，∴.类型二：复合函数的求导例3．求下列函数导数.（1）； （2）；（3）； （4）.思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导.解析：（1），..（2），∴（3），.∴（4），，∴.总结升华：①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单；②求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数举一反三：【变式1】求下列函数的导数：(1)； （2）（3）y=ln（x＋）； （4）【答案】(1)令,,（2）令（3）=＝（4）类型三：求曲线的切线方程例8．求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.解析：，x=1时，y=3，∴切点为（1，3），切线斜率为5切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.总结升华:求函数图像上点处的切线方程的求解步骤：求出函数的导函数求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率），用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.解析：∵∴切线的斜率.∴切线方程为，即.【变式2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是________.【答案】的导数为.设切点，则.∵的斜率，又切线平行于，∴，∴，∴切点，∴切线方程为，即.【变式3】已知曲线.（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【答案】（1）将代入曲线的方程得，∴切点.∵，∴.∴过点的切线方程为，即.（2）由可得，解得或.从而求得公共点为，或.∴切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点.例9．已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.（1）求直线的方程；（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.解析：（1），直线的方程为.设直线过曲线上的点，则的方程为，即.因为，则有，.所以直线的方程为.（2）解方程组得所以直线和的交点坐标为.、与轴交点的坐标分别为（1，0）、，所以所求三角形的面积为.举一反三：【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程【答案】设切点坐标为∴切线在点的斜率为切线与直线平行，斜率为4∴，∴或∴切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为或即或【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________.【答案】由题意，切线的斜率为，∴切线方程为，与轴交点为，直线的交点为（2，4），∴.【变式3】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.【答案】由题意知，∴曲线在（0，1）处的切线的斜率∴该切线方程为设的方程为，则，解得，或.当时，的方程为；当时，的方程为综上可知，的方程为或.双基自测1．下列求导过程中①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)；②(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))；③(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,xlna)；④(ax)′＝(elnax)′＝(exlna)′＝exlnalna＝axlna其中正确的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4答案D2．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()．A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)解析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案C3．(2011·湖南)曲线y＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1,2)在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为()．A．－eq\f(1,2) \f(1,2) C．－eq\f(\r(2),2) \f(\r(2),2)解析本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力．y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2)＝eq\f(1,1＋sin2x)，把x＝eq\f(π,4)代入得导数值为eq\f(1,2).答案B4．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()．A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1,0)解析令f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2x－2x＋1,x)＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.故选C.答案C5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝______；＝________(用数字作答)．答案2－2__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．[2011·江西卷]若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为()A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1，0)1．C[解析]f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)>0，即eq\f(x2－x－2,x)>0.∵x>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2.2．曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝2x－3 D．y＝－2x－22．A[解析]∵y′＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,（x＋2）2)))eq\s\do7(x＝－1)＝2，∴切线方程为y＝2x＋1.3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－13．A[解析]∵y′＝2x＋a＝a，∴a＝1，(0，b)在切线x－y＋1＝0上，∴b＝1.4．y＝eq\f(cosx,1－x)的导数是()A．y′＝eq\f(cosx＋sinx＋xsinx,（1－x）2)B．y′＝eq\f(cosx－sinx＋xsinx,（1－x）2)C．y′＝eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x)D．y′＝eq\f(cosx＋sinx－xsinx,（1－x）2)4．B[解析]y′＝eq\f(－（1－x）sinx－（－1）cosx,（1－x）2)＝eq\f(cosx－sinx＋xsinx,（1－x）2).eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2012·沈阳模拟]若函数y＝eq\f(x3,3)－x2＋1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是()\f(π,4) \f(π,6) \f(5π,6) \f(3π,4)5．D[解析]y′＝x2－2x，当0<x<2时，－1≤y′<0，即－1≤tanα<0，故eq\f(3π,4)≤α<π，α的最小值为eq\f(3π,4).6．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝eq\f(π,2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于()A．－2 B．－1 C．1 D．26．D[解析]f′(x)＝sinx＋xcosx，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1，即函数f(x)＝xsinx＋1在x＝eq\f(π,2)处的切线的斜率是1，直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－eq\f(a,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))×1＝－1，解得a＝2.7．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()A．26 B．29 C．212 D．2157．C[解析]f′(x)＝[x·(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.8．若曲线y＝x－eq\f(1,2)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a－\f(1,2)))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64 B．32 C．16 D．88．A[解析]y′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)，所以k＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)，切线方程为y－a－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)(x－a)．令x＝0，得y＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)；令y＝0，得x＝3a.所以三角形的面积是S＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)＝eq\f(9,4)aeq\f(1,2)＝18，解得a＝64.9．已知点P在曲线y＝eq\f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))9．D[解析]由于y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,ex＋1)))′＝－eq\f(4ex,（ex＋1）2)，而α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则k＝tanα＝－eq\f(4ex,（ex＋1）2)<0.又(ex＋1)2≥(2eq\r(ex))2＝4ex，当且仅当ex＝1，即x＝0时，取等号，那么k＝tanα＝－eq\f(4ex,（ex＋1）2)≥－1，即－1≤k<0，那么对应的α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).10．[2012·深圳模拟]已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．10．0或－eq\f(2,3)[解析]由题意2x0＝－3xeq\o\al(2,0)，解得x0＝0或－eq\f(2,3).11．直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________．11．ln2－1[解析]y′＝eq\f(1,x)，令eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)得x＝2，故切点(2，ln2)，代入直线方程，得ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，所以b＝ln2－1.12．曲线y＝eq\f(1,4)x2过点4，eq\f(7,4)的切线方程是________．12．14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0[解析]设此切线方程与抛物线相切于点P（x0，eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)）.由导数的概念可得eq\f(\f(7,4)－\f(1,4)xeq\o\al(2,0),4－x0)＝eq\f(1,2)x0，整理得xeq\o\al(2,0)－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，点P（7，eq\f(49,4)）或P（1，eq\f(1,4)）.代入两点式得直线方程为14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.13．已知f(x)＝eq\f(ex－e－x,ex＋e－x)，则f′(0)＝________．13．1[解析]∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex－e－x,ex＋e－x)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2x－1,e2x＋1)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,e2x＋1)))′＝2(e2x＋1)－2·e2x·2＝eq\f(4e2x,（e2x＋1）2)，∴f′(0)＝eq\f(4,4)＝1.14．(10分)求下列函数的导数：(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))；(2)y＝e1－2x＋ln(3－x)；(3)y＝lneq\f(1－x,1＋x).14．解：(1)y′＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))′－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))′＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)).(2)y′＝e1－2x·(1－2x)′＋eq\f(1,3－x)·(3－x)′＝－2e1－2x＋eq\f(1,x－3).(3)∵y＝ln(1－x)－ln(1＋x)，∴y′＝eq\f(1,1－x)·(1－x)′＋eq\f(1,1＋x)(1＋x)′＝eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,x＋1)＝eq\f(2x,x2－1).15．设函数f(x)＝ax＋eq\f(1,x＋b)(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．15．解：(1)f′(x)＝a－eq\f(1,（x＋b）2)，于是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(1,2＋b)＝3，,a－\f(1,（2＋b）2)＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,4)，,b＝－\f(8,3).))因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋eq\f(1,x－1).(2)证明：已知函数y1＝x，y2＝eq\f(1,x)都是奇函数．所以函数g(x)＝x＋eq\f(1,x)也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1，可知函数g(x)