2022年全国新高考I卷数学高考真题附答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

育一项是符合题目要求的。

1.若集合A/={X|4<4},N={X，3X21},则MCIN=

A.{x10x<2}B.{x|；Wx<2}

C.{x|3^x<16}J5.{x||<x<16}

则z+5=

D.2

3.在△4BC中,点D在边48上.BD=2DA.记M=加，CD=n,则丽=

A.3m-2/iB.-2m+3nC.3M+2nD.2m+3n

4南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已

知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km,水位为海拔157.5m

时，相应水面的面积为180.0kmL将该水库在这两个水位间的形状看作一个校台,

则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为3*265）

A.1.0x10*m1B.12x10"m'C.1.4x10*m5D.1.6x10*m5

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为

AD.-

-13

数学试题第1页（共4页）

6.记函数/■(x)usin(s+：)+b(0>O)的最小正周期为r.若与<7<露.且y=/(x)

的图像关于点点,2)中心对称,则吗卜

A.1B.1C.|D.3

7.设4=0.Ie",c«-In0.9.则

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD,a<c<b

8.己知正四楼椎的侧校长为/,其各顶点都在同一球面上,若该球的体积为36,且

3W/W3百，则该正四棱锥体积的取值范围是

A.°吟]B.[衿]C.[J.y]D.[18,27]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知正方体XBCD-44GA，则

A.直线BC,与。4所成的角为90°

B,直线8G与C4所成的角为90°

C.直线8G与平面B8QQ所成的角为45队

D.直线BC,与平面/BCD所成的角为45。

10.已知函数/(x)=P-x+l,则

A./(力有两个极值点W/(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心B.直线，=2x是曲线y=/(x)的切线

11.己知。为坐标原点，点”,1)在抛物线C:』=2配(p>0)上，过点B(0,-l)的直线

交C于P,0两点，则

A.C的准线为y=-lB.直线与C相切

C.\OP\-\OQ\>\OA^D.\BP\\BQ\>\BA^

3

12.已知函数/(x)及其导函数r(x)的定义域均为R，记g(x)Mr(x).若，q-2x),

g(2+x)均为偶函数，则

A./(0)=0B.g(-；)=0C./(-I)-/(4)D.g(-l)=g(2)

数学试题第2页(共4页)

三、以空或：本噩共4小ft每小■5分,共20分・

13.（i-2xx+，y的履开式中丁7•的系数为（用数字作答）.

X

14.写出与图/+,=1和（*-3）、。-4>・16部相切的一条亶畿的方程.

15.若曲fl!y=（x+a）e'有两条过坐标Ml点的切畿，则a的取值e圉是.

16.已知精国（7:捺+%=1（。>6>0）,C的上顶点为彳,两个焦点为4.F,.禹心率

为;.过£且丞亶于得的宜战与C交于D.E两点.IDEI-6.则的周

长是______.

四、解答题：本JQ共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步IT

17.（10分）

记S.为数列｛a.｝的前"项和.已知a,=l,｛&｝站公差为!的等整数列•

0.3

（1）求gj的通项公式：

（2）证明*——*--<2.

4,4

18.（12分）

记△山€：的内角4,B,C的对边分别为a・b.c,已如cosJ■产々

H1sin>4Reos2^

（1）若C号,求

（2）求之2的最小值.

19.（12分）

如图，♦三棱柱"c-44G的体程为4,△45C的面

枳为26

<1）求才到平面4此的距离：

（2）设。为4c的中点，AA^AB,平面45CJ.平面

曲4,求二面角/-8D-C的正弦值.

数学试题第3页（共4页）

20.(12分)

一医疗团队为研允某地的一神地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良

好和不眠良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调看了100例(称为痛例组).

同时在未患该疾病的人群中随机词宜了100人(称为对照组U得到如下数第：

不够良好良好「

病例组4060\

对照组)08

<1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾痛群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人,“表示事件”选到的人卫生习惯不螭良好”，8表

示事件“选到的人患有该疾病”，露牌与馈煤的比值是卫生习惯不好良好对等谈

疾耕风险程度的一项度量指标，记该指标为A.

⑴证明，R■生1必巡朝

(ii)利用该调森数据.给出汽4[8).汽"|用的估计值,并利用(i)的结果恰出

R的怙过值.

n(ad-bcY0.0500.0100.001

(a+6)(c+dXo+c)(b+d)'*I3.841~W3510.828

2】.(12分)

已知点4(2.1)在双曲战C：4-¥;=l(a>l)上，直线■交C于P,。两点，Ktt

aa—1

AP,40的斜率之和为0・

(1)求/的斜率；

(2)若tanN/M0-2&.求△/M0的面枳.

22.(12分)

已知函数/(X)HC,-or和g(x)=g-lnx有相同的♦小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线〉-b,其与两条曲线>・/(x)和y・g(x)共有三个不同的交

点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差敷列.

数学试题第4页(共4页)

单选题本大意共8小熟每小我5分，共40分.在每4镯给出的4个选项中，有且具有一1正确笞案及相关篇折

项是符合餐目要求.

正确答案

D

若集合”・b1—〈小则()

A.B.(米司c.D.1也叫

单选就本大意共8小熟每小我5分，共40分。在每，」例给出的4个选项中，有且具有一1正确笞案及相关篇折

项是符合餐目要求.

正确答案

若集合，、・(/3*之1|,R!|.Vn.V-()

A.(机,褶B.卜4―}c(—一＜峋D.＞弧叫

3正确答案及相关解析

在3.4”中，点砥边4肚，fiO-2Al.记则而.()

正确答本

A.城uB.C.D.M・W

分值:5分直右罡目解折＞

4正确笞案及相关解析

南水北调工程凌乘了北方一些地区水逐源短缺问噩其中一部分水雷入某水库.

正确笞案

已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为14MlM;水位为海拔15vm

时，相应水面的宜积为⑼值1，格该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台

则该水库水位从海拔依5m上升到时，甯加的水量约为(G一和)()

A.I.OxlO*m,B.Uxin'm*C.IJxIO^m'D.1.6x10*m,

5正确答案及相关解析

从2至瞪7付龈中醺机取2个不同的数，则这2个数互质的隧为()

正确笞案

A.：B"7D.；

分值:5分查看盘

6正确笞案及相关解析

记图数(，⑴…()的最小正周期为匚若子＜7＜#，且＞="幻的图像

正确答案

关于点:小:中心对称，则嗒卜()

A.1B.1C.1D.3

分值:5分靠盘目解折＞

[一

7正确笞室及相关解析

正确答案

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

分值：5分

□X

8正确答案及相关解析

已知正四雌的侧咬长为/,其各顶点都在同一球面上,若该球的体积为跖L旦

正确答案

3"S23,则该正四梭锥体积的取值范圉是（）

C

AMB.［我］C.盟D.皿

分值5分居受目卡析

多选题本大题共4小题，每小期5分,共2份.在每，出的4个酶中，有多项符合9正确笞案及相关嘉析

塞目要求，全对得5分，选对但不全得2.5分，有选错的得冽.

正确答案

口

A.B.D

已知正方体』"〃・4壁’附，则（）

A直线叫与/“所成的角为W

B.直线"，与4所成的角为4

C.馥g与平面幽叩所成的角力好

D.直线BC,与平面,88所成的角为45“

CQ10正确答案及相关解析

已知函数“则（）

正确答案

A〃外有两个极值点AC

B.〃外有三个零点

C.点g在曲线，73的对称中心

D.直线星曲浅「/⑶的切线

分值:5分

D11正确答案及相关解析

已知。为坐标原点，点刈⑴在揖物线「/上，过点州。1）的直线交CT

正确答案

P,5点,则（）

BCD

A.

B.韶弘吟09切

C.IWH'W

\BP

12正确答案及相关解析

已知圣数/⑴及其导盅数/3的定义域均为R,记巾）=〃幻，若式2-力

正确答案

均为偶国数，则（）

B,C

A.f（o）-oB.¥卜丹・°C.f（1D.c（H-e（2）

分值：5分与巨翥目懈折

填空毁本大会共4小瓢每〃痼5分，共2诊.把答案埴写在题中横法上.13正确笞案及相关解析

-

S正确答案

I-HW的展开式中小，的系数为（用数字作答）.-28

分值:5分后吉二目怎听＞

14正确答案及相关解析

写出与国x'-j；T和（上-W+L―。*16都相切的一条直矢的方程

正确答案

分值：5分/二目帐七x=-1或y=：或y=-JJ--.（答对其中

之一即可）

15正确答案及相关解析

若在线一（工，"£有两条过坐标原点的切线，则由勺取值至围星正确答案

a＞。或a＜-4

分值：5分百百二目明

16正确答案及相关解析

已知猫罢I。’=由）上顶点为4两个焦点为忆£,离心史为1.

正确笞案

过耳且垂直于”的直线与今于。的点，|/"加6,则7。£的周长是13

分值:5分一力u；匕；-

17正确答案及相关解析

正确答案

£111212%

(l)ai=s】=1?=J是公差为，的等差数列，"=1+'(n-1)=3n+3%=?n+*n-i了

=1

43

幺=2

a„4.l响士垃皿U

二二工相乘得2，a2,%=2，心2,经验证符合，时

-5+1)

=-neN'

NR>°2一

(2)

*<2专专*<2

,+,+...+a

18正确答案及相关解析

正确答案

cos、sin2b2sEb8Sbsinb

⑴，+si必=1+BS2E=2的短=c”BcosAcosB-sinAsinB=sinB,cos(A+B)=sinB=-cosC=-

2n1三

COST=；,0<B<^B=?

7Z7Z?r

(2)sinB=cos(A+B)=-cosC=sin(C-2),C钝角,B=C」,sinB=sin(C-2)=-

Xa?+b?

二由余弦定理，a2c2

cosC,sinAsin(B+C)=sin(2C-Z)=cos2C,'+^=+2abcosCzO

ZabcosC2sinAsinBcosC1.

c22c2

=1+=1+mn©=1+2(2SinC+«".3)>1+2(2V2-3)=4V2-5

19正确答案及相关解析

正确答案

try=J-"1』事"c」5“c：设人到平

三段71bgv三枝迩A-A\BC

(1)=3

44

面A】BC的距离为h,则hl“笆c=2C=&

(2)设D为A，C的中点,

平面A、BC1平面ABB、A\

■平面ABC1平面ABB/、

训=AB,平丽$Cc平面ABC=BCpc±/颜BBH,ABC/颜B^^BdAB在

4BC

R”ABC中,ZABC=90°,链接4B,过A作AH’AIB,则AH-*-®I,

lAi

BC-L平面ABBA,BGL&B,A4I=AB,AH=K,A4I=AB=2/4IB=2ASU/C=2&=2'

B*BC.BC=2以点B为原点，BC,BA,B%分别为X,Y,Z建立空间直角坐标系，

C(2,2,0)A(0,2,0)^i(0,2,2)B(l.l.l),^n-L平丽即/(X,Y,Z),江，平蒯CD,M

(n*B^=0_但*至=0_一__£_

/sv3

(Xo,yoZo)Jn*BD=0,丫=0,X+Y+Z=0/(1,0,-1)屈*前=0M=(0,l,-l),|cos(W*n)|='*

三一-返4-RD-

=2,sin(M*n)=2,二面角力L'的正弦值为2

20第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案：略

20第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

010

21正确答案及相关解析

正确答案

44

（1）将点A代入双曲线方程得已晶-、1，化简得小-4a2+4=0得a?=2,故双曲线方程

为2_y2=L由题显然直线/的斜率存在，设|：y=kx+m,设P（*i，%）Q（%2，y2）,则联立直线

与双曲线得：（2炉