浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级上学期期中数学试题【含答案解析】

2023学年第一学期浙江省初中名校发展共同体八年级期中考试数学一、选择题1.下列图形中，属于轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要查了轴对称图形．根据“找轴对称图形是如果沿某一条直线对折，左右两边能完全重合，则这个图形就是轴对称图形”，即可求解．详解】解：A、属于轴对称图形，故本选项符合题意；B、不属于轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不属于轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不属于轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：A2.若，则下列结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质依次进行判断即可得，掌握不等式的性质是解题的关键．【详解】解：A、，则，选项说法错误，不符合题意；B、，则，选项说法错误，不符合题意；C、，则，选项说法错误，不符合题意；D、，则，选项说法正确，符合题意；故选：D．3.在中，作BC边上的高（图中虚线），下列作法正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形的高，经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得到答案．【详解】解：A．是边上的高，故A选项不符合题意；B．作的不是的高，故B选项不符合题意；C．是边上的高，故C选项不符合题意；D．是边上高，故D选项符合题意；故选：D．4.下列可以作为命题“若，则”是假命题的反例是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论．【详解】解：A．当，时，，而，不能说明，但不成立，故A不符合题意；B．当，，，而，不能说明，但不成立，故B不符合题意；C．当，，，而，能够说明，但不成立，故C符合题意；D．，，，而，不能说明，但不成立，故D不符合题意．故选：C．5.若等腰三角形的两条边长为2和5，则这个等腰三角形的周长为（）A.12 B.9 C.12或9 D.7或15【答案】A【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，根据等腰三角形的性质进行分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行求解即可．【详解】解：当等腰三角形的腰为2时，，不能构成三角形；当等腰三角形的腰为5时，，可以构成三角形，这个等腰三角形的周长为，故选：A．6.如图，在中，在边上取一点P，连结，在边上取一点Q，连结．若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了全等三角形性质，等边对等角，根据全等三角形的性质得，，，根据等边对等角得，即可得；掌握全等三角形的性质，等边对等角是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，，，∴，∴，故选：B．7.在中，它的三边分别为a，b，c，下列条件：①，②，③，④．其中，能确定是直角三角形的条件为（）A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，勾股定理逆定理，逐项判断即可求解．熟练掌握勾股定理逆定理，三角形的内角和定理是解题的关键．．【详解】解：，且，，即，是直角三角形，故①正确；，即，且，，即，是直角三角形，故②正确；，，，，，不是直角三角形，故③正确；，设，，，，，，即，是直角三角形，故④正确；则能确定是直角三角形的条件为：①②④，故选C．8.如图，已知钝角三角形，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤：以圆心，为半径画弧①；步骤：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；步骤：连结，交的延长线于点．下列叙述正确的是（）A.平分 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质以及判定定理；连接，先证明，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出【详解】解：连接，由题意得，∴是等腰三角形在和中∴，∴∴是的角平分线，又∵∴故选：D．9.若关于x的不等式组的整数解共有四个，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再由不等式组的整数解共有四个，可得，即可求解．熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．【详解】解：，解不等式①得：，∴不等式组的解集为，∵不等式组的整数解共有四个，∴，解得：．故选：A10.如图1，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，记四边形面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理，设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，由图得，，再利用勾股定理得，进而可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【详解】解：设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，如图2，，，，，，，知道图中阴影部分的面积，则一定能求出，故选B二、填空题11.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：_______．【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形【解析】【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解．【详解】解：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键．12.如图，B、E、C、F四点在同一直线上，且，，添加一个条件________，使（写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据全等三角形的判定添加合适的条件即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【详解】解：添加（答案不唯一），证明如下：∵，∴，即，∵，，∴，故答案为：（答案不唯一）13.已知三角形的三边长分别为3，5和，则整数x的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】本题考查了三角形三边关系．根据“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可求解．【详解】解：根据题意得：，即，解得：，∴整数x的最大值为4故答案为：414.如图，中，，，．有一动点P从点C开始沿方向以的速度运动到点A后停止运动，当运动时间为________秒时，是等腰三角形．【答案】4或【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．当点在上时，没有可能；当点在上时，分两种情况进行讨论．【详解】解：中，，，，；当点P在上时，不存在满足条件的等腰三角形；当点在上时，时，；当时，如图所示，∵∴，，，，，综上所述，或秒时，是等腰三角形．15.如图，在中，，，，平分，则的面积为________．【答案】【解析】【分析】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理．过作于，证明为直角三角形，再利用角平分线的性质定理得出，然后利用等面积法求出，即可求得的面积．【详解】解：如图，作于．∵，，，∴，∴，即，∵平分，，，∴，设，∵，，即，∴，∴，．故答案为．16.如图，为等腰直角三角形，，点在的延长线上，且，将沿方向平移得到，连接，，则的周长的最小值为________．【答案】【解析】【分析】作点关于点的对称点，连接、、、，由平移的性质可得：，，证明得到，由对称的性质可得：，，推出，，则，当、、在同一直线上时，的值最小，为，根据等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理得出，由勾股定理计算出的长即可得到答案．【详解】解：如图，作点关于点的对称点，连接、、、，，由平移的性质可得：，，，，，，，由对称的性质可得：，，，，，当、、在同一直线上时，的值最小，为，为等腰直角三角形，，，，在中，，，，，的最小值为，的周长的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、平移的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形全等是解此题的关键．三、解答题17.解下列不等式：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】【解析】【分析】不等式两边同时乘以6，然后去括号、移项合并，即可得出不等式解集.按照不等式解集的表示方法在数轴上表示即可.【详解】两边同时乘以6得：去括号得：3+3x≤2+4x+6移项得：-x≤5解得：x≥-5将解表示在数轴上为：【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及解集的表示方法，熟练掌握不等式的性质是解题关键.18.如图，与相交于点O，，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．【详解】证明：在和中，∴，∴，∴．19.如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求作图．（1）在图1中，画出所有与全等（不包含）的；（2）在图2中，过顶点A画一条直线平分的面积（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了全等的性质，中线的性质．熟练掌握全等三角形对应边相等，中线等分三角形的面积是解题的关键．（1）根据全等三角形对应边相等作图，如图1；（2）如图2，点向右1个格点为，点向左1个格点为，连接，交于，则为中点，连接，为中边上的中线，则平分的面积，即为所求．【小问1详解】解：如图1，，，即为所求；【小问2详解】解：如图2，直线即为所求；20.对于任意两个实数，，探究与的大小关系：（1）尝试：(用“”，“”或“”填空)①________；②________；③________；④________；…（2）归纳：对于任意实数和，与有怎样的大小关系，并说明理由．【答案】（1）①；②；③；④（2），理由见解析【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算，完全平方公式的应用；（1）根据有理数混合运算进行计算，然后比较大小，即可求解．（2）根据完全平方公式即可求解．【小问1详解】解：①；；∴②，；∴；③，∴；④，∴故答案为：①；②；③；④；【小问2详解】解：，理由如下∵，∴21.如图，在线段的同侧作和，和相交于点O，M、N分别是边、的中点，连结PQ，，，．（1）判断的形状，并说明理由；（2）当，时，求的长．【答案】（1）为直角三角形，理由见解析（2）5【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理．（1）连结，由直角三角形斜边中线的性质可证，再由等腰三角形三线合一的性质证明即可；（2）先求出和的长，再利用勾股定理求解即可．【小问1详解】为直角三角形，理由如下：如图，连结，∵，点M是的中点，∴，，∴，又∵N为的中点，∴，∴为直角三角形；【小问2详解】由（1）知，∵，∴，又∵N为的中点，且，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．22.污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元．A型B型价格（万元/台）ab处理污水量（吨/月）220180（1）求a，b的值；（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，你认为该公司有哪几种购买方案；（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．【答案】（1）（2）有四种购买方案：①A型设备1台，B型设备11台；②A型设备2台，B型设备10台；③A型设备3台，B型设备9台．④A型设备4台，B型设备8台（3）选购A型设备3台，B型设备9台【解析】【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，根据题意正确列出方程和不等式是解题的关键．（1）根据价格关系列关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台，根据“资金不超过50万元”列不等式，求出不等式的正整数解即可；（3）根据“每月要求处理的污水量不低于2260吨”列不等式，结合（2）中结论，求出x的正整数解，从中选择最省钱的方案即可．【小问1详解】解：根据题意得：，解得：；【小问2详解】解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台，根据题意得，，∴，∵x取正整数，∴，2，3，4，∴，10，9，8，∴有四种购买方案：①A型设备1台，B型设备11台；②A型设备2台，B型设备10台；③A型设备3台，B型设备9台；④A型设备4台，B型设备8台；【小问3详解】解：由题意：，∴，又∵，∴，∵x取正整数，∴x为3，4．当时，购买资金为（万元），当时，购买资金为（万元），，∴为了节约资金，应选购A型设备3台，B型设备9台．23.如图①，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好玩角．小马展示了确定是的好玩角的两种情形．情形一：如图②，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点B与点C重合；情形二：如图③，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点C重合．探究发现：（1）在中，，，经过两次折叠，是的好玩角，求的度数．（2）小马经过三次折叠发现了是的好玩角，请探究与（不妨设）之间的等量关系为________．根据以上内容猜想：若经过n次折叠是的好玩角，则与（不妨设）之间的等量关系为________．应用提升：（3）小马找到一个三角形，三个角分别为，，，发现和的两个角都是此三角形的好玩角．请你完成，如果一个三角形的最小角是，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好玩角．【答案】（1）（2）；（3）和或和【解析】【分析】（1）设，根据好玩角的定义可得，再由三角形外角的性质，可得，即可求解；（2）根据好玩角的定义以及三角形外角的性质，即可求解；（3）由题意可设另外两个的度数分别为和，其中m，n为正整数，根据三角形内角和定理可得，即可求解．【小问1详解】解：如图③，设，∵经过两次折叠，是的好玩角，∴，又∵是的外角，∴，由题意，又∵，∴，∴，∴；【小问2详解】解：如图，∵经过三次折叠是的好玩角，∴第三次折叠的，∵，，∴，由此可猜想经过n次折叠是的好玩角，则；故答案为：；；【小问3详解】解：由题意可设另外两个的度数分别为和，其中m，n为正整数，根据题意：，∴，∴m，n均为正整数，∴有两种情况：①，，此时三角形的另外两个角的度数分别为：和；②，，此时三角形的另外两个角的度数分别为：和；综上所述：三角形另外两个角的度数和或和．【点睛】本题主要考查了折叠问题的综合题，涉及