第11章 三角形（单元复习课件）-人教版初中数学八年级上册

单元复盘提升思维导图知识串讲底边和腰不相等的等腰三角形2.

三角形的三边关系：1.

三角形的分类三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.按边分按角分三边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形知识串讲3.

三角形的高、中线与角平分线高：过顶点向其对边所在直线引垂线，

所得垂线段为高.三条高或其延长线相交于一点，

如图①.中线：连接顶点与其对边中点所得线段为中线.

三条中线相交于一点（重心），

如图②.角平分线：内角的平分线与其对边相交所得线段为角平分线.三条角平分线相交于一点，

如图③.图①图②图③知识串讲锐角三角形直角三角形钝角三角形高线中线角平分线知识串讲4.

三角形的内角和定理与外角的性质(1)三角形的内角和等于

180°；(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.5.

多边形及其内角和n

边形内角和等于

(n-

2)×180°(n≥3，且

n为整数).n边形的外角和等于

360°.正

n边形的每个内角的度数是正

n边形的每个外角的度数是考点梳理考点一：三角形三边关系把一条长为18米的细绳围成一个三角形，其中两段长分别为x米和4米．(1)求x的取值范围；(2)若围成的三角形是等腰三角形时，求x的值．例1解：(1)∵该三角形的周长是18米，其中两段长分别为x米和4米，∴第三边的长度是18－4－x＝14－x(米)．∴14－x－4＜x＜14－x＋4，解得5＜x＜9.∴x的取值范围是：5＜x＜9.考点梳理考点一：三角形三边关系把一条长为18米的细绳围成一个三角形，其中两段长分别为x米和4米．(1)求x的取值范围；(2)若围成的三角形是等腰三角形时，求x的值．例1(2)①当边长为x米的边为等腰三角形的底时，x＋4＋4＝18，解得，x＝10，∵10＞9，∴x＝10，不合题意，舍去．②当边长为4米的边为等腰三角形的底时，2x＋4＝18，解得，x＝7.综上所述，x的值是7.等腰三角反复讲分类讨论不能忘刻意练习练1一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是(

)

A．3＜x＜11B．4＜x＜7C．－3＜x＜11D．x＞3解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.A练2如图，D是△ABC的边AC上一点，AD=BD，试判断AC与BC的大小.解：在△BDC中，有BD+DC>BC又因为AD=BD，则BD+DC=AD+DC=AC，所以AC>BC.考点梳理考点二：三角形中的线段例2作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(

)D考点梳理考点二：三角形中的线段例3如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°.考点梳理考点二：三角形中的线段例4在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．

解：如图，∵DB为△ABC的中线，∴AD=CD，设AD=CD=x，则AB=2x，当x+2x=12，解得x=4.BC+x=15，得BC=11.此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11；当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7，此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7．刻意练习练3解：∵

点

E

是

AD

的中点，∴

S△DBE

=

S△ABD，S△DCE

=

S△ADC.∴

S△DBE

+

S△DCE

=S△ABC

=×24

=

12，即

S△BCE

=

12.∵

点

F

是

CE

的中点，∴

S△BEF

=S△BCE

=×12

=

6.

如图，D

是△ABC

的边

BC

上任意一点，E、F

分别是线段

AD、CE

的中点，且△ABC

的面积为

24，求△BEF

的面积．刻意练习练4如图,AE是△ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.ABCE解：∵ＡE是△ABC的角平分线，∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.∴∠CAE=∠BAE=∠BAC.考点梳理考点三：与三角形有关的角度计算例5【例2】如右图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F.(1)填空：∠AFC＝__________度；(2)求∠EDF的度数．解：(1)由折叠得∠DAF＝∠BAD＝30°，∴∠BAF＝60°，∴∠AFC＝∠B＋∠BAF＝110°；(2)由折叠得∠E＝∠B＝50°，又∠DFE＝∠AFC＝110°，∴∠EDF＝180°－∠E－∠DFE＝20°.考点梳理考点三：与三角形有关的角度计算例6

如图，在△ABC

中，D

是

BC

边上一点，∠1

=∠2，∠3

=∠4，∠BAC

=

63°，求∠DAC

的度数．解：设∠1

=∠2

=

x，则∠4=∠3=

2x.∵∠BAC

=

63°，∴∠2

+∠4

=

117°，即

x

+

2x

=

117°.∴

x

=

39°.∴∠3

=

∠4

=

78°，

∠DAC

=

180°

-

∠3

-

∠4

=

24°.外角内角齐上阵方程思想来相等刻意练习练5如图，已知长方形的每个角都是直角，将长方形ABCD沿EF折叠后点B恰好落在CD边上的点H处，且∠CHE＝40°.(1)求∠HFA的度数；(2)求∠HEF的度数．(1)由折叠得∠EHF＝∠B＝90°，∴∠CHF＝90°＋40°＝130°，∵DC∥AB，∴∠HFA＝∠CHF＝130°.(2)∵∠CEH＝180°－∠C－∠CHE＝50°，∴∠HEB＝180°－∠CEH＝130°，

由折叠得∠HEF＝∠BEF，∴∠HEF＝∠HEB＝65°.折叠必有对称美寻找对应角和边刻意练习练6

如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.考点梳理考点四：多边形的内角与外角相关计算例7一个正多边形的每个外角是45°.(1)试求这个多边形的边数；(2)求这个多边形内角和的度数．解：(1)方法一：设这个多边形的边数为n，得：45n＝360，

解得：n＝8．∴这个多边形的边数为8．方法二：多边形每一个内角为：180°－45°＝135°.设这个多边形的边数为n，得：(n－2)×180＝135×n，

解得：n＝8.∴这个多边形的边数为8.(2)这个多边形内角和的度数为(n－2)×180°＝(8－2)×180°＝1080°.考点梳理考点四：多边形的内角与外角相关计算例8如下图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．解：连接BE，∵∠D＋∠C＋∠DOC＝180°，∠OBE＋∠OEB＋∠BOE＝180°又∠DOC＝∠BOE，∴∠OBE＋∠OEB＝∠C＋∠D，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G

＝∠A＋∠ABC＋∠OBE＋∠OEB＋∠DEF＋∠F＋∠G＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＋∠G＝(5－2)×180°＝540°.本章重点回顾化繁为简三秋见化归未知为已知刻意练习练7解：(1)设多边形的边数为n，由题意得15n＝360，解得n＝24，24×5＝120(米)．(2)(n－2)·180°＝(24－2)×180°＝3960°如下图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，……这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．(1)小明一共走了多少米？(2)这个多边形的内角和是多