2022年湖南师大附中博才实验中学中考数学模拟试题及答案解析

2022年湖南师大附中博才实验中学中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各数中，与2022互为相反数的是（）

A.2022B.-2022C./D.-募

2.2022年3月，在第十三届全国人民代表大会第五次会议上，国务院总理李克强在政府工作

报告中指出：2021年，我国经济保持恢复发展，国内生产总值达到1140000亿元，增长8.1%.

将1140000用科学记数法表示应为.（）

A.0.114x107B.1.14x107C.1.14x106D.11.4x105

3.下列计算正确的是（）

A.x2+x4=x6B.（%+l）（x-1）=x2+1

C.（x3）2=x6D.x6-T-%3=x2

4.如图，是一次函数y=k久+6的示意图，则k的值可以是（）

A.

B.0

〜C-2

D.1

5.如图，直线AB〃CD,直线EF分别与直线4B,CD交于点E,F,点G在直线CD上，GE1EF.

若41=55。，则42的大小为（）

A.145°B,135°C.125°D,120°

6.如表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差:

甲乙丙T

平均数（环）9.359.359.349.34

方差6.66.96.76.9

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）

A.甲B.乙C.丙D.T

7.2022年2月4日至20日冬季奥运会在我国首都北京成功举行，如图是一个正方体的展开图,

将它折叠成正方体后，“成”字的对面是（）

A.功B.办C.冬D.奥

8.△4BC和ADEF是两个等边三角形，AB=2,DE=4,则△ABC与△OEF的面积比是（）

A.1：2

B.1：4

C.1：8

D.1：V2

9.仇章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中《盈

不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四.问

人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又

差4钱.问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正

确的是（）

（8x+3=y（8x-3=yf8x+3=y（8x-3=y

a-4=y[7x+4=y（7%+4=yu,（7x-4=y

10.某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：男学生人数多

于女学生人数；5）女学生人数多于教师人数；（位）教师人数的两倍多于男学生人数.下列说

法，不正确的是（）

A.若男学生人数是8人，则女学生人数最多为7

B.若女学生人数为8,则教师人数最少为5

C.该小组教师人数的最小值为1

D.若学习兴趣小组有12人，则男学生人数为5

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

11.分解因式：M—16a=.

12.在平面直角坐标系中，将点4(-2,3)向右平移4个单位长度后得到点4',则4'的坐标为

13.某圆锥的母线长是2,底面半径是1,则该圆锥的侧面积是

14.如表显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果.

抛掷次

300500700900110013001500170019002000

数几

“正面

向上”

1372333354415446507498529461004

的次数

m

“正面

向上”

0.4570.4660.4790.4900.4950.5000.4990.5010.4980.502

的频率

m

n

估计此次实验硬币“正面向上”的概率是.

15.如图，在直角坐标系中，△。48的顶点为。(0,0),力(4,3),8(3,0),以点。为位似中心,

在第三象限内作与△。48的位似比为g的位似图形△OCD,则点C的坐标为.

16.如图，平行四边形PQMN是由四个直角三角形与中间的正方形KRST拼成的，其中APTN

与^MRQ全等，APKQ与AMSN是两个全等的等腰直角三角形，若PQ=4&，正方形KRST的

边长为1,则PN的长为.

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题6.0分）

计算：G）T—（”—2022）。一2sin60°+V6+V2.

18.（本小题6.0分）

3（%—1）22x—5,（T）

解不等式组：1刀＜出②，并把它的解集在数轴上表示出来.

-5-4-3-2-10I2345

19.（本小题6.0分）

已知：如图，4MAN=90。,线段a和线段b.

求作：矩形ABC。，使得矩形ABC。的两条边长分别等于线段a和线段b.下面是小东设计的尺规

作图过程.作法：如图，①以点4为圆心，b为半径作弧，交4N于点8；②以点4为圆心，a为

半径作弧，交4M于点。；③分别以点B、点。为圆心，a、b长为半径作弧，两弧交于4MAN内

部的点C；④分别连接BC,DC.所以四边形4BCD就是所求作的矩形.请你根据小东设计的尺

规作图过程完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：

证明：

•••AB=,AD=；

四边形ABCD是；

4MAN=90°；

•••四边形4BCD是矩形.

（2）这种作一个四边形是矩形的依据是（填序号）.①有一个角是直角的平行四边形是矩

形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.

20.(本小题8.0分)

劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家帮助父母做一些力所能及

的家务.小杨随机抽取该校部分学生进行问卷调查，问卷调查表如图所示，并根据调查结果

绘制了两幅不完整的统计图.平均每周做家务的时间调查表设平均每周做家务的时间为％小时,

则最符合你的选项是(单选)40Wx<1B.1<x<2C.2<x<3D.x>3.

学校部分学生平均每周做

家务时间的条形统计图学校部分学生平均每周做

家务时间的扇形统计图

24

20

16

12

8

4

0

(1)求小杨共调查了多少人，并补全条形统计图;

(2)该校有3300名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间不少于2小

时的学生人数;

(3)为了增强学生的劳动意识，现需要从4组的四位同学中抽调两位同学参与到社区服务，已

知4组共由两位女生、两位男生组成，请利用树状图或列表等方法求出恰好抽调到一男一女

的概率.

21.(本小题8.0分)

如图，矩形4BCD的对角线AC、BD相交于点。，BE//AC,AE//BD.

(1)求证：四边形40BE是菱形；

(2)若乙4OB=60°,AC=4,求菱形AOBE的面积.

D

E

22.(本小题9.0分)

2021年10月16日。时23分，神州十三号顺利发射，举国欢庆.航天是让民族挺起脊梁的战略

性的产业，是让生活更美好的伟大事业.某玩具企业眼光独到，准备生产一批航天模型玩具

投放市场.若按定价销售该航天模型玩具，每件可获利30元；若按定价的八折销售该件航天

玩具模型6件与将定价降低10元销售该航天玩具模型3件获得利润相同.

(1)该航天玩具模型的定价与进价分别为多少元？

(2)若现按定价销售这种航天模型玩具600件，销售一部分后发现生意火爆，又将每件航天玩

具模型提价10元，很快销售完，要想利润不低于22000元，提价前应最多销售多少件玩具？

23.(本小题9.0分)

如图，在RtAABC中，ZC=90°,4E是A4BC的角平分线.4E的垂直平分线交48于点。，

以点。为圆心，0A为半径作O。，交4B于点F.

(1)求证：BC是00的切线：

(2)若BF=8,tanB=求CE的长.

24.(本小题10.0分)

我们定义：若点P在一次函数y=ax+b(a#0)图象上，点Q在反比例函数y=：(cH0)图象

上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y=a/+故+©为一次函数y=&%+匕与

反比例函数y=5的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”•

(1)若二次函数y=x2+2x+1是一次函数y=ax+b与反比例函数y=(的“衍生函数”，则

a=,b=,c=；

(2)若一次函数y=x+b和反比例函数y=(的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的

横坐标为1,求“靶点”的坐标；

(3)若一次函数y=ax+2b(a>b>0)和反比例函数y=-，的"衍生函数"经过点(2,6).①

试说明一次函数丫=ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y=ax+2b图

象上两个不同的“基点”的横坐标为与、求出-&的取值范围.

x2,1

25.(本小题10.0分)

如图，△ABC中，AB=AC,BD是AC边上的中线，2。平分NBAC且交BD于点0.

(1)求证：BO=2OD-.

(2)当是等腰三角形时，求/CBO的余弦值；

(3)以0为圆心、。。长为半径的圆交线段BO于点E,连结。£当4CDE与△AOB相似时，求4B：

BC的值.

A

A

BC

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：2022的相反数是-2022,

故选:B.

根据相反数的定义即可得出答案.

本题考查相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中1＜|a|＜10,n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中1＜同＜10,ri为整数.确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，

n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数.

【解答】

解：1140000=1.14x106.

故选：C.

3.【答案】C

【解析】解：•.。2和铲不是同类项，

・・・/+/不能进行合并计算，

•••选项A不符合题意；

V(X+1)(%—1)=X2-1,

・・・选项B不符合题意；

••・选项C符合题意；

；・选项。不符合题意；

故选：C.

运用合并同类项、平方差公式、幕的乘方、同底数基相除的计算方法进行逐一计算辨别.

此题考查了整式加减、平方差公式、塞的乘方、同底数塞相除的计算能力，关键是能准确理解以

上运算法则.

4.【答案】a

【解析】解：由图象可得，

该一次函数丁=kx+b的k<0,b>0,

二选项A符合题意，选项8,C,D不符合题意，

故选：A.

根据一次函数y=kx+b的图象与k,b的关系进行辨别即可.

此题考查了一次函数图象与性质问题的解决能力，关键是能运用图象理解、运用函数的性质.

5.【答案】A

【解析】解：•••EG1EF,41=55。，

乙BEG=90°-55°=35°,

vAB//CD,

•••Z2=180°-乙BEG=180°-35°=145°,

故选：A.

根据垂直的定义和角的关系得出NBEG,进而利用平行线的性质解答即可.

此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答.

6.【答案】A

【解析】解：•••甲和乙的平均数较大，

二从甲和乙中选择一人参加竞赛，

•••甲的方差较小，

••・选择甲参加比赛，

故选：A.

首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛.

此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏

离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各

数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

7.【答案】D

【解析】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，

“成”字的对面是“奥”，

故选：D.

根据正方体表面展开图的特征进行判断即可.

本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的关键.

8.【答案】B

【解析】解：•・•△4BC和ADEF是两个等边三角形，AB=2,0E=4,

AD1

"ABC*DEF,-=

.♦•△48C与AOEF的面积比是1：4,

故选：B.

根据所有的等边三角形都相似，从而求出相似比，再根据相似三角形的性质，进行计算即可解答.

本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是

解题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：设人数为x人，物价为y钱，

依题意得:腰；

故选：B.

设人数为x人,物价为y钱，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关

于x,y的二元一次方程组，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次

方程组是解题的关键.

10.【答案】C

m>n

【解析】解：设男学生人数为m人，女学生人数为n人，教师人数为t人，根据题意可得n>t,

2t>m

■■t<n<m<2t,

,■m,n,t都是正整数

当t=l时，2t=1,不成立，

当t=2时，2t=4,不成立，

当t=3时，2t=6,3<4<5<6,

即t最小为3,

；・选项C说法不正确，

故选：C.

m>n

设男学生人数为小人，女学生人数为葭人，教师人数为t人，根据题意可得n>t,解不等式组即

2t>m

可求解.

本题考查了解一元一次不等式组，根据题目的数量关系，列出一元一次不等式组是解题的关键.

11.【答案】a(a+4)(a-4)

【解析】解：a3-16a,

=a(a2—16),

=a(a+4)(a—4).

先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-

b).

本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，难点在于需要进行二次分解.

12.【答案】(2,3)

【解析】解：点4(一2,3)向右平移4个单位长度后得到点4的坐标为(一2+4,3),即(2,3),

故答案为：(2,3).

利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律求解可得.

此题主要考查了坐标与图形的变化-平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移

加，下移减.

13.【答案】2n

【解析】解：圆锥的侧面积=卜2x2兀x1=2兀，

故答案为：27r.

由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线

长，所以根据扇形的面积公式可得圆锥的侧面积.

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的

半径等于圆锥的母线长.

14.【答案】0.500

【解析】解：观察表格发现：随着试验次数的增多，“正面向上”的频率逐渐稳定在常数0.500附

近，

所以估计此次实验硬币“正面向上”的概率是0.500,

故答案为：0.500.

用大量重复试验事件发生的频率的稳定值估计概率即可.

本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义.

15.【答案】（―g,—1）

【解析】解：•••以点。为位似中心,在第三象限内作与△。4B的位似比为9的位似图形△OCD,71（4,3）,

二点C的坐标为（4x（—^）,3x（—：）），即（一*一1）,

故答案为：（—g,—1）.

根据位似变换的性质解答即可.

本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，

相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

16.【答案】V34

【解析】解：•.・正方形KRST的边长为1,

KT=KR=1,

△PKQ与AMSN是两个全等的等腰直角三角形，PQ=4VL

:.PK=KQ=NS=MS=4.

•••△P7N与AMRQ全等，

NT=RQ=4-1=3,PT=4+1=5,

PN=VPT2+TN2=V34,

故答案为：V34.

根据正方形性质得到KT=KR=1,根据全等三角形的性质得到PK=KQ=NS=MS=4,NT=

RQ=4-1=3,PT=4+1=5,根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了正方形的概念，全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

17.【答案】ft?：（I）-1-（7r-2022）0-2sin60°+V6^V2

V3r-

=2-1—2x--■FV3

=2-l-V3+V3

=1.

【解析】首先计算零指数累、负整数指数塞、特殊角的三角函数值，然后计算乘法、除法，最后

从左向右依次计算，求出算式的值即可.

此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，

要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同

级运算要按照从左到右的顺序进行.

18.【答案】解：解不等式①，得：x>-2,

解不等式②，得：x<l,

则不等式组的解集为一2<x<1,

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

-।-----1---------1---------------।----L_,5-------1-------1--------1-------1->

—5—4—3—7—1017345

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大

大小小找不到确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

19.【答案】CDBC平行四边形①

【解析】解：（1）完成下面证明过程，

证明："AB=CD,AD=BC；

•••四边形力BCD是平行四边形；

乙MAN=90°；

.•・四边形4BCD是矩形；

故答案为：CD,BC；平行四边形；

（2）这种作一个四边形是矩形的依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形.

故答案为：①.

（1）利用作法得到AB=CO,AD=BC；则可判断四边形4BCD是平行四边形，加上zJVMN=90。：

则可判断四边形4BCD是矩形；

（2）根据矩形的判定方法进行判断.

本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本儿何图形的性质，结合几何图形的

基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行四边形的性质和矩形的判定与性

质.

20.【答案】C

【解析】解：Q）小杨共调查的人数有：20+40%=50（人），

C等级人数为：50-4-20-10=16（人），

补全统计图如下：

学校部分学生平均每周做

家务时间的条形统计图

(2)根据题意得：

3300x端口=1716(人)，

答：估计该校平均每周做家务的时间不少于2小时的学生人数有1716；

(3)根据题意画图如下:

/1\/NzT\/1\

男女女男女女男男女男男女

一共有12种可能性，其中恰好抽调到一男一女的有8种，

则恰好抽调到一男一女的概率是工=|.

(1)根据B选项的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用总人数减去其它选项的人数求出

C选项的人数，从而补全统计图；

(2)用该校的总人数乘以平均每周做家务的时间不少于2小时的学生人数所占的百分比即可；

(3)根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出

答案.

本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明

确题意，利用数形结合的思想解答.

21.【答案】(1)证明：vBEHAC,AE//BD,

二四边形40BE是平行四边形，

••・四边形力BCD是矩形，

：.AC=BD,OA=OC=^AC,OB=OD=^BD,

，OA=OB,

.••四边形20BE是菱形；

(2)解：作BF104于点产,

•••四边形4BCC是矩形，AC=4,

11

AC=BD=4,OA=OC=^AC,OB=0D=aBD,

:.OA=OB=2,

vz.AOB=60°,OA=OB

・•・4。4B是等边三角形

・・・Z,BAO=60°・•・乙ABF=30°

■■AF=^AB=1,

BF=V3，

・•・菱形AOBE的面积是：OA-BF=2x里,=2娼.

【解析】⑴根据BE〃/IC,AE//BD,可以得到四边形40BE是平行四边形，然后根据矩形的性质，

可以得到04=OB,由菱形的定义可以得到结论成立；

(2)根据乙1OB=60。，AC=4,可以求得菱形AOBE边。4上的高，然后根据菱形的面积=底、高,

代入数据计算即可.

本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积=底

x高或者是对角线乘积的一半.

22.【答案】解：(1)设该航天玩具模型的定价为K元，进价为y元，

依题意得：［6(08x-y)=3(x-10-y),

解得：

答：该航天玩具模型的定价为100元，进价为70元.

(2)设提价前销售m件玩具，则提价后销售(600-m)件玩具，

依题意得：30m+(30+10)(600-m)>22000,

解得：m<200.

答：提价前应最多销售200件玩具.

【解析】(1)设该航天玩具模型的定价为x元，进价为y元，根据“若按定价销售该航天模型玩具,

每件可获利30元；若按定价的八折销售该件航天玩具模型6件与将定价降低10元销售该航天玩具

模型3件获得利涧相同”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设提价前销售m件玩具，则提价后销售(600-6)件玩具，利用总利润=每件的销售利润x销售

数量，即可得出关于ni的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系,

正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

23.【答案】（1）证明：连接0E./

「4E的垂直平分线交AB于点。，J

OA=OE.//X

•••点E在。。上，且N1=42,（\/\后

•.YE是UBC的角平分线，1

41=43,且点E在BC■上.

z2=z3,

・・・OE//AC,

•・•乙C=90°,

・•・乙OEB=ZC=90°,

:.BC1OE于点E.

•••OE是。。的半径，

BC是。。的切线；

（2）解：设。0的半径为r,在RtAABC中，/.OEB=90°,OE=r,tanB=

BE12

12r

・•・BE=—,

・・222

•OB=OE+BEf

••（8+r）2=r2+（苧＞，

解得：r=5,

・・・AB=18,BE=12,

•・•OE//AC,

~BC=~AB

12_13

12x18216

••・BC=F-F

CE=BC-BE=黑

【解析】(1)连接OE.根据线段垂直平分线的性质得到04=OE.求得42=43,根据平行线的性质

得到N0EB=NC=90°,根据切线的判定定理即可得到结论：

(2)设。。的半径为r,解直角三角形即可得到结论.

本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，平行线的判定和性质，解直角三角形，

正确地作出辅助线是解题的关键.

24.【答案】121

【解析】解：(1)由定义可知，a=b=2,c=1,

故答案为：1,2,1；

(2)由题意可知，“衍生函数”为y=/+匕％+c,

•・,顶点在％轴上，

.-./)=0,

・•・一次函数为y=x,

•.•“基点”P的横坐标为1,

・・・P(1,1)，

•・・点P与点Q关于y轴对称，

・・・Q(T1)，

一靶点”的坐标(一1,1)；

(3)证明：①由题意可知“衍生函数”为y=ax2+2bx-2,

,・,经过点(2,6),

二a+b=2,

va>£>>0,

Aa>2—a>0,

1<a<2,

设“靶点”则P(-t,-今,

2

•'»———at+2(2—CL),

整理得-4t+2at-2=0,

•••4=4(a-l)2+12>0,

方程有两个不同的实数根，

二一次函数y=ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；

②解：由①可知，。尸一4t+2at—2=0,

.4„2

■.x1+x2=--2,x1-x2=

二lx】一女1=J(；2)2+,=J(")2+3,

v1<a<2,

4

・・・2V；V4,

:.2<\x1-x2\<2V3.

(1)由定义直接求解即可；

(2)由题意先求出b=0,则可求P(l,l