中心对称及图案设计（讲练8题型）

中心对称及图案设计中心对称和中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系．

②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．

②对称中心是图形自身或内部的点．联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．题型1：中心对称和中心对称图形1对于以下说法，其中正确的有（

）①对角线相互垂直的四边形是菱形；②成中心对称的两个图形是全等形；③平行四边形的对称中心是对角线的交点；④正方形的对角线平分一组对角．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据菱形判定方法做出判断；②根据成中心对称定义做出判断；③根据平行四边形性质判断；④根据正方形性质做出判断．【详解】解：①应为对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故①错误；②成中心对称的两个图形是全等形正确；③平行四边形的对称中心是对角线的交点正确；④正方形的对角线平分一组对角正确．故选：C．【点睛】本题考查了菱形判定方法、成中心对称定义、平行四边形性质及正方形性质，熟记相关概念及判定、性质是解题关键．【变式11】若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据中心对称的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】解：∵两个图形成中心对称，∴①对应点的连线必经过对称中心，正确；②这两个图形的形状和大小完全相同，正确；③这两个图形的对应线段一定相等，正确；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合，正确．综上所述：正确共4个，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称，熟记中心对称的性质和概念是解题的关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【变式12】对于下列图形：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是．（填写图形的相应编号）【答案】②④⑤⑥【解析】【解答】解：①是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；②是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；③是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；④是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；⑤是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．⑥是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；故答案为：②④⑤⑥【分析】利用中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，对六个图形逐一判断可得答案。【变式13】近年来，我国新能源汽车产业快速发展，生产和销售稳定增长．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【详解】选项A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项A不符合题意；选项B是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不符合题意；选项C是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项C符合题意；选项D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，本题的关键是理解轴对称图形和中心对称图形的定义，并能熟练运用．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．题型2：中心对称的性质求角度2.如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称，要得到△DEF，需要将△ABC绕点O旋转角是【答案】180°【解析】【解答】根据两个图形成中心对称的含义知，旋转的角度是180°故答案为：180°

【分析】根据中心对称的图形的性质可得旋转角为180°。【变式21】如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若AB=6，∠BAC=40°，则CD的长度为，∠ACD的度数为°。【分析】直接利用中心对称图形的性质得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出答案．【解答】解：∵点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC=6，AB∥DC，

∴∠BAC=∠ACD=40°．

故答案为：6，40．【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确得出四边形ABCD是平行四边形是解题关键．【变式22】如图，将正五边形绕中心O顺时针旋转a角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则a的最小角度为（）°°°°【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；运算能力．【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则a的最小角度为36°．

故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．题型3：中心对称的性质求边长3.如图是一个以O为对称中心的中心对称图形，若∠A=30°，∠C=90°，OC=1，则AB的长为（）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】由中心对称的性质可得OA=OB，则AB=2OA，在Rt△AOC中，∠A=30°，OC=1，则OA=2，即可解答.【详解】由中心对称图形的性质，可得：AO=BO，∴AB=2OA，在Rt△AOC中，∠A=30°，∠C=90°，OC=1，∴OA=2OC=2，∴AB=4.故选B.【点睛】本题考查中心对称的性质，含30度角的直角三角形的性质.【变式31】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC=2，AB′=5，则菱形ABCD的边长是（）A.3B.4C.15D.17【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到OA=OC=O'C=1、OB⊥OC、O'B'⊥O'C、BC=B′C，根据AB′=5，利用勾股定理计算O'B'，再次利用勾股定理计算B'C即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC=2，

∴OA=OC=O'C=1，OB⊥OC，BC=B′C，

∴O'B'⊥O'C，O'A=AC+O'C=2+1=3，

∵AB′=5，【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键．【变式32】如图，是等腰三角形的底边中线，与关于点中心对称，连接，则的长是（）

A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据与关于点中心对称，可得，再根据勾股定理可得的长．【详解】解：∵是等腰三角形的底边中线，∴，∴，∵与关于点中心对称，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．题型4：确定对称中心及中心对称作图4.如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】C【分析】如图，连接，，根据交点的位置可得答案．【详解】解：如图，连接，，根据交点的位置可得：对称中心为，故选C【点睛】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．【变式41】如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，点A的对称点为点A′，请你用尺规作图的方法，找出对称中心O，并作出△A′B′C′．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．【答案】解：如图，点O和△A′B′C′为所作．【解析】【分析】连接AA′，作AA′的垂直平分线得到它的中点O，则点O为对称中心，延长BO到B′，使OB′=OB，延长CO到C′，使OC′=OC，则△A′B′C′满足条件．【变式42】如图，△ABC和△DEF关于点O（1）作出它们的对称中心O，并简要说明作法；（2）若AB=6，AC=5，BC=4，求△（3）连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．【答案】（1）解：如图，点O为所作；（2）解：∵△ABC和△DEF关于点O成心对称，∴△ABC≌△DEF，∴DF=AC=5，DE=AB=6，EF=BC=3，∴△DEF的周长=3+5+6=14（3）解：四边形ACDF为平行四边形．理由如下：∵△ABC和△DEF关于点O成心对称，∴OA=OD，OC=OF，∴四边形ACDF为平行四边形【解析】【分析】（1）根据成中心对称的两个图形的性质：关于成中心对称的两个图形对称点的连线必过对称中心，因此连接AD，EC，两线段的交点就是点O.（2）根据成中心对称的两个图形的是全等形，可证得△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质，可求出△DEF的三边长，再求出此三角形的周长。（3）根据成中心对称的两个图形的的对称点的连线被对称中心平分，可证得OA=OD，OC=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论。关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.题型5：关于原点对称的点的坐标特征5.平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此可得答案．【详解】解：点关于原点对称的点坐标是，故选：B．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．【变式51】已知点A(1，a)，点B(b，2)关于原点对称，则a＋b的值是（）A．1 B．1 C．2 D．2【答案】A【解析】【解答】解：∵点A（﹣1，a），点B（b，2）关于原点对称，∴a＝﹣2，b＝1，∴a+b＝﹣2+1＝﹣1，故答案为：A．【分析】根据题意先求出a＝﹣2，b＝1，再代入计算求解即可。【变式52】已知P1(a，-A．-1 B．1 C．-52021 【答案】A【解析】【解答】解：∵P1(a∴a=-3∴(a故答案为：A．

【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征可得a=-3，b=2，再将题型6：关于原点对称的点的坐标特征及应用6.若点关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．【详解】解：点关于原点的对称点为，∵在第二象限，∴，解得，故选：C．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．【变式61】已知和关于原点对称，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】首先根据关于原点对称的两个点的坐标特点求出a和b的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵和关于原点对称，，∴，，∴，故选：A．【点睛】此题考查了关于原点对称的两个点的坐标特点和代数式的求值问题，解题的关键是掌握关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【变式62】在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（0，1），请按要求画图与作答：⑴请画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1；⑵请画出△ABC绕着点C顺时针旋转90°后的△A2B2C2；⑶求△A2B2C2的面积．【答案】解：⑴如图所示：△A1B1C1，即为所求；；⑵如图所示：△A2B2C2，即为所求；⑶△A2B2C2的面积为：2×3﹣12×1×2﹣12×1×2﹣12【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的点坐标的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；

（2）利用旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；

（3）利用割补法求出三角形的面积即可。中心对称、轴对称、旋转对称1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：注意：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.题型7：综合利用平移、轴对称、旋转进行图案设计7.风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转．现有一长条矩形硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车．正确的粘合方法是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，A、是中心对称图形，并且不是轴对称图形，符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；故选A．【分析】抓住一点：风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，结合选项进行判断即可．【变式71】如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形.（用阴影表示）

（1）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；

（2）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图；

（3）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.【答案】解：本题是图案设计问题，用轴对称和中心对称知识画图，设计图案，要按照题目要求，展开丰富的想象力，答案不唯一.【解析】【分析】（1）可以设计为“T”型，属于轴对称图形，但不是中心对称图形；

（2）可以将第一行的第二个正方形移至第二行最右面的小正方形的下方，此时满足该图形为中心对称图形，而不是轴对称图形；

（3）可以设计为“+”，既属于轴对称图形，也属于中心对称图形.【变式72】如图，从正三角形出发，利用旋转，作一个飞鸟图．请你也利用正三角形用旋转设计一个图案．【答案】解：先以等边三角形的一边为基础画一个基本图形，再绕等边三角形的两个顶点分别旋转60°后删除原等边三角形.如图所示：【解析】【分析】利用旋转设计图案，此题答案不唯一，先以等边三角形的一边为基础画一个基本图形，再绕等边三角形的两个顶点分别旋转60°后删除原等边三角形.题型8：利用轴对称和中心对称设计方案8.认真观察图（1）﹣（4）中的四个图案，回答下列问题：（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：（2）请你在图5中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．【答案】（1）都是轴对称图形；都是中心对称图形（2）解：如图所示，【解析】【解答】解：（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形．故答案为：都是轴对称图形；都是中心对称图形；【分析】（1）利用沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．绕一个点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形，进而得出即可；（2）根据题意画出图形即可．【变式81】如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出ABC，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：（1）图①中所画的三角形与ABC组成的图形是轴对称图形；（2）图②中所画的三角形与ABC组成的图形是中心对称图形．【答案】解：（1）如图①所示：（2）如图②所示．【解析】【分析】（1）利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；（2）利用中心对称图形的性质，画出一个平行四边形即可．【变式82】在下列正方形网格中，点A是⊙O上一点（点A和圆心O均为格点）（1）在图1中不过点A画⊙O的3条弦（要求弦的端点均为格点），使3条弦与⊙O（2）在图2中不过点A画⊙O的3条弦（要求弦的端点均为格点），使这3条弦与⊙O（3）在图3中不过点A画⊙O的5条弦（要求弦的端点均为格点），使这5条弦与⊙O【答案】（1）解：答案不唯一.（2）解：答案不唯一.（3）解：答案不唯一.【解析】【分析】（1）把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义即可设计得出答案；

（2）把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可设计得出答案；

（3）利用轴对称图形的意义和中心对称图形的意义得出结果即可.一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】轴对称图形，是指沿着对称轴折叠，两部分能完全重合的图形；中心对称，是指绕着中点旋转，两部分完全重合的图形．根据定义，结合图形即可求出答案．【详解】解：选项，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；选项，既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；选项，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；选项，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查图形的变换，包括轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，熟练掌握定义，结合图形是解题的关键．2．将两张全等的正方形透明纸片叠放在一起，并使其中心重合，得到如图所示的图形，则该图形（）A．既是轴对称图形又是中心对称图形 B．既不是轴对称图形也不是中心对称图形C．是轴对称图形但不是中心对称图形 D．是中心对称图形但不是轴对称图形【答案】A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【详解】两张全等的正方形透明纸片叠放在一起，且中心重合，既是轴对称图形也是中心对称图形．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两图形重合．3．下列命题是假命题的是（）A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．四边形的内角和是D．旋转不改变图形的形状和大小【答案】B【分析】根据垂直平分线的判定方法、等边三角形的性质、多边形的内角和以及旋转的性质进行判断即可．【详解】A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、四边形的内角和是，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选B．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．4．在平面直角坐标系中有三个点､､，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设P1（x，y），再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出循环的规律即可得出点P2020的坐标．【详解】解：设P1（x，y），∵点A（1，1）、B（1，1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，∴=1，=1，解得x=2，y=4，∴P1（2，4）．同理可得，P2（4，2），P3（4，0），P4（2，2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，4），…，∴每6个操作循环一次．∵2020=6×336+4，∴点P2020的坐标与P4（2，2）相同．故选：B．【点睛】本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．5．如果一个正多边形绕着它的中心旋转后，能与原正多边形重合，那么这个正多边形（

）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．既是轴对称图形，又是中心对称图形C．是中心对称图形，但不是轴对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【答案】B【分析】根据旋转对称图形的概念判断出多边形的形状，然后根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答．【详解】解：∵一个正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与原正多边形重合，360°÷60°＝6，∴这个正多边形是正六边形，正12边形，正18边形，…正六边形，正12边形，正18边形，…既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选：B．【点睛】本题考查了旋转对称图形，中心对称图形和轴对称图形的定义．奇数边的正多边形只是轴对称图形，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、填空题6．平面直角坐标系中，点(﹣1，﹣1)关于原点对称的点的坐标为．【答案】(1，1)【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．【详解】解：点（﹣1，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（1，1）．故答案为：（1，1）．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中，关于原点对称点的坐标规律，掌握关于原点对称的两个点，它们的坐标符号相反是解题的关键．7．如图所示，四个图形中，图形①与图形成轴对称；图形①与图形成中心对称．（填写符合要求的图形所对应的序号）【答案】④③【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．【详解】解：四个图形中，图形①与图形④成轴对称；图形①与图形③成中心对称，故答案为：④；③．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟记定义是解题关键．8．如图，△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，已知AO＝4cm，那么AA1＝cm．【答案】8．【分析】根据中心对称图形的性质即可得到结论．【详解】∵△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，AO＝4cm，∴OA1＝OA＝4cm，∴AA1＝OA+OA1＝8cm，故答案为8．【点睛】本题考查了中心对称的图形的