11.6专题带电粒子在组合场中的运动（讲）

第十一章磁场专题带电粒子在组合场中的运动目标要求1.掌握带电粒子在组合场中的运动规律和分析思路.2.学会处理磁场与磁场组合场、电场与磁场组合场中带电粒子的运动问题．1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．2．分析思路（1）画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图．（2）找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度（包括大小和方向）是解决该类问题的关键．（3）划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．3．常见粒子的运动及解题方法考点一磁场与磁场的组合磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系．典例精析变式巩固【例题1】1.如图所示，在无限长竖直边界AC和DE间，上、下部分分别充满方向垂直于平面ADEC向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为B0，OF为上、下磁场的水平分界线，质量为m、带电荷量为＋q的粒子从AC边界上与O点相距为a的P点垂直于AC边界射入上方磁场区域，经OF上的Q点第一次进入下方磁场区域，Q与O点的距离为3a，不考虑粒子重力。（1）求粒子射入时的速度大小；（2）要使粒子不从AC边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度B1应满足的条件；（3）若下方区域的磁感应强度B=3B0，粒子最终垂直DE边界飞出，求边界DE与AC间距离的可能值。【答案】（1）；（2）；（3）4na（n=1，2，3……）【解析】【详解】（1）设粒子在OF上方做圆周运动半径为R，如图所示由几何关系可知解得根据洛伦兹力提供向心力，有解得（2）当粒子恰好不从AC边界飞出时，设粒子在OF下方做圆周运动的半径为r1，如图所示由几何关系得解得根据洛伦兹力提供向心力，有解得当磁感应强度大于时，粒子运动的轨迹半径减小，粒子将不会从AC边界飞出；（3）当磁感应强度为3B0大于时，粒子的运动轨迹如图所示根据洛伦兹力提供向心力，有所以粒子在OF下方的运动半径为设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时的位置为P1，则P与P1的连线一定与OF平行，根据几何关系知所以若粒子最终垂直DE边界飞出，边界DE与AC间的距离为（n=1，2，3……）【例题2】2.扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图Ⅰ、Ⅱ两处的条形均强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面。一质量为m、电量为、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平和方向夹角。(1)当Ⅰ区宽度L1=L、磁感应强度大小B1=B0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为，求B0及粒子在Ⅰ区运动的时间t0；(2)若L2=L1=L、B1=B0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B2应满足的条件；(3)若，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出。为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射入的方向总相同，求B1、B2、L1、、L2、之间应满足的关系式。【答案】(1)，；(2)；(3)【解析】【详解】(1)由题意可得粒子运动轨迹大致如下图所示设粒子射入磁场的速度为v，在磁场Ⅰ区中做圆周运动的半径为R1，由动能定理和牛顿第二定律可得由几何知识得联立解得粒子在Ⅰ区运动的时间为(2)由题意可得粒子运动轨迹大致如下图所示设粒子在磁场Ⅱ区中做圆周运动半径为R2，由牛顿第二定律得为使粒子能返回Ⅰ区，应满足代入数据解得(3)由题意可得粒子运动轨迹大致可能如下图所示两种情况设粒子射出磁场Ⅰ区时速度与水平方向的夹角为，由几何知识可得（或）（或）又根据洛伦兹力提供向心力有，联立解得题型二电场与磁场的组合1．带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示．2．带电粒子在匀强电场中做类平抛（或类斜抛）运动，在磁场做匀速圆周运动，如图所示【例题1】3.如图所示，在xOy坐标系中有圆柱形匀强磁场区域，其圆心在O′(R，0)，半径为R，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向里．在y≥R范围内，有方向向左的匀强电场，电场强度为E．有一带正电的微粒以平行于x轴射入磁场，微粒在磁场中的偏转半径刚好也是R．已知带电微粒的电量为q，质量为m，整个装置处于真空中，不计重力．(1)求微粒进入磁场的速度大小；(2)若微粒从坐标原点射入磁场，求微粒从射入磁场到再次经过y轴所用时间；(3)若微粒从y轴上y=处射向磁场，求微粒以后运动过程中距y轴的最大距离．【答案】（1）；（2）（3）【解析】【详解】（1）微粒射入磁场后做匀减速运动，洛伦兹力提供向心力，有：解得（2）微粒从原点射入磁场，因在磁场中轨迹半径也为R，所以微粒经圆弧后以速度v垂直于电场方向进入电场，轨迹如图甲所示在磁场中运动时间为进入电场后做类平抛运动，沿电场方向解得故所求时间为：（3）微粒从y轴上处射向磁场，入射点为P，轨迹圆心为，如图乙所示在中=30°，=60°，连接，因，=120°，则=30°，两圆相交，关于圆心连线对称，设出射点为Q，由对称知=30°，出射点Q必位于点正上方．由于=60°，所以微粒从磁场中出射方向与x轴成．在电场中微粒沿x轴正方向做初速为的匀减速运行，加速度大小为在电场中向右运动的最远距离由以上三个方程及可解得运动过程中距y轴的最远距离为，即．【变式题】4.如图，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核11H和一个氘核21H先后从y轴上y=h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知11H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场．11H的质量为m，电荷量为q不计重力．求（1）11H第一次进入磁场的位置到原点O的距离（2）磁场的磁感应强度大小（3）12H第一次离开磁场的位置到原点O的距离【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】本题考查带电粒子在电场中的类平抛运动、在匀强磁场中的匀速圆周运动及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决问题的的能力．【详解】（1）在电场中做类平抛运动，在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示．设在电场中的加速度大小为，初速度大小为，它在电场中的运动时间为，第一次进入磁场的位置到原点Ｏ的距离为．由运动学公式有①②由题给条件，进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角．进入磁场时速度的y分量的大小为③联立以上各式得④（2）在电场中运动时，由牛顿第二定律有⑤设进入磁场时速度的大小为，由速度合成法则有⑥设磁感应强度大小为B，在磁场中运动的圆轨道半径为，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有⑦由几何关系得⑧联立以上各式得⑨（3）设在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为，在电场中的加速度大小为，由题给条件得⑩由牛顿第二定律有⑪设第一次射入磁场时的速度大小为，速度的方向与x轴正方向夹角为，入射点到原点的距离为，在电场中运动的时间为．由运动学公式有⑫⑬⑭⑮联立以上各式得，，⑯设在磁场中做圆周运动的半径为，由⑦⑯式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得⑰所以出射点在原点左侧．设进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为，由几何关系有⑱联立④⑧⑯⑰⑱式得，第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为⑲【点睛】此题与2004年全国理综卷第25题情景类似，都是带电粒子在匀强电场中类平抛运动后进入匀强磁场中做匀速圆周运动，且都是在第一象限和第二象限设置了竖直向下的匀强电场，在第三象限和第四象限设置了方向垂直纸面向外的匀强磁场，解答需要的知识都是带电粒子在匀强电场中的类平抛运动规律和洛伦兹力等于向心力、几何关系等知识点．带电粒子在匀强电场中的类平抛运动和在匀强磁场中的匀速圆周运动是教材例题和练习中的常见试题，此题可认为是由两个课本例题或习题组合而成．【例题2】5.平面直角坐标系xOy中，直线OP与x轴正方向的夹角为30°，其上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，下方存在匀强电场，电场强度与x轴负方向的夹角为60°，如图所示。质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以速度v从坐标原点沿y轴正方向进入磁场，经磁场偏转后由P点进入电场，最后由x轴上的Q点离开电场，已知O、P两点间距离为L，PQ连线平行于y轴。求：（1）匀强磁场的磁感应强度B；（2）匀强电场的电场强度E。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】【详解】（1）粒子在磁场中运动时，设轨迹半径为R，根据洛伦兹力提供向心力可得由几何关系有解得（2）粒子进入电场时，速度方向与边界OP的夹角为60°，由几何关系可知，速度和电场垂直。粒子在电场中的位移又联立解得【例题3】6.两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直xOy平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为q（）、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：（1）时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标；（2）在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功。【答案】（1）（，）；（2）【解析】【详解】（1）在时间内，电场强度为E0，带电粒子在电场中加速运动，根据动量定理可知解得时刻粒子的速度方向竖直向上，粒子竖直向上运动距离在时间内，根据粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，可知粒子偏转180°，速度反向，根据可知粒子水平向右运动的距离为粒子运动轨迹如图，所以粒子在时刻粒子的位置坐标为（x2，y1），即（，）（2）在时间内，电场强度为2E0，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向解得时刻粒子的速度方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为在时间内，粒子在水平方向运动的距离为此时粒子速度方向向下，大小为v2，在时间内，电场强度为3E0，竖直方向解得时刻粒子的速度方向竖直向上，粒子在竖直方向运动的距离在时间内，粒子在水平方向运动的距离为此时粒子速度方向向下，大小为v3，粒子运动的轨迹如图，在时间内，静电力对粒子的做功大小为所以电场力做正功，做功为。【例题4】7.图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取。（1）当时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能；（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值。【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】【详解】（1）电子在电场中加速有在磁场Ⅰ中，由几何关系可得联立解得在磁场Ⅰ中的运动周期为由几何关系可得，电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为在磁场Ⅰ中的运动时间为联立解得从Q点出来的动能为（2）在磁场Ⅰ中的做匀速圆周运动的最大半径为，此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切，由几何关系可得解得由于联立解得【例题5】8.如图所示，一对足够长平行栅极板M、N水平放置，极板与可调电源相连。极板外上方和下方分别存在方向垂直纸面向外和向内的匀强磁场和，和的大小未知，但满足。磁场左边界上距M板距离为的A点处的粒子源平行极板向右发射速度为v带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，粒子第1次离开M板的位置为C点，已知C点距离磁场左边界距离为l。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力。（1）求磁感应强度的大小；（2）当两板间电势差时，粒子经过下方磁场一次偏转后恰能从C点再次返回极板上方的磁场，求两板间距d的大小；（3）当两板间所加的电势差时，在M板上C点右侧P点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从M板上方打入的粒子。问当P点离磁场左边界多远的地方能接收到粒子？【答案】（1）；（2）；（3），、1、2、3…【解析】【详解】（1）粒子从A点发射后运动到C的过程，洛伦兹力提供向心力由几何知识可得解得（2）粒子经过C点时的速度方向与竖直方向的夹角为，则粒子进入磁场之后，圆周运动半径为又因为解得由得，粒子在磁场中不会从左边界飞出。（3）粒子第一次在电场中向左运动距离粒子在磁场中运动到最左边时，距C点距离所以不会从左边界飞出。P点离磁场左边界的距离为，、1、2、3…（2023·浙江·高考真题）9.探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为；且各个方向均有速度大小连续分布在和之间的离子射出。已知速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。（1）求孔C所处位置的坐标；（2）求离子打在N板上区域的长度L；（3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压；（4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔C位置坐标x之间关系式。【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当时，【解析】【详解】（1）速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后轨迹如图由洛伦兹力提供向心力解得半径孔C所处位置的坐标（2）速度大小为的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力解得半径若要能在C点入射，则由几何关系可得解得如图由几何关系可得（3）不管从何角度发射由（2）可得根据动力学公式可得，联立解得（4）孔C位置坐标x其中联立可得，解得在此范围内，和（3）相同，只与相关，可得解得根据动力学公式可得，解得（2022·天津·高考真题）10.如图所示，M和N为平行金属板，质量为m，电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场加速后，从N上的小孔穿出，以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域，经D点穿出磁场，CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力略不计。（1）判断粒子的电性，并求M、N间的电压U；（2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r；（3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。【答案】（1）正电，；（2）；（3）【解析】【详解】（1）带电粒子在磁场中运动，根据左手定则可知粒子带正电。粒子在电场中运动由动能定理可知解得（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力提供向心力，有解得（3）设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为，如图依题意粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，由几何关系，得设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，有带电粒子在磁场中运动的时间联立各式解得（2022·浙江·统考高考真题）11.离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为–q（q>0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。（1）①求磁感应强度B的大小；②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小；（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；（3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。【答案】（1）①，②，k=0，1，2，3…；（2），n=0，1，2，…；（3），，【解析】【详解】（1