专题21.10 一元二次方程章末八大题型总结（拔尖篇）（人教版）（原卷版）

专题21.10一元二次方程章末八大题型总结（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用根与系数的关系降次求值】 1【题型2利用一元二次方程的解法解特殊方程】 1【题型3利用一元二次方程求最值】 2【题型4利用一元二次方程的根求取值范围】 3【题型5一元二次方程中的新定义问题】 3【题型6一元二次方程中的规律探究】 4【题型7一元二次方程在几何中的动点问题】 6【题型8一元二次方程与几何图形的综合问题】 7【题型1利用根与系数的关系降次求值】【例1】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则α2+2024α+2β2+2024β+2的值为（

）A．-2021 B．2021 C．-2023 D．2023【变式1-1】（2023春·四川南充·九年级四川省营山中学校校考期中）已知a，b是方程x2-x-1=0的两根，则代数式2aA．19 B．20 C．14 D．15【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）已知a是方程x2-2021x+1=0的一个根，则a【变式1-3】（2023春·四川自贡·九年级统考期末）若m、n是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根，则n3A．1 B．-1 C．2 D．-2【题型2利用一元二次方程的解法解特殊方程】【例2】（2023春·上海青浦·九年级校考期末）解方程：(1)x+2-(2)2xx(3)2【变式2-1】（2023春·上海·九年级期中）解方程：mx2【变式2-2】（2023春·内蒙古通辽·九年级统考期末）阅读理解：解方程：x3解：方程左边分解因式，得x(x+1)(x-1)=0，解得x1=0，x2问题解决：（1）解方程：4x（2）解方程：(x（3）方程(2x2-x+1)【变式2-3】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）解方程：(1)x4(2)|x-1|+|x-2|+|2x-3|=4；(3)x2【题型3利用一元二次方程求最值】【例3】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）设实数x,y,z满足x2+y2+【变式3-1】（2023春·四川泸州·九年级校考期末）已知实数x，y满足x2+3x+y-3=0，则x+y的最大值为【变式3-2】（2023·浙江金华·九年级期中）当a=，b=时，多项式a2-2ab+2b【变式3-3】（2023春·山东济南·九年级阶段练习）阅读下面材料：丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，丽丽发现像m+n，mnp，m2+n2等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变她还发现像m2+n2，(m-1)(n-1)等神奇对称式都可以用mn,m+n表示.例如：m2+请根据以上材料解决下列问题：（1）代数式①1mn，②m2-n2，③nm，④xy+（2）已知(x-m)(x-n)=x2①q=__________（用含m，n的代数式表示）；②若p=3，  q=-2，则神奇对称式③若p2-q=0【题型4利用一元二次方程的根求取值范围】【例4】（2023春·四川眉山·九年级校考期中）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（）A．﹣27＜a＜25 B．a＞25 C．a＜﹣27 D．﹣2【变式4-1】（2023春·全国·九年级期中）已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是．【变式4-2】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）关于x的方程(1-m2)x2-2mx-1=0的所有根都是比【变式4-3】（2023春·山东烟台·九年级山东省烟台第十中学校考期中）若关于x的方程(m2-5m+6)x2【题型5一元二次方程中的新定义问题】【例5】（2023春·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，则称这个方程为请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程(2)若关于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2+3=0是“限根方程(3)若关于x的一元二次方程x2+1-mx-m=0是“限根方程【变式5-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2(1)直接写出方程x2-4x+3=0的“对称方程(2)若关于x的方程3x2+m-1x-n=0与-3x2-x=-1互为“对称方程【变式5-2】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b=a+3b；当a<b时，a*b=a-3b．例如：3*-4（1）填空：(-4)*3=_；若x*(x+6)=-8，则x=_；（2）已知3x-7*3-2x>-6（3）小明发现，无论x取何值，计算x2【变式5-3】（2023春·江苏·九年级期中）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x（1）写出一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程（2）已知一元二次方程x2+3x-10=0的两根为x1=2，x2=-5，它的“友好方程”的两根x3=12、x4=________．根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根（3）已知关于x的方程2021x2+bx-c=0的两根是x1=-1，x2=【题型6一元二次方程中的规律探究】【例6】（2023春·江苏·九年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“（1）请根据上述结论解决问题：方程①2x2-3x+1=0；方程②x2-2x-8=0；方程（2）一般规律探究：我们知道，若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则有x1+x2=-ba，x1（3）若(x-1)(mx-n)=0是倍根方程，求2nm【变式6-1】（2023春·河南洛阳·九年级洛阳市东升第三中学校考期中）如表：方程1、方程2、方程3、…是按一定规律排列的一列方程．序号方程方程的解1x2+x﹣2﹣＝0x1＝﹣2x2＝12x2+2x﹣8﹣＝0x1＝﹣4x2＝23x2+3x﹣18＝0x1＝x2＝…………（1）解方程3，并将它的解填在表中的空白处；（2）请写出这列方程中第10个方程，并用求根公式求其解．（3）根据表中的规律写出第n个方程和这个方程的解．【变式6-2】（2023春·江西抚州·九年级校联考期末）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题：(1)问：依据规律在第n个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；(2)问：依据规律在第8个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；(3)某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？【变式6-3】（2023春·贵州遵义·九年级赤水市第一中学校考期末）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【题型7一元二次方程在几何中的动点问题】【例7】（2023春·江西赣州·九年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q(1)求DQ、PC的代数表达式；(2)当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；(3)当0<t<10．5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的【变式7-1】（2023春·浙江·九年级期中）如图，在▱ABCD中，AD=82，E，F分别为CD，AB上的动点，DE=BF，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E，G，H，F恰好在同一直线上，∠GAF=45°，且GH=11，则AB的长是．【变式7-2】（2023春·江苏连云港·九年级统考期中）小华同学学习了课本1.4节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题：

问题6如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以(1)几秒钟后点P、Q的距离为42(2)几秒钟后∠DQP为直角？请说明理由；(3)当BP=BQ时，Rt△PBQ内有一个动点M，连接PM、QM、BM．若∠BQM=∠MBP，线段PM的最小值为【变式7-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F，连接BE和BF，若AE=CF，AC-AB=9，AC-BC=2，则BE+BF的最小值是．

【题型8一元二次方程与几何图形的综合问题】【例8】（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作EF⊥AC，交边AD，AB于点F，H，连接CF，CH．（1）求证：CF＝CH；（2）若正方形ABCD的边长为1，当△AFH与△CDF的面积相等时，求AE的长．【变式8-1】（2023春·浙江温州·九年级校联考期中）欧几里得的《原本》记载，形如x2+bx=a2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b2A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．BD的长【变式8-2】（2023春·浙江金华·九年级统考期末）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形AB