八年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）：动点问题（强化）（解析版）

专题1.7动点问题1．在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒，当为直角三角形时，求的值．【解答】解：在中，由勾股定理得：，．根据题意得：．①如图①，当为直角时，．，，在中，，在中，，，解得．②如图②，当为直角时，此时点与点重合，，．当为直角三角形时，或．2．如图，中，厘米，如果点从点出发，点从点出发，沿着三角形三边以4厘米秒的速度运动，当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．运动时间为（秒．（1）当且为直角三角形时，求的值；（2）当为何值，为等边三角形．【解答】解：（1）当时，点在上，点在上，，，为直角三角形，则或，①当时，，，，，解得：；②当时，，，，，解得：．③点在上，点在上，，，（不合题意舍去），综上，当或时，为直角三角形；（2）点第一次到达点时，，两点同时停止运动，则，①当时，当时，为等边三角形，此时，，解得：；②当时，为等边三角形，只能点与点重合，点与点重合，此时，，综上，或时，为等边三角形．3．如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，同时停止．（1）、出发4秒后，求的长；（2）当点在边上运动时，出发几秒钟后，能形成直角三角形？【解答】解：（1）由题意可得，，，，，即的长为；（2）当时，，，，，，，，解得，，当是直角三角形时，经过的时间为：（秒；当时，点运动到点，此时运动的时间为：（秒；由上可得，当点在边上运动时，出发9.6秒或16秒后，能形成直角三角形．4．如图，在中，，，，动点从点出发，以秒的速度沿移动至点，设运动时间为秒．（1）求的长；（2）在点的运动过程中，是否存在某个时刻，使得点到边的距离与点到点的距离相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在中，由勾股定理得：；（2）存在，理由如下：如图，当点恰好运动到平分线上时，点到直线的距离与点到点的距离相等，由已知可得：，，连接，过点作于，如图所示：则，在与中，，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即当的值为时，点到边的距离与点到点的距离相等．5．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以的速度向终点运动，点从点出发沿方向以的速度向终点运动，，两点同时出发，设点的运动时间为秒．（1）求的长；（2）当时，求，两点之间的距离；（3）当时，求的值？【解答】解：（1）在中，，，，．（2）如图，连接，，，在直角中，由勾股定理得到：；（3）设秒后，．则，解得．答：、两点运动秒，．6．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．（1）当为直角三角时，求的值；（2）当为等腰三角形时，求的值．【解答】解：（1）当为直角三角时，，①当时，点与点重合，，，②当，，，，在中，，在中，，，解得：，综上所述，或；（2）在中，，由勾股定理得：，为等腰三角形，当时，则，即；当时，则；当时，如图：设，则，在中，由勾股定理得：，，解得，．综上所述：的值为16或10或．7．如图，在中，，，．动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：（1）当为何值时，点在的垂直平分线上？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若点在线段的垂直平分线上，则，，，，解得：，答：当时，点在线段的垂直平分线上；（2）①若，则是直角三角形，，，，，，②若，则是直角三角形，，，，，．当或时，是直角三角形．8．如图，在中，，，动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回．点，的运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时停止运动，点也同时停止运动，连接，设它们的运动时间为秒．（1）设的面积为，请用含有的代数式来表示；（2）线段的垂直平分线记为直线，当直线经过点时，求的长．【解答】解：（1）如图1，当时，，，；如图2，当时，，，则，；（2）连接，如图3，的垂直平分线过点，，，，，，解得；或，显然不成立；．9．如图，在中，，，，为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，设点运动的时间为秒，速度为每秒2个单位长度．（1）当为何值时，是直角三角形；（2）若是等腰三角形，求的值．【解答】解：（1），，，，，；①时，，即，解得，，；②时，点和点重合，．综上所述，或12.5秒时，是直角三角形（2）①时，，；②时，，，，，，；③时，如图，过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质可得；则，，，，．综上所述，或7.5或9秒时，是等腰三角形．10．已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒．（1）出发2秒后，求的长；（2）当点在边上运动时，为何值时，的面积是面积的；（3）当点在边上运动时，为何值时，将周长分为两部分．【解答】解：（1）当时，点在边上运动，则，，，，在中，由勾股定理可得，的长为；（2），，点在边上运动时，的面积是面积的，，，，当点在边上运动时，为2时，的面积是面积的；（3）在中，由勾股定理得：，当点达到点时，，当点达到点时，，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，，，，点在上运动时，，，，，分两种情况：①，即，解得：，经检验，是原方程的解，；②，即，解得：，经检验，是原方程的解，；综上所述，当点在边上运动时，为4或6时，将周长分为两部分．11．如图，在中，，，，平分．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，当点不与点重合时，连结、、三点．设点的运动时间为秒．（1）线段的长为13；（2）当时，；（3）求线段的长；（4）当与相等时，直接写出的值．【解答】解：（1），，，．故答案为：13．（2）平分，，，．在和中，，．．．故答案为：5．（3）平分，．．解得：．在中，．（4）①当点在上时，，．过点作于点，如图，由（2）知：，．，，．．；②当点在上时，，．由（3）知：，，．．点运动的距离为：．．综上，的值为：10或．12．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，求的最小值．【解答】解：在中，，，，，即．又于，于，四边形是矩形，．是的中点，．当时，的最小值即为直角三角形斜边上的高，的最小值是．13．如图，已知四边形中，，，，，为边上的一点，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒．（1）求的长；（2）若为直角三角形，求的值．【解答】解：（1），，，在中，；（2）当时，，则（秒，当时，，即，解得，，当或时，为直角三角形．14．如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，设点运动的时间为秒，速度为每秒2个单位长度．（1）填空：当4.5或12.5秒时，是直角三角形；（2）若是等腰三角形，求的值．【解答】解：（1），，，，，；①时，，即，解得，，；②时，点和点重合，．综上所述，或12.5秒时，是直角三角形（2）①时，，；②时，，，，，，；③时，如图，过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质可得；则，，，，．综上所述，或7.5或9秒时，是等腰三角形．故答案为：4.5或12.5秒．15．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接．（1）当秒时，求的长度（结果保留根号）；（2）当为等腰三角形时，求的值；（3）过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？【解答】解：（1）根据题意，得，，，在中，根据勾股定理，得．答：的长为．（2）在中，，，根据勾股定理，得若，则，解得；若，则，，解得；若，则，解得．答：当为等腰三角形时，的值为、16、5．（3）①点在线段上时，过点作于，如图1所示：则，，平分，，又，，，，，，，在中，由勾股定理得：，解得：；②点在线段的延长线上时，过点作于，如图2所示：同①得：