2022年解析华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形定向测评试题

八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形定向测评

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，点E在边长为5的正方形A8CD的边CQ上，将出绕点A顺时针旋转90。到的位

置，连接EF,过点A作正的垂线，垂足为点”，与5c交于点G.若CG=2,则CE的长为（）

9

C.4D.-

2

2、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

3、已知在平行四边形46切中，ZJ=90°,如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个

条件可以是（）

A.Ng90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD

4、将一长方形纸条按如图所示折叠，N2=55。，则4=（)

A.55°B.70°C.110°D.60°

5、下列四个命题中，真命题是（）

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.以一条对角线为对称轴的四边形是菱形

D.对角线相等的四边形是矩形

6、在菱形4池中，对角线劭相交于点0,AB=5,AC=6,过点〃作/C的平行线交比的延长

线于点£，则△6〃£的面积为（）

D.44

7、如图，以。为圆心，Q4长为半径画弧别交。河、ON于/、6两点，再分别以4、6为圆心，以。4

长为半径画弧，两弧交于点G分别连接AC、BC,则四边形。4c8一定是（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

8、如图，边长为1的正方形力自力绕点4逆时针旋转45°后得到正方形48心〃，边6心与切交于点

0,则四边形48”〃的周长是（）

A.五B.2a1+V2

9、下列四个命题中，正确的是（

A.对角线相等的四边形是矩形有一个角是直角的四边形是矩形

C.两组对边分别相等的四边形是矩形D.四个角都相等的四边形是矩形

10、如图，矩形/版的对角线/C和曲相交于点0,若N4⑼=120°,AC=16,则的长为

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）

1、如图，正方形4腼中，AB=6,点6在边口上，且8=3DE.将沿四对折至△AFE,延

长斯交边比1于点G,连接/G、CF.则下列结论：①AABG丝”"；；②BG=CG；③AGHCF；④

S^FGC=2S△血；其中正确是______（填写序号）

2、（1）有一个角是直角的是矩形.

几何语言：

•••四边形45切是平行四边形，/力=90°,

•••四边形4比、〃是矩形.

（2）相等的平行四边形是矩形.

几何语言：

四边形5是平行四边形，AC=BD。或OA=OC=OB=OD）,

...四边形46缪是矩形.

（3）有三个角是的四边形是矩形.

几何语言：

NA=NB=NC=90°,

二四边形力8缪是矩形.

3、如图，在一张矩形纸片力阅9中，18=30cm,将纸片对折后展开得到折痕跖点户为a'边上任意

一点，若将纸片沿着加折叠，使点。恰好落在线段跖的三等分点上，则回的长等于cm.

D

4、一个长方形的周长是22cm,若这个长方形的长减少2cm,宽增加3cm,就可以成为一个正方形,

则长方形的长是cm.

5、如图，矩形4国力中，AC,初交于点0,必，1分别为6C,勿的中点.若必华=4,则然的长为

6、如图，〃'为正方形46缪的对角线，£为〃'上一点，连接阳ED,当N3E£>=126。时，NED4的度

数为.

7、如图所示，ABC。是长方形地面，长A8=16m,宽A£)=9m,中间竖有一堵砖墙高MV=lm.一只

蚂蚱从B点爬到。点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走m的路程.

8、将矩形纸片ABCD(ABVBC)沿过点6的直线折叠，使点4落在比边上的点尸处，折痕为BE(如

图1）；再沿过点£■的直线折叠，使点〃落在瓦1上的点〃处，折痕为用（如图2）：再展开纸片（如

图3）,则图3中/£劣的大小是

图1图2图3

9、在菱形ABC。中，ZA=60°,其所对的对角线长为2,则菱形ABC。的面积是

10、我们把宽与长的比为黄金比的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABC。中,

AB<BC,BC=2,ZABC的平分线交AD边于点E,则DE的长为—

三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）

1、在长方形/腼中，46=4,BC=8,点只0为a'边上的两个动点（点P位于点。的左侧，P、Q

均不与顶点重合），PQ=2

⑴如图①，若点£为切边上的中点，当。移动到比边上的中点时，求证：AP=QE；

⑵如图②，若点£为切边上的中点，在图的移动过程中，若四边形心〃的周长最小时，求孤的

长；

（3）如图③，若/、/V分别为力〃边和切边上的两个动点（必、/V均不与顶点重合），当BP=3,且四边

形必网”的周长最小时，求此时四边形尸。恸的面积.

2、在正方形49中，点/在射线式1上(不与点反，重合)，连接DB,DE,将庞绕点£逆时针旋

转90°得到跖，连接册

(1)如图1,点K在6C边上.

①依题意补全图1；

②若力6=6,比=2,求成的长；

(2)如图2,点夕在6C边的延长线上，用等式表示线段劭，BE,"之间的数量关系.

图1图2

3、将矩形力比》绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,其中点后与点6,点G与点〃分别是对应

点，连接6G.

::

(1)如图，若点4E,，第一次在同一直线上,用与◎'交于点"连接缈.

①求证：BE平■分乙AEC.

②取理的中点R连接PH,求证：PH//CG.

③若BC=2A42,求用的长.

(2)若点4,E,〃第二次在同一直线上，8c=246=4,直接写出点〃到%的距离.

4、如图，矩形/腼中，A8=8,BC=4,过对角线放中点。的直线分别交46,切边于点反F.

(1)求证：四边形应明是平行四边形.

(2)当四边形胸'是菱形时，求斯的长.

5、已知四边形4腼是正方形，点P在直线8。上，点G在直线ADk(点只点G不与正方形顶点重

合，且在切的同侧)，PD^PG,DFLPG于点、H,交直线4?于点尸，将线段加绕点。逆时针旋转90°

得到线段连接比1.

(1)如图1,当点。与点G分别在线段8c与线段上时，

①求证：DF=PG-,

②请猜想四边形必7”是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；

(2)如图2,当点。与点G分别在线段比'与线段/〃的延长线上时，四边形阳》的形状是否发生了

变化？请写出你的结论.

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

连接EG,根据AG垂直平分EF,即可得出EG=FG,设CE=x,则£>£=5—x=

FG=EG=8-x,再根据RACEG中，CE1+CG2=EG2,即可得到CE的长.

【详解】

解：如图所示，连接EG,

由旋转可得，^ADEAABF,

：.AE-AF,DE=BF,

又•.•AG_L£F,

为E尸的中点，

AG垂直平分EF,

EG=FG,

设CE=x,贝l]DE=5—x=B尸，FG=8—x,

EG=8-x,

-.-ZC=90°,

・•.R/ACEG中，CE2+CG2=EG2,即V+22=(8-X)2,

解得x=3，

4

.••CE的长为

4

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点

与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

2、C

【解析】

【分析】

如图，矩形A5CD中，利用三角形的中位线的性质证明

EF//BD,£F=1BD,GH//BD,GH=^BD,FG=^AC,再证明四边形ABC。是平行四边形，再证明

EF=FG,从而可得结论.

【详解】

解：如图，矩形ABCD中，

:.AC=BD,

-：EEG,4分别为四边的中点，

\EF〃BD，EF=、BD,GH〃BD,GH^-BD,FG^-AC,

222

\EF〃GH,EF=GH,

四边形ABC。是平行四边形,

■：AC=BD,EF=-BD,FG=-AC,

22

EF=FG,

四边形EFGH是菱形.

故选C.

【点晴】

本题考查的是矩形的性质，菱形的判定，三角形的中位线的性质，熟练的运用三角形的中位线的性质

解决中点四边形问题是解本题的关键.

3、D

【解析】

略

4、B

【解析】

【分析】

从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解.

【详解】

解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，2/2+4=180。，

•.•/2=55°,

.■.Zl=70°.

故选：B.

【点睛】

本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题.

5、A

【解析】

【分析】

根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理即可判断.

【详解】

解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题是真命题；

B、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故原命题是假命题；

C、以两条对角线为对称轴的四边形是菱形，以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形，故原

命题是假命题；

D、对角线相等的平行四边形才是矩形，故原命题是假命题；

故选：A.

【点睛】

本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键.

6、B

【解析】

【分析】

先判断出四边形Z物是平行四边形，从而得出龙的长度，根据菱形的性质求出劭的长度，利用勾

股定理的逆定理可得出△6%是直角三角形，计算出面积即可.

【详解】

解：；菱形ABCD,AC=6,

\A£)〃8C,OA=OC=3,8O=28O,A8=8C=AO=5,ACABD,

在应△68中，BOZBC'-OC。=4,即可得8庐8,

QAC〃OE,

...四边形4侬是平行四边形,

：.AC-DE=6,CE=AD=5,

B&B创CB=10,

\BE2=100=BD2+DE2,

...△核是直角三角形，NBDE=90。,

：.SABD*DE*BF24.

故选：B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的面积，平行四边形的判定与性质，求出血的

长度，判断△觎'是直角三角形，是解答本题的关键.

7、B

【解析】

【分析】

根据题意得到OA=OB=AC=BC,然后根据菱形的判定方法求解即可.

【详解】

解：由题意可得：OA=OB=AC=BC,

•••四边形QACB是菱形.

故选：B.

【点睛】

此题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法.菱形的判定定理：①四条边都相等

四边形是菱形；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形.

8、B

【解析】

【分析】

连接4G由边长为1的正方形力"力绕点4逆时针旋转45°后得到正方形先求B£,再根据

等腰直角三角形的性质，勾股定理可求反0,0D,从而可求四边形力反阳的周长.

【详解】

•.•四边形46（力为正方形,

，/。6=45°,

♦.,正方形4比9绕点力逆时针旋转45°,

/8历6=45°,

.•.点8在线段/C上,

在Rt△耽中，AC=4AB-+BC2=Vl2+12=V2

/.BiC—>/2-1

在等腰Rt△阳。中，0B,=B,C=41-\,

在直角三角形如C中，0C=6(V2-1)=2-⑪,

：.0D=\-0C=\~(2-V2)=T+应，

...四边形切的周长是：AD^AB,+B,C+OD=A£M-AC+Ol^l+y/2-i+y[2=242.

故选：B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理以及等腰直角三角形的性质，做题的关键是连接

力C构造等腰Rt△。氏C是解题的关键，注意旋转中的对应关系.

9、D

【解析】

【分析】

根据矩形的判定定理判断即可.

【详解】

解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，原选项说法错误，不符合题意；

B.有一个角是直角的平行四边形是矩形，原选项说法错误，不符合题意；

C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，原选项说法错误，不符合题意;

D.四个角都相等的四边形是矩形，原选项说法正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查矩形的判定定理，熟记矩形的判定定理是解题关键.

10、C

【解析】

【分析】

由题意可得/gBgCkRng,可证△48。是等边三角形，可得力8=8.

【详解】

解：•••四边形48口是矩形，

：.AC=2AO=2CO,BD=2BO=2DO,AC=BD=16,

：.OA=OB=8,

'：AAOD=\^,

，/加6=60°,

.•.△/I仍是等边三角形，

：.AB=AO=BO=^,

故选：C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键.

二、填空题

1、①②③

【解析】

【分析】

由折叠得/。刃'NAFG=N8=90：即可判断①正确；证明加=必法，CG=6-x,求出座=2,得到

C层4,防二〃后2；借助勾股定理得到(x+2)2=(6-x)2+42,求出x,即可判断②正确；根据CG=GE

得到N凡如2NC7吐180°,由ZX/WG/zMFG,推出/人办2//67口80°,由此推出片/研7,

判断③正确；由G43,止2,根据同高三角形判断④错误.

【详解】

解：：四边形力版是正方形，

:.AB=AD=6,/斤/氏90°,

由折叠得4修F，/AFE=/D=90°,则/月陷180°-90°=90°,

"：AG=AG,

/.A4BG^Z\4FG；故①正确；

，：4AB曜XAFG,

：.BG=GF,

设.BG=GF=x,CG=6-x,

・.・C9三4庐6,CD-3DE,

:・DB2®4,EF=DB-^

由勾股定理得：G族CG+CE,

即（x+2）2=（6-才）2+42,

解得：尸3,

・・・®6-3=3,

：.BG=CG.故②正确；

■:BG=CG=GF,

:"GFO/GCF,

：.ZFGC+2ZGF（=180°,

・.・A^BG^AAFG,

:./AG斤/AGF,

・・・NR；小2乙467M80。,

：.4AG六4GFC,

：.AG//CF,故③正确；

V67^3,小2,

•••qJ4FGC=_1519△产EC，

故④错误，

故答案为：①②③.

【点睛】

此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，平行线的判定定理，同高三角形面

积的关系，熟练掌握各知识点是解题的关键.

2、平行四边形对角线直角

【解析】

略

3、20石或竺正

2

【解析】

【分析】

分为将纸片沿纵向对折，和沿横向对折两种情况，利用折叠的性质，以及勾股定理解答即可

【详解】

如图：当将纸片沿纵向对折

根据题意可得：AB=EF=DC=DC=30

•.・C'为EF的三等分点

22

・•・EC=-EF=-x30=20

33

在Rt/\DEC中有OE=dDC?-EC°=>/302-202=KX/5

AD=2DE=20后

BC=AD=204

如图：当将纸片沿横向对折

根据题意得：AB=DC=DC'^30,DF=-£>C=-x30=15

22

在Rt^XDFC中有CT?=^DC'2-DF2=屈=IF=15百

•••c’为E尸的三等分点

C'F=-EF

3

.•斤=，156=竺叵

22

故答案为：20石或也叵

2

【点睛】

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理解直角三角形，解题关键是分两种情况作出折痕

EF,考虑问题应全面，不应丢解.

4、8

【解析】

【分析】

设这个长方形的长为xcvw,则长方形的宽为(ll-x)cm,由题意得长-2=宽+3.进而得到方程

x-2=U-x+3,解方程即可得到答案.

【详解】

解：设这个长方形的长为xcm,

由题意得：x-2=ll-x+3,

2x—l6,

解得：x=8,

答：这个长方形的长为8c7".

故答案为：8

【点睛】

本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，表示出正方形的边长,

进而利用正方形边长相等得到方程.

5、16

【解析】

略

6、18°##18度

【解析】

【分析】

由“S4S”可证△“比△比瓦可得/侬=/◎庐眄=63°,由三角形的外角的性质可求解.

【详解】

证明：•••四边形4?必是正方形，

：.AD=CD=BC=AB,ZDAE=ZBAE=ZDCA=ZBCA=45°,

在△颇1和△腔■中,

CD=BC

<ZBCE=NDCE,

CE=CE

二△比侬△腔（必S）,

：.乙C盼三乙BEF63°,

'：ACED=ACADIAADE,

：.AADE=QV-45°=18°,

故答案为：18°.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△比陛△旌是本题的关键.

7、975

【解析】

【分析】

根据题意，将长方形底面和中间墙展开为平面图，并连接物，根据两点之间直线段最短和勾股定理

的性质计算，即可得到答案.

【详解】

将长方形底面和中间墙展开后的平面图如下，并连接BD

AMNB

根据题意，展开平面图中的AB=16+2=18m

一只蚂蚱从B点爬到。点，最短路径长度为展开平面图中如长度

：ABC。是长方形地面

AZA=90°

BD=ylAB^AD2=7405=9石m

故答案为：9石.

【点睛】

本题考查了立体图形展开图、矩形、两点之间直线段最短、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握

立体图形展开图、勾股定理的知识，从而完成求解.

8、22.5°

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可知，/A=/EFB=90°,AB=BF,以及纸片加/9为矩形可得，N4EF为直角,进而可

以判断四边形力加正为正方形，进而通过//项，/阚的角度计算出/9的大小.

【详解】

解：由折叠可知△/项且△侬，

:.NA=NEFB=9G,AB=BF,

♦.•纸片46m为矩形，

J.AE//BF,

...N曲口80°—NBF层90°,

,:AB=BF,NMNAEF=NEFF9Q°,

四边形/孙X"为正方形，

：.ZAE&=450,

；.N8EA18Q°-45°=135°,

班仁135°4-2=67.5°,

：.ZFEG=Q7.5°-45°=22.5°.

【点睛】

本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，以及平行的相关性质，能够将正方形与矩

形的性质相结合是解决本题的关键.

9、2G

【解析】

【分析】

根据菱形的性质证得劭是等边三角形，得到0B,利用勾股定理求出0A,由菱形的性质求出菱形

的面积.

【详解】

解：如图所不：

・•・在菱形ABCD中，440=60。，其所对的对角线长为2,

:.AD=AB,AC1BD,BO=DO,AO=CO,

二4的是等边三角形，

则A8=AO=2,

故30=00=1,

则A0=>/AB2—BO1==y/3,故AC=2\/3，

则菱形ABCD的面积=gx2x=26.

故答案为：2后.

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出菱形的另一条对角线的长是解题关键.

10、3-石##-6+3

【解析】

【分析】

根据黄金矩形438,得出宽与长的比为黄金比,AD//BC,AD=BO2,可求力生BC=

延工2=小-1,根据跖为ZABC的平分线，证出力后4庐百-1即可.

【详解】

解：：黄金矩形

宽与长的比为黄金比,AD〃BC,AD=B俏2,

.,.可陷^=^x2=囱-l,

♦.•应■为ZABC的平分线，

：./AB氏/CBE,

,:AD〃BC,

:.NAEB=4CBE=NABE,

AE—AI^2-y/s—1>

:,DFAD~A拄2-(75-1)=3-75.

故答案为3-括.

【点睛】

本题考查黄金矩形的性质，角平分线定义，平行线性质，等腰三角形判定，线段和差，掌握黄金矩形

的性质，角平分线定义，平行线性质，等腰三角形判定，线段和差是解题关键.

三、解答题

1、(1)见解析

(2)4

(3)4

【解析】

【分析】

(1)由"S4S”可证龙也△。圆可得力RQA

(2)要使四边形4&族的周长最小，由于与闾都是定值，只需4a制的值最小即可.为此，先在

况■边上确定点入。的位置，可在力〃上截取线段加^游2,作厂点关于况1的对称点G,连接比与比

交于一点即为。点，过4点作内。的平行线交比1于一点，即为尸点，则此时/人给比最小，然后过

G点作a'的平行线交火的延长线于〃点，那么先证明/面沪45°,再由缁%即可求出征的长

度；

(3)要使四边形闾M7的周长最小，由于国是定值，只需制介物件QV的值最小即可，作点P关于4。

的对称点凡作点0关于切的对称点"连接掰交助于必，交切于M连接/W,QN,此时四边形

/泡恸的周长最小，由面积和差关系可求解.

(1)

解：证明：•••四边形4?口是矩形，

：.CD=AB=4,B(=AD=8,

•.•点£是切的中点，点0是比'的中点，

:.B年C84,行2,

:.A*CQ,

,:PF2,

:・B42,

:.BP=CE,

又TN庐Ne90°,

:、XABP^XQCE(弘S),

：.AP=QE；

(2)

如图②，在段上截取线段力片除2,作尸点关于理的对称点G,连接及与回交于一点即为。点,

过力点作却的平行线交小于一点，即为P点，过G点作回的平行线交火的延长线于〃点.

■:GWD芹6,盼2+4=6,N庐90°,

：.ZGEH=45°,

・・・/4?845°,

设B片x,则CQ-BC-BPP9R-卜2二6-x,

在夕中，•:/QC&90。,N/045°,

・・・CBEC,

/.6-A=2,

解得尸4,

...於4；

(3)

如图③，作点夕关于4。的对称点E作点0关于切的对称点从连接7%交49于〃，交CD千N,

连接用/,QN,此时四边形PQW的周长最小，连接即交4。于7,

:.PAFH,。孤叱册做=8-3-2=3=CH,

:.P六8,PH=8,

：.Pf^PH,

又,：/FPH=90。，

.•./月/斤45°,

'：PFLAD,CDLQH,

:.N氏NTM启45°,/斤NG年45°,

:.F户TM=4,C种时3,

,四边形PM渺的面积X用X勿xTM-^XQIMCN^X8X8-yX8X4-|X6X3=7.

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角

形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点尸和点0位置是解题的关键.

2、(1)①见解析；②BF=2垃;(2)BF+BD=-JlBE

【解析】

【分析】

(1)①根据题意作图即可；

②过点-作加J_6S,交"的延长线于〃，证明△2%必△日也得到比三万仁？，CD=BC=EH=6,则

HB=EC=2,在RtAFHB中,利用勾股定理即可求解；

(2)过点尸作"J_",交CB于H,先证明△应缁△£?"得到£。=勿，CD=BC=EH,则物=酌=

HF,方和△即都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即可.

【详解】

解(1)①如图所示，即为所求；

②如图所示，过点尸作梃龙，交/的延长线于〃,

♦.•四边形48c〃是正方形,

:.CD=AB=6,NC=90°,

•:/DEF=/C=90°，

:・/DEO/FEH=9G,/DEC+/EDC=9C,

:・/FEH=/EDC,

在△功%和△"7/中，

Z//=ZC=90°

,NFEH=Z.EDC,

EF=DE

:.△DESAEFHQAAS),

:・EC=FH=2,CD=BC=EH=6,

:,HB=EC=2,

:.RtAFHB中,BF=y/FH^BH2=722+22=272.

(2)结论：BRBD=应BE.

理由：过点少作7%1%,交％于〃

・.•四边形ABCO是正方形,

:・CD=AB,N〃喈=90°,

*：4DEF=4DCE=9C,

:・/DEg/FEH=9G,/DEC'/EDC=9S,

:・/FEH=/EDC,

在△龙。和△右吻中，

NFHE二NDCE=90。

<NFEH=ZEDC,

EF=DE

:•△DESXEFHQAAS),

：.EC=FH,CD=BC=EH,

:.HB=EC=HF,

...△〃（力和△即都是等腰直角三角形，

BD=yjBC2+CD2=CBC=y[2EH，BF=BH2+HF2=垃BH，

■:HE+BH=BE,

：.BF+BD=42BE.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够正确作出

辅助线，构造全等三角形.

3、(1)①见解析；②见解析；③不

⑵处+酒

77

【解析】

【分析】

(1)①根据旋转的性质得到CB=CE,求得/=N，根据平行线的性质得到

/=/,于是得到结论；

②如图1,过点B作虑的垂线，根据角平分线的性质得到=，求得=，根据

全等三角形的性质得到=,根据三角形的中位线定理即可得到结论；

③如图2,过点G作BC的垂线，解直角三角形即可得到结论.

(2)如图3,连接。8,,过G作1交8c的延长线于P,1交。。的延长线

于N,根据旋转的性质得到==4,==2,解直角三角形得到=1,

=y[3,根据三角形的面积公式即可得到结论.

(1)

解：①证明：••・矩形ABC。绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形，

:•—，

:•N=N

又・.・AO//3C,

:、N=N

:,N=N

平分/

②证明：如图1,过点8作CE的垂线

1

•:N=/=90°,N=/

:.△=A())

即点”是BG中点,

又•••点尸是8c中点，

•••//；

③解：如图2,过点G作8C的垂线

=2=2,

解：如图3,连接03,，过G作1交3C的延长线于P,1交。C的延长线于

N,

图3

,:=2=4,

:,—2,

・・•将矩形ABCD绕着点、C按顺时针方向旋转得到矩形,

—―4,—=2,

・・•点A,E,。第二次在同一直线上，

・•・N=90°,

,——1

,,一2'

・・・N=30°,

:.N=60°，

:.N=30°，=2,

=1,=y/-3i

・,・△—△+△+△=5+2\T3y=1=2\/~79

2A5/7,2/21

:.=----------=-----I-------.

77

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理,

解直角三角形，解题的关键是正确地作出辅助线.

4、(1)证明见解析；(2)=2>J~5

【解析】

【分析】

(1)由题意知II,OD=OB,通过△£△得到=,证明四边形砥户

平行四边形.

(2)四边形施M为菱形，1,=4^5-,设==,==8—；

在△中用勾股定理，解出8尸的长，在△中用勾股定理，得到的长，由

=2得到EF的值.

【详解】

(1)证明：,•四边形月6缪是矩形，0是9的中点

?.||,OD=OB

:.N=/

在4和^中

2=/

**,_

=/

/.△△CASA)